一次不定方程式と整数解～足の本数だけの鶴亀算など

今日は想定外のことが連発したので、僅かな時間で数学記事を書くことに

なってしまった。言い訳してるヒマもないので、すぐに書き始めよう。テーマ

は、８月末に頂いた読者のリクエストにお応えして、「一次不定方程式」。

「１ヶ月以内には何か書けるかも」とぼかしてレスしておいたが、この辺りで

「何か」書いときたいと思ったわけだ。

「一次不定方程式」という言葉、数学好きや理系人間ならすぐピンと来るだ

ろうけど、一般にはあまり知られてないだろう。「一次方程式」は中学１年の

数学の教科書から載ってる簡単な言葉だけど、「不定方程式」は手元の高

校の教科書（レベルが高めの数研出版）でさえ見当たらない。私が知った

のは、参考書だった気がする。

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まず、（ｘ についての）一次方程式とは、「２ｘ＝６」、「５ｘ－７＝０」などのこ

と。つまり、変形すると「○ｘ＋□＝０」の形になる等式だ（○や□は定数）。

先程の例なら、それぞれ「２ｘ＋（－６）＝０」、「５ｘ＋（－７）＝０」に変形でき

るから、一次方程式だ。

未知数（＝分からない数）を表す文字が ｘ だと分かり切ってる場合を始め

として、しばしば「ｘについての」といった言葉は省く。ただ、厳密には「何に

ついての」方程式なのかハッキリさせないと、話の意味が広がり過ぎてし

まう。例えば、「ｂ² ｘ ＋ 1 ＝０」という等式は、ｘ についての一次方程式と

見るのが普通だけど、ｂ についての二次方程式とも見れるし、ｂ，ｘ につ

いての３次方程式とも見れるのだ（ｂ，ｘ が計３回掛け合わされてるから）。

話を簡単なレベルに戻すと、「２ ｘ ＝ ６」の解、つまり答は ｘ＝３ だ。この

場合、解が「定」まるから、「不定」方程式ではない。一方、「ｘ＋２ｙ ＝ ５」

という等式は、普通に見ると、ｘ，ｙについての一次方程式だが、これをみ

たす ｘ と ｙ の組合わせ（ｘ，ｙ）はいくらでもあるから、解を「定」めるのは

「不」可能。よってこれを、不定方程式と呼ぶ（微妙な話は後述）。より精

密に言うなら、ｘ，ｙについての一次不定方程式だ。

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理屈を長々と書くより、実際の問題を見ることにしよう。小学校以来有名

な、「鶴亀算」の問題を解いてみる。

「鶴と亀の足を合わせると１０本あります。それぞれの数はいくらですか？」

アレ？と思った人もいらっしゃるだろう。足の他に、頭を合わせていくつと

いう条件が与えられるんじゃないのか？♪　もちろん、普通の鶴亀算だと、

「頭を合わせると３つです」とかいう条件が加わる。

中学だと、足２本の鶴が ｘ 羽、足４本の亀が ｙ 匹として、２ｘ＋４ｙ＝１０、

ｘ＋ｙ＝３。この「連立一次方程式」は簡単に解けて、（ｘ，ｙ）＝（１，２）だ。

結局、鶴１羽、亀２匹が答。小学校の算数だと、まず仮に、すべてツルと

みなす。これだと足が６本になってしまうから、足をあと４本増やすために、

本当は亀が２匹いると考える。亀１匹は、ツル１羽より足が２本多いからだ。

けれども、「足を合わせると１０本」という条件だけで、中学校以上の数学

を用いると、２ｘ＋４ｙ＝１０。つまり、ｘ＋２ｙ＝５。これは一次不定方程式「の

形」になってる。ただし変な話だが、実際には「不定」ではなく、解は一応「定

まる」のだ。

この問題だと、ｘ と ｙ は０以上の整数だから、（ｘ，ｙ）＝（１，２），（３，１），

（５，０）。これら３組が解。結局、鶴１羽で亀２匹か、鶴３羽で亀１匹か、鶴

５羽で亀０匹。これが答となる。もちろん、どちらも１匹以上いるという前提

なら、３組目の答は除外すればよい。

こうした流れが、「不定方程式の整数解」を求めるやり方の代表例だ。「整

数」という強い条件と、「０以上」などの不等式の条件を組合わせるのがよ

く使われる方法。実際には、ｙ ＝ ０ なら ｘ ＝ ５。ｙ ＝ １ なら ｘ ＝ ３。ｙ ＝

２ なら ｘ ＝ １ 。ｙ ≧ ３ なら x は無し。そんな感じで解を１組ずつ求めてい

く。ｙ で場合分けするのは、係数の絶対値（ｙ は２、ｘ は１）が大きい変数に

着目する方が素早く調べられるからだが、 ｘ で場合分けして求めてもよい。

もう一つ、例題を挙げとこう。　　　　

「５円切手、１０円切手、２０円切手が合わせて５０円分あります。どれも

１枚は買うとすると、それぞれ何枚ですか？」。

それぞれの枚数を ｘ、ｙ、ｚとすると、５ｘ ＋ １０ｙ ＋ ２０ｚ ＝ ５０。つまり、

ｘ ＋ ２ｙ ＋ ４ｚ ＝ １０。これは、ｘ，ｙ，ｚについての一次不定方程式だ。

係数の絶対値が一番大きい ｚ に注目して場合分けすれば、（ｘ，ｙ，ｚ）＝

（２，２，１），（４，１，１）の２組が解だとすぐ分かる。よって、５円２枚かつ

１０円２枚かつ２０円１枚か、５円４枚かつ１０円１枚かつ２０円１枚。

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さて、この程度なら、どこにでも似た話が書いてあるだろう。そこで最後に、

自称マニアックサイトらしく、ほとんど見かけない主張を強調しとこう。それ

は、「不定方程式という言葉は、やや奇妙だし、かなり曖昧だ」というものだ。

やや奇妙というのは、上の例題２つからも分かるように、「不定」と言いつ

つ、実際には解が定まってるからだ。「１つには定まらないのが不定」とい

うのは、二重の意味で反論になってない。まず、「ｘ＋ｙ＝２」という不定方

程式は、ｘ と ｙ が１以上の整数なら解が１つに定まる。（ｘ，ｙ）＝（１，１）

だけだ。一方、「ｘ²－３ｘ＝０」という２次方程式は、解が１つには定まらな

い（０と３、２つの解）が、不定方程式とは言わない。

そこで、もう少し話を限定して、例えばこう定義してみよう。「変形して、○ｘ

＋△ｙ＋□＝０ になる方程式を、ｘ，ｙの不定方程式と呼ぶ（○、△、□は

定数）」。この場合、整数であるとか、他の条件抜きだと解が無限にあるか

ら、不定と呼ぶにふさわしいだろう。解を有限個に「定」めるのが「不」可能、

という意味だ。

ところが、比較的信頼できそうなサイトや手元の参考書を調べた時、この

定義は実際にはなぜか見当たらないのだ。ウィキペディアの日本語版は、

「ディオファントス方程式」（＝整係数・他変数・高次・不定方程式）という項

目名で小難しい話を僅かに紹介してるだけだし、英語版ウィキの「indeter-

minate equation」もほとんど走り書き程度の記事で、英語版としては珍しく

論外の説明。

名古屋大が公開してる講義用ｐｄｆファイルでは、整数のように「飛び飛び」

の量を扱う「離散」数学の授業だからか、係数と変数をあらかじめ整数に

限って定義してある。一方、毎度お馴染み、講談社『現代数学小事典』を

見ると、係数と変数は整数で、数式は有限個（２つとか３つとか）まで拡張

してあるし、科学新興社『モノグラフ　公式集』では定義なしで曖昧なまま。

ちなみに、ありがちな発想として、「変数の数が方程式の数より多い（連立）

方程式」というものがあって、これは先の私の定義の延長上にある（大幅

に拡張）。ただ、実際には、係数や変数を整数と限ってる場合が目立つし、

方程式は１本だけ、しかも１次のことが多い。したがって、むしろ、「変数が

２個以上の１本の一次方程式を、慣習的に（一次）不定方程式と呼ぶ。通

常、係数は整数」と、緩やかに定義するのが実情に合ってる気がする。。

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ともかく、繰り返しになるが、「不定方程式という言葉は、やや奇妙だし、か

なり曖昧だ」という指摘を、私としてはしておきたい。これまでの一連の記

事でも示唆されてるように、数学の世界でさえ、実はそれほど話が厳密に

確定されてるわけでもないし、見解が統一されてるわけでもない。さらに言

うなら、そういった事態の理解もあまり進んでないのが実情だろう。少なくと

も私は、数学の授業でそういった観点を教わったことは一度もないし、読ん

だこともないのだ。数学以外でなら、度々あるにも関わらず。。

結局、数学にせよ科学にせよ、理系の専門家が断定口調で語る話にさえ、

常に注意が必要だということだ。文系に関しては、言うまでもないだろう。

本当に必要で、優先されるべき教育とは、与えられた知識に対して十分注

意を払いつつ、誠実に深く自分で考察する知性の養成だと思ってる。ただ

し残念ながら、今の世の中、これは極端な少数意見のようだ。

なお、不定方程式については、平面図形・空間図形との関連でいずれ別

記事を書くかも知れないし、「不定の連立方程式」についてはいずれ線形

代数や行列との関連で扱うかも知れない。一次不定方程式の整数解を

平面図形で考えると、式が表す直線上の格子点（＝両座標が整数の点）

になる（ｘ＞０，ｙ＞０という条件なら第一象限の点）。

ではまた。。☆彡