引き算（減法）、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

前回、自然数論シリーズの一環として書いた、小学１年生の算数の記事、

「『１＋１＝２』はなぜか～小学１年生の算数の教科書」は、予想通り、ここ

までボチボチのアクセス状況となってる♪　まあ、無視されてるわけでもな

いし、私自身が面白がってるから、算数記事第２弾をアップしよう。前回は

数と足し算の導入だったが、今回は引き算と「２回連続の足し引き」、更に

０（ゼロ、零）についての考察だ。

前回同様、参照するのは東京書籍『新編　あたらしい　さんすう　１』。３００

円前後としか覚えてなかったけど、今ネットで見ると税込２９３円らしい。消

費税５％の計算が合わない気もするけど、まあ非常に安くてお買い得なこ

とには違いない（もちろん小学生には無料配布）。絵本とか雑誌感覚で見

てもキレイで可愛いし、理論的に深く読みこんでも刺激的だ。ただし、読

者の側に、それなりのものが要求されるとは思う。

１１５ページ、全１３章の中で、「たしざん」（足し算）がハッキリ登場したの

は第４章「あわせて　いくつ　ふえると　いくつ」。非常に早い段階から足し

算の数式まで登場するのにも驚くけど、２つの数を合わせる操作と、ある

数をいくらか増やす操作を一応分けて、両方とも足し算としてることにも

驚く。前者が２変数関数 ｏｒ ２項演算的発想とすると、後者は１変数関数

ｏｒ １項演算「的」発想と「言える」（パラメーター１個付き）。ここまでは、前

回書いたことだ。ではいよいよ、次章のひきざん（引き算）を見てみよう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

第５章のタイトルは、「のこりは　いくつ　ちがいは　いくつ」。足し算同様、

引き算でも、微妙に異なる２つの操作をまとめて教えている。

（追記：　東京書籍や啓林舘のＨＰによると、残りを求める計算を「求残」、

　　　　　差を求める計算を「求差」と呼び分けてる。）

興味深いのは、足し算の時と違って、引き算では「のこりは　いくつ」から、

つまり１変数関数 ｏｒ １項演算「的」発想が先に来てることだ。足し算の場

合、２つの数を合わせる操作の方が理解しやすいけど、引き算の場合は

１つの数から幾らか差し引く操作の方が理解しやすいのだろう。ちなみに、

引き算を足し算の逆の計算（逆演算）として定義する高等数学的発想は、

当然ここには無い。

例題１の前に、まず数式無しの絵だけで、２つ問題が示されてる。最初は、

４個のボールから１個取る絵と、４個の「両面ブロック」から１個取る絵を、

上下に並べて、のこりは「１」ことだけ書かせる問題。次は鉛筆４本から２

本取る類題で、のこりは「２」ほんとだけ書かせる。どちらも、抽象的な数

（１や２）だけを答として書かせる辺りが、何とも巧みな教育テクニックだ。

そしていよいよ、例題１「のこりは　なんびきになりますか」で数式が導入

される。水槽に入った５匹の金魚から、女の子が２匹すくい上げる絵の下

に、ブロック５個から２個取る絵が置かれて、最初のページが終了。次の

ページでは、再びブロック５個から２個取る絵が置かれ、その下にはブロッ

ク３個の絵。そして、こう文章で説明される（絵ではなく記号表記）。

　　　　　　５から２をとると、３になります　（右にはマイナスの記号を提示）

　　　　　　しき　５ － ２＝３　　　　　こたえ　３びき

　　　　　　　　　 ５ひく２は３　

足し算の時と同様に、凄い技が使われてる。まず、日常的な存在としての

金魚からスタートして、やや抽象的な存在であるブロックの話に移行する。

そして更に、抽象的な数の引き算と式（および読み方）へと移行。最後は

いきなり、日常的な存在である金魚の数３匹に戻る。

私も含めて、ほとんどの子供が何の疑問も持たずに「習得」してしまうん

だろうけど、あらためて理論的に考えると、手品とかマジックのような技だ。

むしろ、訳が分からなくなってポカーンとしてしまう生徒の方が、知的に鋭

いかも知れない。ただ、こうした教え方がほとんど通じてしまうことから考

えても、人間はみんな生まれつき算数の潜在能力を持ってる、と考えたく

なるのは確かだ。「理性」と呼ぶにせよ、脳とかＤＮＡで考えるにせよ。

その後、似た例題が２問続いた後、例題４では単なる数式の「ひきざん」

が登場。さら例題７では、白と黒、２種類のうさぎ８匹の内、白うさぎが３

匹なら、黒うさぎは何匹かと問う。白黒の色による下位分類とはいえ、こ

こで初めて、違う種類の存在が混ざってる場合を扱ってるのだ。少しずつ

新しい話を導入してるわけで、やっぱり非常に上手く編集されている。

（追記：　東京書籍はこの計算を「求補」と呼んでるようだ。うさぎ全体が８

　　　　　匹、白が３匹、それを「補」うものが黒５匹、という意味だろう。）

その後、今度は第５章の後半（第２節）「ちがいは　いくつ」で、青い花８つ

と赤い花５つの絵が登場。例題１ではまず、青と赤の花だけを横１列に並

べて、「どちらがおおいでしょうか」とだけ問う。一見、当たり前過ぎて、何

が言いたいのか分かりにくいけど、よく見ると、上側に並んだ青い花と、下

側に並んだ赤い花とが、縦線で結ばれてるのだ。なるほど、種類の異な

るものの数を比較する際、まず１対１の対応付けを教えたいのだろう。答

だけなら、先に８と５という数にして、８－５と教えればいいはずだから。

実際、続いて例題２では、同じ設定のまま、「いくつ　おおいでしょうか」と改

めて問う。この時、花の代わりに両面ブロックの絵が登場。上側には黄色

の面が８つ、下側には白の面が５つ並べられ、上下は１組ずつ縦線で結

ばれてる。すると、そして、上側の右端に残った黄色の面３個の下には、

「おおい」の文字。さらに絵の下側に、「８－５＝□」という数式があり、「こ

たえ　□つ」と書かれてる（生徒に書き込ませる）。こうして引き算は、「残

り」だけでなく、「違い」を表すものとされる。

この場合、青い花だけで８個と５個を比べてもいいはずだけど、数の違い

なら別種のもの同士（青と赤）を比べてもいいわけで、すぐ前の箇所に白

うさぎと黒うさぎの２種類が登場したこととか考えても、素晴らしく巧みだ。

この後、「違い」としての引き算の話はすべて、異なる種類のものの数を

比較してある。雀とツバメとか、パンとバターとか。。

なお、残りを求める計算は、パラメーター１個付きの１変数関数として見

ることが「出来る」。例えば、３から２を引いた残りなら、ｆ₃（ｘ）＝３－ｘ に、

ｘ＝２を代入する計算。パラメーター（＝媒介変数）が３だ。一方、違いを

求める計算は、２変数関数 ｆ（ｘ，ｙ） ＝  ｘ－ｙ として考えられる。ただし、

負の数は遥か先の話だから、しばらくは ｘ ≧ ｙ だ。もちろん、絶対値記

号を使う発想も先のことなので、念のため。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　

その後、第６章「１０より　おおきい　かず」で、２０までの数が導入されると

共に、２０まで目盛りがある「かずのせん」、つまり数直線が導入される。

いくつ大きい、いくつ小さいといった、数の大小関係を直観的に教えると

共に、「物差し」を用意したのだろう。続く第７章「どちらが　ながい」で、２

つのものの長さを比べる際、紙テープや方眼紙が使われてるのだ。ちな

みに「長さ」は、ものの個数ではない数量の最初の例となってる。

そして第８章「ふえたり　へったり」では、連続２回の足し引きが登場する。

車にネコが３匹乗ってて、次に２匹乗り、更に４匹乗ると、

　　　　３＋２＋４＝□　　　　こたえ　□ひき

といった形で計算されるのだ。これで小学１年生が分かるのか、ちょっと

気になるけど、説明が短いから、意外に分かりやすい話なんだろう。

多少の知識があれば、＋という記号は２つの数の間に書くものだから、

（３＋２）＋４と書くべきじゃないか、と疑問に感じる所かもしれない。でも、

１年生ではまだカッコは登場しない。そもそも、カッコが必要ない連続計算

だけだから、問題ないのだ。例えば、ネコが５匹乗ってて、３匹降りて２匹

乗れば、５－３＋２。ここで、先に「３＋２」の計算をする生徒が出てきそう

だけど、左から順に計算するとでも教えるのだろう。その点は、教科書に

は書かれてない。　

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

第９章「たしざん」では、９＋４＝１３など、１桁＋１桁＝２桁の足し算を練

習。式変形のようにして私がまとめ直すと、

　　　９＋４ ＝ ９＋（１＋３） ＝ （９＋１）＋３ ＝ １０＋３ ＝ １３

といった感じで、まず１０を作る「けいさんのしかた」（計算の仕方）を教え

てる。もちろん「＝」が何個もつながる式やカッコは、教科書には無い。

第１０章「ひきざん」では逆に、１３－９＝４など、２桁－１桁＝１桁の引き

算の練習。式変形のようにして私がまとめ直すと、

　　　１３－９ ＝ （１０＋３）－９ ＝ （１０－９）＋３ ＝ １＋３ ＝ ４

といった感じで、まず１０から引く計算法を教えてる。これは結構、高度な

式変形だと思うけど、あらかじめブロック１３個の絵が、１０個と３個に分け

られてるから、小１でも分かるんだろう。「数学」的に理屈で証明しようと思っ

たら、厄介な式変形だ。

第１１章では、唐突に「かたちあそび」で、平面図形と立体図形のお話。別

にそれを後の章で使うわけじゃないから、気分転換的な挿入だろう。意外

だったのは、誰でも知ってそうな定番商品がほぼそのまま写真で掲載され

てること。森永ミルクキャラメルやナビスコ・チップスターが、会社名だけ隠

して載ってる♪　昔なら考えられない、柔軟で適切な対応だと思う。　　　　　　

第１２章「２０より　おおきい　かず」で、１００までの数（発展コラムは１１９

まで）を習った後、いよいよ最後の第１３章。「たしざんと　ひきざん」では、

さらに高度な足し算・引き算が、ややヒネった文章題を通じて教えられる。

例えば最初は、ひろしは前から６人目。後ろには４人。みんなで何人か、と

いう問題。ポイントは、「６人目」という「序数」（順序を表す数）と、４人という

「基数」（いくつかを表す普通の数）とをミックスしてることだ。一番最後の人

は、６人目から数えて４人目だから、１０人目。よって答は１０人、という風

に、「序数の足し算」で考えてもいいはずだが、流石にそこは「基数」でやっ

てる。図を援用して、６人＋４人＝１０人と数えるわけだ。

他の例だと、ユミは１２個。タカシはそれより４個少ない。タカシはいくつか、

という問題。確かに、これを１２－４＝８と計算する話は、ここまで直接的

には登場してない。ふと気になって調べると、ここまで、「多い」という話は

あっても、「少ない」という話は出てない（数の「大小」なら既出）。さらに調

べると、「長い」という話はあっても、「短い」という話はないのだ。これは、

対（つい）になった概念の理解や習得の順序を考える際に、興味深いこ

とだろう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では、今回の最後に、０（ゼロ）の話も書いておこう。これは、正直言うと

前回書き忘れたんだけど、それにはそれなりの理由もある。やはり特殊

な数だからだろう。扱いが非常に小さくて、オマケみたいなのだ。

と言っても、０は第１章から早くも登場する。ただし、最初に登場するのは、

１０（じゅう）という「数」を表す「数字」の右側としてだ。差し当たりこの時点

では、０は単なる文字とか記号にすぎない。

その後、章末の１ページで、「０と　いう　かず」と題するコラムが登場。輪

投げの輪が無くなった絵や、かごのリンゴが無くなった写真と共に、０（れ

い）という「数」が教えられる。ゼロではなく、れい。

その後、序数を教える第２章には、「０番目」という妙な話は流石に無いけ

ど、第４章の足し算の最後で「０＋３」、「１＋０」、「０＋０」が登場。それを

足しても変化しない数（いわゆる加法の単位元）がひそかに教えられる。第

５章の引き算でも、一番最後になってようやく、「５－５」、「６－０」、「０－０」

が僅かに登場。もちろん、「０－３」とかは無い。

その先に、「数字」ではなく「数」としての０はほとんど（ｏｒ 全く）登場しない

が、微妙でかつ興味深いのは、２０より大きい数を教える第１２章。ここで

「３０」を教える時、「十のくらい」と「一のくらい」が図で分けられてる。「十

のくらい」には、ブロック１０個の列が３本と、「３」という数字。「一のくらい」

には、ブロックの絵が無くて、「０」という数字のみ。この場合の０は、「数

字」であると同時に、一の位の「数」でもある。実際、十の位の３は、ブロッ

クの列３本という数を表してるわけだ。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上、足し算、引き算、０を中心に、小学１年生の教科書を分析・考察して

みた。読者の側がどう思うかはともかく、私自身はものすごく面白い♪　数

学、教育学、知性の発達心理学的にも面白いし、自分の知的ルーツを探

る旅の楽しさもあるのだ。

本当は、自分が実際に使った教科書があれば一番いいけど、それはどこ

の会社のものだったかさえ覚えてないし、どうせ学校や教育委員会に問い

合わせても記録がないだろう。実家の物置の隅に埋もれてたりしたら、思

い出話も交えて、また記事を１本書けるはずだ。

このシリーズ、次回は掛け算（小学２年）と割り算（３年）を扱うつもりでいる。

その先には、中学の教科書も用意してあるのでお楽しみに。もちろん、い

ずれ専門書や古典にも戻る予定。何でも屋は忙しいのだ♪

ではまた。。☆彡　　

　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｃｆ．「１＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　『１＋１＝２』はなぜか～小学１年生の算数の教科書

　　掛け算（乗法）の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４