掛け算（乗法）の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

今日は３連休初日。１年で一番忙しい１０、１１月が来る前に、小学校にお

ける自然数（０，１，２，・・・）の計算を一通り終わらせときたい。ここまで、

小学１年生の足し算と引き算をそれぞれじっくり考察したが、今回は掛け

算について考察する。

参照するのは今まで同じく、東京書籍の教科書、『新編　新しい算数　２下』。

ネットで見ると税込２７９円だが、私は２７８円で買った。という事は、本体価

格は２６５円で、消費税５％の端数を切り上げるか切り下げるかで１円違っ

てるんだろう。細かい話だけど、教科書という極度にオフィシャルな本でさえ、

こうした値段の違いが生じてるのは、やや意外だった。

この教科書の前、つまり『２上』では、足し算・引き算の筆算や、長さの単位、

時計や表・グラフといったものが扱われてる。私自身の記憶だと、表とグラ

フにかなり違和感があった気がする。全体をまとめるのが面倒とかいうより、

算数の要素とお絵かき（図工）の要素とが組み合わさってるからだろう。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて『２下』の最初が、第１０章「かけ算（１）　新しい計算を考えよう」だ。『２

上』から、「けいさん」は漢字で、「計算」と書かれてるようだ。最初に大きく、

遊園地の絵（写真＋ＣＧか）があって、色んな乗り物が描かれてる。

一種類の乗り物のそれぞれの台に、同じ人数だけ乗ってるのに、なぜか中

央のコーヒーカップだけは例外。４台中の２台が３人ずつ、残り２台は２人と

４人だ。これだと、掛け算を教えるのに不都合だし、実際、しばらく後の設問

では、なぜか３人ずつ乗ってる４台の絵に入れ替わってる。これは、間違い

探しな遊び心への配慮でもあるし、応用的な思考（後述）を促す仕掛けでも

あるだろう。

観覧車のゴンドラ１台に３人ずつ４台分で１２人。車１台に５人ずつ３台分で

１５人。まだ、「合計」という言葉は登場してないが、同じ数を何組か集めて、

「ぜんぶ」でいくつとか数えるわけだ。列車の乗客を数える例題２で、次のよ

うに数式が導入される（式の右側に、×という記号の書き方もある）。

　　　１台に６人ずつの３台ぶんで、１８人です。このことをしきで、次の

　　　ように書きます。

　　　　　　　６×３＝１８

　　　　　「六かける三は十八」

小１の足し算・引き算の時のように、途中で抽象的な両面ブロックの話に

置き換えることなく、一気に数式が導入される。また、細かい話だけど、「こ

のようなこと」と書くのではなく、「このこと」と限定されている。この後、仮に

１皿６個の３皿分で１８個という話が出た時、同じ式を書けない生徒が出て

も不思議ではないけど、やはり上手く出来たもんで、ほとんどの生徒は同

種の問題で類推して、同じ式をかけるようだ。

更に気になるのは、足し算・引き算の時と同じだけど、先に等式が導入さ

れて、後で等号抜きの式がスルスルッと導入されること。上の引用部のす

ぐ下には、こう書かれてる。

　　　６×３や２×６のような計算を、かけ算と言います。

等式の右側にあった「＝１８」は、なぜ、どこへ消えたのか、気になる生徒

はあまり出ないのだろうか。そもそも、なぜ先に等式を導入するのだろうか。

理論構成上の理由、あるいは教育上の理由が、差し当たり分からない。「６

人ずつ３台ぶん」を６×３と書くという話からスタートした方がいい気もする。

ちなみにペアノの自然数の公理（本人の論文）は、ほぼ同時とはいえ、先に

「＋」という演算（普通の書き方だと＋１）が「原子命題」として導入され、直

後に等式が現れてるわけだ。

この直後、練習問題２の中で、最初の遊園地の絵を見ながら掛け算の式

を書かせる時、男の子が「コーヒーカップも掛け算で表せないかな」といっ

た言葉を発してる。そのための数式変形を書くなら、次のようになるだろう。

　　　３＋３＋２＋４ ＝ ３＋３＋３＋３ ＝ ３×４ ＝ １２

何なら、「２＋４」から「３＋３」への変化をもっと細かく書いてもいいけど、い

ずれにせよ、小２の教科書にこんな話までは載ってない。授業の中で、先

生の判断で、おはじきとか使って教えるんだろう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　

その後、８×３は８＋８＋８で計算できること（等式ではつながれてない）、

「×」の左側が「かけられる数」で右側が「かける数」と呼ばれること、など

が説明され、掛け算をまとめた九九（くく）の表も導入された後、第１１章

「かけ算（２）　九九をつくろう」では、やや高度な話が扱われてる。

（追記：　かけられる数を「被乗数」、かける数を「乗数」と呼ぶようだ。）

九九の計算や表は、既に前の章で出来てるのに、あらためて「つくろう」と

言うのは、計算の工夫を教えようとしてるのだ。言い換えると、掛け算と足

し算の関係だ。例題１で、６×２＝１２を利用して、６×３＝１８を導く考えが

示されてる。「かける数」が２から３へと１増える時、答は、「かけられる数」

６だけ増えるという話だ（追記：　「累加」と呼ぶようだ）。式でまとめ直すと、

次のようになる。

　　　　６×３ ＝ ６×（２＋１） ＝ ６×２＋６ ＝ １２＋６ ＝ １８

もちろん、こんな式もまだ登場してない。そもそもカッコが出て来るのは、

なぜか遅くて、正式には小学校４年のようだ。ただし、次の式ならあって、

これならカッコは必要ない（その理由の説明はまだにせよ・・）。

　　　４×８＝４×７＋４

それはともかく、上の計算は、「いわゆる」ペアノ的な掛け算公式２つの

内、１つを意識したもののように思われる。普通の書き方をするなら、

　　　ｎ×（ｍ＋１） ＝ ｎ×ｍ ＋ｎ

ちなみにもう一つは、ｎ×０＝０だ。この２つと、あらかじめ定義してある足

し算によって、自然数の掛け算がすべて厳密に定義されることになる。

講談社の『現代数学小事典』にも、そんなまとめ方が紹介されてるが、実

はペアノ自身の論文『数の概念について』を読むと、そうは書かれてない。

それについては後ほど、ペアノの記事の続編で確認するとしよう。あと、

小２の教科書では、なぜか０の掛け算が登場せず、小３に回されてる。

残る注目点は、「×２」を「２ばい」（倍はまだひらがな）と言うことの説明

とか、ものの個数ではなく単位付きの長さ「３ｃｍ」の２ばいが６ｃｍになる

ことの説明。また、かけられる数とかける数を入れ替える「６×４＝４×６」

（積の交換法則）なども登場。

なお、発展コーナーには、６×３を、４×３と２×３の足し算で求める話も

ある。教科書には数式はないが、もし書くなら、

　　　６×３＝（４＋２）×３＝４×３＋２×３

つまり、和と積（つまり加法と乗法）に関する分配法則だ。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それでは最後に、小３の教科書、『新編　新しい算数　３上』に移ろう。まず

第１章「かけ算　九九を見なおそう」で、０の掛け算が説明される。おはじき

入れゲームで、２点が与えられる場所におはじきが０個だから、その場所

の獲得点数は０点。つまり、２×０＝０。一方、０点が与えられる場所にお

はじきが１個だから、その場所の獲得点数は０点。つまり、０×１＝０。

こうして、どんな数に０をかけても０、また、０にどんな数をかけても０である

ことが説明される。つまり、ｎ×０ ＝ ０×ｎ ＝ ０ ということで、０×０＝０に

ついても問題形式で一応小さく扱われてる。

さらに、小２で和と積に関して登場した分配法則が、差と積に関して再び

登場する。問題形式で、８×６ ＝ ８×７－８ という式を学んだ後、「かけ

る数が１へると、答えはかけられる数だけ小さくなります」。つまり、一般

的な数式で書き直すなら、

　　　　ｎ×（ｍ－１）＝ｎ×ｍ－ｎ

これはやがて、負（マイナス）の数の掛け算を考える時に役立つわけだ。

３×（－１）＝３×（０－１）＝３×０－３＝－３、といった考え方の中で。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、ここまでの教科書の内容で、１つだけ私が「勘違い」してたことがあっ

た。それは、「×」という記号の書き順だ♪　私は普段、まず左上から右下

に棒を引っ張ってるが、正しくは、右上から左下に先に引くらしい。それだ

と個人的に、カタカナの「メ」（め）のような気がしてしまうけどね。

次回は、加減乗除（＋－×÷）の四則計算の内、もっとも問題の異端児、

割り算を扱う。ここで初めて、３は２で「割り切れない」とか、０で「割ること

は考えない」といった、誰にとってもスッキリしない話が出て来るわけだ。

ではまた。。☆彡

　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Ｐ．Ｓ．朝日新聞・夕刊の企画「花まる先生　公開授業」に、かなり引っ掛か

　　　　る話が掲載された（２０１１年１月１５日）。千葉・八街市立実住小学

　　　　校の吉川由美子先生による、小学３年の算数だ。

　　　　「あめを３個買います。１個５円のあめを買うと全部でいくら（何円）？」

　　　　という問題に、「３×５」と答えた子がクラスの半分以上いた。「これだ

　　　　と、『３円のあめを５個買った』ことになってしまう」と考えた先生は、２

　　　　年生で習ったかけ算の「意味」を再確認したらしい。わざわざ問題文

　　　　と逆順に、５円のあめ３個ととらえ直して、「５×３」と答えないといけな

　　　　いようだ。「タコが２匹、足８本、全部で足は」という問題で「２×８」と

　　　　答えた生徒には、それだと「２本足のタコ８匹」という意味になってし

　　　　まうから変だと教えるのだ。

　　　　しかし、「３×５」という数式の意味が、どうして「３円のあめ５個」に限

　　　　定されるのか。「３個ある、５円のあめ」と解釈しても何の問題もない。

　　　　実際、中学に入ると、「３ ｘ」は「３つある ｘ」を表すし、高校に入ると、

　　　　「ｋ ｘ」は「ｋ個ある ｘ」を表すことが多い。

　　　　この学校が、どの教科書を使ってるのか知らないが、「５円のあめ

　　　　３個」をまず「５×３」と書くのは、単なるカリキュラム上の問題であっ

　　　　て、算数や数学の本質的問題ではない。そもそも、５×３＝３×５と

　　　　いう交換法則も、実質的にはすぐ習ってるし（九九の表の所）、小学

　　　　校２年で教えた先生の授業との整合性も気になる。生徒は、表面的

　　　　には面白がってるとしても、内心引っ掛かってるのではないか。と言

　　　　うより、引っ掛からないのなら、その方がよほど問題だろう。

　　　　「花まる先生」については、前にも太閤検地の測量方法に関して細か

　　　　く指摘したが、どうも表面的な面白さだけにつられてしまって、話の本

　　　　質を見極めてない気がする。この場合だと、有山佑美子記者が、２

　　　　本足のタコとか、キャラクターの面白さに魅かれてしまったんだろう。

　　　　かけ算の意味は確かに大切だが、それは一つに限られるわけでは

　　　　ない。数式というものは、無限の解釈を許す記号である。一つの意

　　　　味を教え込むのではなく、間違った意味を訂正すればいいのだ。たと

　　　　えば、「２×８」なら、２本足の人間と８本足のタコの足の合計とか♪

Ｐ．Ｓ．２　２０１１年５月２７日付けで、高橋誠『かけ算には順序があるのか』

　　　　　　（岩波書店）が発売された。ポータルサイト「エキサイト」のレビュー

　　　　　　（５月３１日）その他を参照すると、順序があると教えられてるのは

　　　　　　事実だが不適当だ、といった感じの内容らしい（６月９日現在、未

　　　　　　確認）。とにかく、かけ算の順序問題は、花まる先生など、教師個

　　　　　　人の問題ではなく、最近の算数教育全体と関わってるようだ。。

ｃｆ．「１＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　原始リカーシヴ関数と足し算（加法）、掛け算（乗法）

　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　『１＋１＝２』はなぜか～小学１年生の算数の教科書

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４