豊臣秀吉の太閤検地、面積の測量方法～朝日新聞「花まる先生」

昨日（９月２５日）は久々の土曜出勤。疲れた・・・って感じで帰宅して、ホッ

と一息。朝日新聞・夕刊を広げると、ズ～ンと疲れが増して来た。「謝罪と

賠償」・・・絶句。。大阪地検のＦＤデータ改ざんなんて、どっかに吹っ飛んだ

感があるね。やっぱ、防衛とか安全保障の問題は国家の根幹だな。１面を

読んでドンヨリ暗くなった後、２面を見ると、妙に面白い記事って言うか、ワ

クワクさせる図形が載ってる。理屈屋の気分転換にはピッタシだ☆

見出しは、「太閤検地に学ぶ知恵」。「花まる先生　公開授業」シリーズの記

事で、小学校の歴史（社会科）の授業に、風変わりな算数を取り入れてる

のだ。山形・酒田市立松原小学校の大井康嗣（こうじ）先生、素晴らしい！

三ツ星の代わりに、花まる３つ差し上げよう。今後は３つ花・小学校と名乗っ

て、越境入学生を集めて頂きたい♪

　（追記：　その後、疑問が膨らんだので、とりあえず花２つに減らしとこう。

　　　　　　場合によっては、１つに減らすかも。記事末尾のＰ．Ｓ．参照。）

算数のレベルは別に高くはないけど、社会の教科書に載ってる測量の絵か

ら、面積計算の方法を読み取るって発想が独創的だ。欲を言うなら、その絵

をもっとハッキリ載せるか、せめて教科書の出版社を書いて欲しかったけど、

まあ黒板に貼った図の写真からある程度は読み取れるから、オマケしよう。

（追記：　記事は朝日新聞のＨＰでも読める）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

西洋文明が一挙に入って来た明治維新の前にも、日本には優れた学問や

文化があった。その事を示す例として、安土桃山時代に豊臣秀吉が行った

太閤検地における、田畑の面積の測量方法を、６年生に教えてるそうだ。

田畑の形は整ってないから、とりあえず辺や角度がバラバラの不等辺四

角形だと考えて、その面積の求め方を生徒に考えさせる。

普通は、対角線を１本引いて、２つの三角形に分けて考えるわけで、生徒

もそう答えたらしいが、先生は言う。「正しい方法ですが、どうやらそうじゃ

なかったらしい」。検地の絵を見て、自分で色々考えた末に、当時の測量

法を読み解いたそうだ。下の図を見てみよう。朝日の記事に載ってるもの

とほぼ同じで、先生が黒板に書いてるものよりは詳しい。

　まず、左の辺ＡＢの

　中点と、右の辺ＤＣ

　の中点を、横に結ぶ

　線を引く（長さ ｃ）。

　そこに、上の辺ＡＤ

　の中点と、下の辺

　ＢＣの中点から、垂

　線を下ろす（長さ ａ，

ｂ）。この時、四角形ＡＢＣＤの面積は、ｃ×（ａ＋ｂ）になるようだ。

　これだけなら、フ～

　ン・・と流してたと

　思うし、生徒もあん

　まし食い付かないだ

　ろう。ホホーッと思っ

　たのは、元の四角形

　を、あ、い、う、え、

の４つにバラしてつなぎ変えると、長方形になるって説明だ（上図）。上手い！

これは興味が湧くな♪　不等辺四角形を、４つの小さな不等辺四角形にバラ

してつなぎ合わせると、キレイな長方形。エライぞ、４００年前の日本人☆

という事は、朝日の記事には書いてないけど、実は ａ＝ｂ。つまり、２本の

垂線の長さは等しいってことだ。面積は当然、２ａｃ とも書けるし、２ｂｃとも

書ける。ｃ×（ａ＋ｂ）と書いたのは、ａとｂ両方を使った方が数式的に美しく

見えるからだろう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

実はこの記事を読んでしばらくは、ホントに ａ＝ｂ になるのかな？とか、ホ

ントに長方形になるのかな？とか、疑問に思ってしまった。また間違いを発

見して、朝日新聞社に電話して、無愛想な応対を受けるのも面白いかも♪

とか、屈折した興味も湧いたわけだ。ちなみに、昔一度だけ指摘した時、

応対は無愛想だけど、翌日の新聞にはちゃんと一面に訂正が掲載された。

この辺り、さすが日本を代表するマス・メディアなのだ（謝礼はなし）。

ところが、流石は花まる先生と天下の朝日新聞。やっぱり正しかった。ま

ず垂線の長さ ａ と ｂ が等しいことについては、一瞬、高校数学のベクトル

の内積で計算しようとして、やっぱり座標軸を設定。頂点Ｂを原点（０，０）、

直線ＢＣを ｘ 軸とし、残りの３頂点の座標を、Ａ（ｐ，ｑ）、Ｃ（ｒ，０）、Ｄ（ｓ，ｔ）

とする。

この時、左右の中点を結んだ横線の式は、「一般形」で書くと

　　２（ｑ－ｔ）ｘ＋２（ｒ＋ｓ－ｐ）ｙ＋ｐｔ－ｑｒ－ｑｓ＝０

ちなみにこれは、先日話題にしたｘ，ｙの一次不定方程式でもある。また、

ｙ＝・・・の形（切片形，１次関数）で扱えば、中学校の数学でも一応処理で

きる。一方、上辺の中点の座標は （ （ｐ＋ｓ）／２，（ｑ＋ｔ）／２ ）。下辺の

中点は、（ ｒ／２，０）。

これらから、「点と直線の距離」の公式を用いて、垂線の長さを計算すると、

ａ も ｂ も次の分数で表されることが分かる。分子の縦棒｜は絶対値記号、

分母の √ 以降はルートの中身だ。

　　　｜ｐｔ－ｑｓ－ｒｓ｜ ／ ２√ ｛（ｑ－ｔ）²＋（ｒ＋ｓ－ｐ）²｝

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

式計算などせず、次の図形的変形からすべて納得してもいい。ただし、きっ

ちり証明するなら、最低限、角度計算の式は必要になる（以下では省略）。

　まず、元の四角形の

　上半分だけを変形す

　る。左図のように、

　四角形「あ」を１８０

　度回転させて、四角

　形「え」の上に重ね

ると、長方形の左半分が出来る。

　続いて、元の四角形

　の下半分だけを変形

　する。左図のように、

　四角形「う」を１８０

　度回転させて、四角

形「い」の下に重ねると、長方形の右半分が出来る。後は、先に作った左半

分と合体させれば、しばらく上で載せた長方形が完成する。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

理屈では納得できない人は、紙に書いてハサミで切って、確かめると頷け

るだろう。実際、特に小学校教育だと、そうゆう身体で感じる作業は重要

だと思う。算数とか数学は、思考の世界と現実の世界がなぜか上手く調和

してしまう、非常に不思議な学問。その不思議さを感じることは大切だし、

それを実体験で和らげることも大切だろう。それでも納得できないごく一部

の人は、数学基礎論や哲学の世界に進めばいい。それで納得できるかど

うか、解決するかどうかは、別問題として。。♪

正直、ブログで算数や数学ばかり特別扱いするのは抵抗があるんだけど、

今回は妙に面白くて、計算までしちゃったから、ついでに記事を書いてみ

た。考えてみると、小学校時代から、不等辺四角形というのは嫌いだった

気がする。見た目も変だし、面積計算もしにくいし、名前もひねくれてる。で

も、こんなやり方でキッチリした長方形になるのなら、少し見方を変えても

いいかも知れないね。

それにしても、どうして太閤検地ではそんなやり方で面積を測ったのか、そ

の理由はまだ分からない。三角形２個に分ける作業の方が単純で速いと

思うんだけどな。私が小学生なら、そう質問すると思う。垂線の長さを測る

作業を１回だけで済ませたいってことかね（ａ＝ｂだから）。大井先生、その

辺りは如何でしょうか？♪

あと、新聞記事の写真をよ～く見直すと、黒板の図が辺の中点を使ってな

いように見えるし、黒板に貼られた教科書の図（の拡大コピー）でも、少な

くとも左側は、中点になってない気がするんだけど。。いずれ、社会科の教

科書で確認してみよう。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．記事アップの翌日、やっぱり気になったので、検地の図をＧｏｏｇｌｅ

　　　　で画像検索してみた。すぐ出て来る２つの絵のうち、１つは朝日の

　　　　記事の黒板写真にあるものと非常に似ている。少なくとも、この２つ

　　　　だけから見た時、不等辺四角形を小さな不等辺四角形４つに分けて

　　　　るようには見えないし、交差させた縄の直角を確認する「十字木」の

　　　　使い方も、単純に中央で１箇所使ってるだけだ。

　　　　そもそも、絵は２つとも不等辺四角形と言うよりむしろ、隣り合う２つ

　　　　の角が直角になった台形だろう。朝日の記事を読み直しても、「辺

　　　　や角度がバラバラの四角形だと考えて」と書かれてる。つまり、バラ

　　　　バラの不等辺四角形、不等角四角形というのは、（差し当たりは）

　　　　仮定にすぎないのだ。

　　　　既に著作権は無いと判断、公益性のある適度な引用でもあるので、

　　　　ここに絵を１つ挿入しよう。おそらくこれは、朝日の記事のものとほ

　　　　ぼ同じだろう。僅かな違いは、同じ絵からの写本を通じて生じたもの

　　　　だと思われる。役人と竹の位置もよく見て頂きたい。特に、一番上と

　　　　一番右の役人＆竹の位置。田畑の頂点から少しズレてる、奇妙な

　　　　位置になってるのが分かるだろう。中央は、見にくいけど十字木だ。

　　　　検索して出て来る解説記事の説明を読んでも、やはり大井先生の

　　　　記事は、間違ってるとまで言えるかどうかはともかく、歴史的根拠が

　　　　薄弱のような気がする。おそらくあの絵を誤解して、単なる算数の

　　　　図形の授業をしてしまってるのだ。算数としては正しくて面白いけど、

　　　　本当は台形の田畑を下図のように測ってるだけではないのか。こ

　　　　れなら、三角形２つに分けるよりも簡単だから、遥かに納得できる。

　　　　面積は当然、２本の縄の長さの掛け算。つまり、長方形に変形した

　　　　時の縦×横だ。縄は垂直方向と水平方向になる（証明は、中学３年

　　　　の中点連結定理とか）。横向きの縄をクロスさせる点はどこでもい

　　　　い。つまり、横縄の左端（と右端）は、田畑の中点で無くてもいいわ

　　　　けで、元の絵とも整合的。計算も簡単で、実用的だ。私が抱いてた

　　　　疑問もすべて消える。なお、数学的必要性はないが、絵を見る限り、

　　　　横縄の左右は、田畑ではなく長方形の左右の中点にしてるようだ。

　　　　できれば、ご本人か、朝日の山根由起子記者の見解をおたずねし

　　　　たいと思ってる。ちなみに、授業のやり方としては確かに面白い。

　　　　ただ、絵の歴史的・数学的解釈に誤解があるのでは？と疑問を抱

　　　　いてるだけだ。単なる誤解なら、今後の授業では訂正して、朝日新

　　　　聞も訂正を掲載する。それで全てＯＫだろう。。☆彡

Ｐ．Ｓ．２　大井康嗣先生ご本人から、上の指摘に同意するコメントを頂い

　　　　　　たので、長文のレスで応答させて頂いた。絵の出典や、参考書

　　　　　　にも触れてある。下のコメント欄を参照。。☆彡