同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４

数学者ペアノの自然数論の追求から始まって、小学校の足し算・引き算・

掛け算まで記事を書き終えたのが、去年（２０１０）の９月１８日。それから、

４ヶ月近くも経ってしまったが、正月明けの連休の今日、ようやく小学校の

割り算（＝除法）を扱うことにしよう。

現行の義務教育のカリキュラムで、「わり算」が正式に導入されるのは、小

学３年生の算数だ。代表的な教科書の一つ、『新編　新しい算数　３上』（東

　　京書籍）を見ると、第３章が「わり

　　算　新しい計算を考えよう」。まず、

　　前置き的に「『分けた』ことがある

　　かな？」というページ（ほとんど絵）

　　が置かれた後、きっちりした説明

　　のスタートはｐ．２３。クッキー１５

　　個を３人で「同じ数ずつ分ける」話

　　になってる（短く言い換えるなら、

　　等分）。

この表現から、割り算の本質が２つあることに気付く。一方は、「同じ数ず

つ」集まった状態（ｏｒ 集合）を考えること。他方は、「分ける」ことだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　

まず、「同じ数ずつ」集まった状態を考え始めたのはいつなのか。「一つず

つ」という基本的過ぎる場合を除くと、小学校１年の教科書（『新編　新しい

算数１』東京書籍）で最初に出て来るのは、５３ページ中央の写真だ。そこ

では説明抜きで、ヨーグルト「２個ずつ」が１０パック、リンゴ「５個ずつ」が

４皿（ｏｒ盆）、写されてる。実際の授業では、教師が「５個ずつ４皿に分けら

れてますね」とか説明を加えるのだろう。

もっと意図的な教育として、「同じ数ずつ」集まった状態が登場するのは、

同じく１年の教科書の第１２章「２０より　おおきい　かず」だ。鉛筆に似た

棒が多数あり、それを数える話からスタートする。

既に２０以下については、第６章「１０より　おおきい　かず」で扱われてお

り、そこでは例えば、１０個＋７個で１７個と数えるやり方が導入される。

十ずつ集まるごとにケタが進むように数える方法、いわゆる「十進法」だ。

それを用いて、第１２章で２０より大きい本数を扱う時、まず「１０本ずつ」

で２束作って、残りが７本、よって合計２７本、といった流れで教えられる。

つまり、大きい数を十進法で表すこと自体が、「同じ数ずつ」集める操作

を学ぶ上で重要な役割を果たしてるわけだ。

一方、同じ数ずつに限らず、何らかの形で「分ける」ことのスタートは、引

き算だと考えられる。実際、引き算を教える際には、元の個数を２つに分

ける行為を示す絵が使われてるのだ（単に分かれてるのではなく）。「７－４

＝３」という数式だと、分けるというイメージ（観念）を持ちにくいが、７個の

物から３個取り除く動作の絵は、端的に３個と４個に分ける作業を表してる。

算数とか数学を考える際、言語、数式、記号のレベルで考えることがほと

んどだが、基礎的な教育にせよ日常生活にせよ、実際にはより素朴なも

のとしてのイメージ（図像）が、重要な役割を果たしてるのは間違いない。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

こうして、小学１年から少しずつ、「同じ数ずつ」集めること、「分ける」こと

を、学んでるわけだが、３年で割り算を導入する前には、他にも興味深い

話が導入されている。それは、単位と測量だ。

例えば、ある物の長さを測って５ｃｍとすることは、まず１ｃｍという単位の

長さを決めた後、物の長さを単位５つへと分けることだ。物の長さと単位

の長さ、これら２つが所与のもの（＝先に与えられたもの）だから、これは

掛け算ではなく、実質的には割り算になる。ただ、この話はしばらく後で、

物理学の基礎を考え直す際に扱うつもりなので、ここではこの程度に留め

とこう（単位の問題については、かなり突っ込んだ記事を前に書いてある）。

様々な準備作業の後、３年の第３章で割り算を導入する時、まずクッキー

１５個を３人で分ける絵が示された後、第１節は「１人ぶんの数をもとめ

る計算」（＝等分除）となってる。最初の問題は、なぜかクッキーの数が３個

減って、１２個を３人で分けると１人分は何個か、というものだ。

もちろん、答えは４個だが、そこに至るプロセスを示す絵が興味深い。い

きなり１２個を４個ずつ分けずに、まず１個ずつ３人に配って、残り９個の

状態にする。この「１個ずつ」配る操作を４回繰り返して、結果的に４個ず

つに分けるのだ。

これはまず、文字通り「実用」的な分け方である。確かに、沢山の物を複

数の人間に分ける時、１個ずつ配る操作を繰り返すのは、子供の頃によ

くやったことだ。全員が同じ数だということが分かりやすいし、元の個数も

割り算も必要ない。と言うより、まったく計算が要らないのだ。１個取るこ

と、順番に配ること、この２種類の最も単純な動作だけでいい。

おまけに、その絵や考え方は、割り切れない場合、つまり、「余り」のある

割り算への導入にもなってる。実際、元の１２個から、３個ずつ３人に配ら

れた状態では、残りは３個。この絵から、しばらく後で、元が「１1個」の場

合の絵に進むのは簡単だろう。当然、３個ずつ３人に配られた状態では、

残り２個であって、これはもはや、１個ずつ配ることはできない。この、人

数（＝割る数）より少なくなった残りのことを、「余り」と呼ぶわけだ。

とにかく、絵を用いて、１個ずつ３人に配る操作を４回終えた後、「まとめ」

の枠組の中に、こうまとめられる。

　　　　１２このクッキーを、３人で同じ数ずつ分けると、

　　　１人ぶんは４こになります。

　　　　このことを式で、次のように書きます。

　　　　　１２÷３＝４

　　　　「十二　わる　三は　四」　　　　　　　　　（p.24）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　

上の問題と次の問題では、クッキーにせよ、おはじきというやや抽象的な

物にせよ、複数の物を実際に分配している。それに対して、実質的な３問

目（教科書では、四角で囲まれた２番）で、掛け算との関連が示される。

いちご２０個を５人で同じ数ずつ分けると何個かという問題。

　　　　（１人ぶんの数）×（人数）＝（全部の数）

という式にあてはめて、１人分が１個の時、２個の時、３個の時と考えて行

き、最後に４個の時へと到達する。

　　　　　「１人ぶんが・・・４このとき　４×５＝２０」。

その後、よくある形の説明が登場する。

　　　　「２０÷５の答えは、□×５＝２０の□にあてはまる数です。

　　　　　２０÷５＝４　　　答え　４こ」。

すぐ下の「まとめ」では、「２０÷５の答えは、５のだんの九九で見つけられ

ます」とある。こうして、いわゆる「掛け算の逆の計算（逆演算）としての割

り算」が導入されるわけだが、この話がちょっとだけ後回しになってる点に

は注意しときたい。つまり、高級な数学の理論構成はともかく、算数教育

のプロセスとしては、割り算のスタートはあくまで「同じ数ずつ分ける」こと

であって、掛け算など使ってないのだ（教科書でお馴染み、新興出版社・

啓林館のＨＰでもそう指導されてる）。

むしろ、最も本質的な計算は引き算だろう。余りがゼロになるように分配

するわけだから、「初歩的な」割り算の答えを探す時に重要なのは、余り

の計算。つまり、引き算なのだ。ただ、「いくつ引くか」を手際よく計算する

ために、掛け算が使われることになる。

２０個のいちごを、５人で分ける時、２個ずつ配ると余りは１０個。ここで、

「２０－（２×５）＝１０」と計算する時、初めて掛け算が役立つわけだ。そし

て、「２０－（４×５）＝０」、つまり余りがゼロになる時には、（式変形など使

わず最初から）「４×５＝２０」という式を書く。こうして、「２０÷５」の答えが、

「５をかけて２０になる数」だとされる。

話を教科書に戻すと、「まとめ」のすぐ下に、可愛いキャラクターの絵と共

に、「□×５＝５×□だね」とある。これが実は、次節の何気ない準備になっ

てる。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

第１節は、「１人ぶんの数をもとめる計算」だったが、第２節は、「何人に分

けられるかをもとめる計算」（＝包含除）。これは、数式にしてしまうと同じ

割り算とも考えられるが、元は確かに、少し違う話だ。

そろそろ時間が無くなって来たので、第１節と同様の巧みな図は省略して、

いきなり「まとめ」を見るとしよう。

　　　　　　１２このパイを、１人に３こずつ分けると、

　　　　　　４人に分けられます。

　　　　　　このことも、わり算の式で、次のように書きます。

　　　　　　１２÷３＝４　　　　　　　　　　　　　　　　　（p.27）　

そのすぐ下には、「１２をわられる数といい、３をわる数といいます」と説明さ

れ、かけ算の場合の呼び名と対比されている。「３×４」で、左側の３を「か

けられる数」（＝被乗数）、右側の４を「かける数」（＝乗数）と呼んで区別す

るのは、割り算の時の呼び名（被除数と除数）と合わせる意味もあるのか

も知れない。つまり、左側の数が受動形（～される）、右側の数が能動形

（～する）というわけだ。

次のページでは、いちご２０個を５個ずつ分ける問題がある。第１節では

５人に分ける問題だったのを、第２節では５個ずつ分ける問題へと変えて

るのだ。もちろん答えは同じだが、説明がほんの少し違ってる。

　　　　　２０÷５の答えは、５×□＝２０の□にあてはまる数です。

　　　　　　２０÷５＝４　　　答え　４人

第２節では、「５×□」が出て来るからこそ、第１節で「□×５」と説明した直

後に、「□×５＝５×□」などという意味ありげな式（乗法の交換法則）が書

かれてたというわけだ。

第３節は「何倍かをもとめる計算」だけど、これは第２節と似たような話だろ

う。スチール缶３６個がアルミ缶９個の何倍か？、と言うと、かなり違う話に

見えるが、要するに「３６個は９個の何倍か？」、つまり、「３６個を９個ずつ

分けると何組になるか？」という話だからだ。問われてるのは割り算ではな

く、抽象能力。スチールとアルミの違いを捨てる（＝捨象する）能力だ。

ちなみに、第１節の「１人分の数を求める割り算」を、教育理論的に「等分

除」と呼ぶのは分かりやすいが、「何人に分けられるかを求める割り算」を

「包含除」と呼ぶ理由は分かりにくい。おそらく、余りがある場合が普通だと

想定してるからではないか。７コを２コずつ配るのなら、３人に分けられて、

１コ余る。この時、配られる総数は６コで、元の数７コに含まれる（＝包含さ

れる）。こうゆう意味で、包含除と呼ぶんだろうと思うが、差し当たりは仮説

にすぎない。。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、０の割り算について。第２節の最後に、「０や１のわり算」という項

目があって、０個のクッキーを同じ数ずつ４人で分けると０個になることが

丁寧に示されてる。つまり、元が８個なら、８÷４＝２。元が４個なら、４÷４

＝１。そして、元が０個なら、０÷４＝０。元の数が４個ずつ減る度に、一人

分が１個ずつ減るから、分かりやすいと言うより、「多少、分かった気になり

やすい」説明だろう。０を０でない数で割る計算の答えは、一般に０なのだ。

一方、この教科書も含めて、多くの小学生向けの本では、「０で割る計算」

には触れてない。私が書店で参考書を探してみると、「０でない数を０で割

る計算」（例えば１÷０）の説明には、「一応」２通りあった。一つは、答えが

ない、とするもの。もう一つは、そのような計算はない、とするものだ。確か、

前者が教学研究社で、後者が学研だったと思うが、調べたのが数ヶ月前

で、書名を忘れてしまったので、後でまた調べて補足したいと思ってる。

　　　（☆追記：　答えなしが、教学研究社『高学年　算数　小学事典』。

　　　　　　　　　　そんな割り算はないとするのが、

　　　　　　　　　　学研＝学習研究社『基礎から発展　まるわかり小３算数』。）

出典はさておき、「答えがない」という説明は、計算を定義して初めて成立

するもので、要するに掛け算の逆として割り算を考えてるわけだ。「□×０

＝１」の□に入る数はないから、答えがないということになる。

けれども、０での割り算に別の定義を与えるなら別の話であって、例えば割

り算の第２節に戻って、１個を０個ずつ分けると考えれば、無限に多くの人

に分けられるとも考えられるから、答えを無限大とか無数としても不思議で

はない。「余り」は、ゼロでも１でもいいだろう。

そういった概念や考え方が、小学生には難し過ぎるというのなら、カリキュ

ラム上、後回しにすればいいだけのこと。「１÷０については高校で習う」と

か説明すればいいだろう。もちろん（小学校の）教科書では省いてよい、と

言うより、省いた方がいい。枝葉の話で無用な混乱を招くだけで、焦点が

ボケてしまう。

一方、「計算がない」という説明は、一見、別の話のようだが、実際の説明

を読むと、「答えがないから計算を考えない」の短縮表現になってる。要す

るにこちらも、答えがないと言ってるのだ。

しかし、答えがないという説明は、「０を０で割る計算」の場合には困ること

になる。「□×０＝０」の□に入る数は任意（何でもＯＫ）だから、「答え　任

意の数（ｏｒ すべての数）」でもいい気がしてしまう。

いずれにせよ、０で割る計算の問題は、予想以上に厄介で、無限も含め

た「極限」の話、あるいは理論体系の整合性などの話と絡んで来る。この

記事はあくまで、小学校の算数の記事だから、この程度で終わりとしよう。

もちろん、既に少しは考えてるので、しばらく後に記事にしたいとは思って

る。ただ、ちょっとキワモノ的な感じもあるから、記事のネタの優先順位と

しては低い。

なお、もっと普通の話に戻って、余りのある割り算については、もう上の説

明で終了としとこう。同じ数ずつ分けた時、余りがないことより、余りがある

ことの方が普通だから、ここまで使った教科書で言えば、第８章で登場す

る。余りは「あまり」とひらがなで書かれており、「・・・」という記号はまだ登

場していない。

ちなみに、割り算の余りというのは、自然数（あるいは整数）の範囲の話で

あって、やがて小数や分数を習えばほとんど出なくなる。小学校卒業後の

「数学」で、少しだけ「剰余」の話が出るだけだ。剰余系とか剰余定理とか。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上で、小学校の算数だけで４部作が揃ったことになる。足し算、引き算、

掛け算、割り算。では、図形の方はどうなってるのか。今度はそちらも気に

なって来るが、私はむしろ、個人的に物理の話を書きたくなってるのだ。

これまで何度も書いて来たように、物理記事というのは、ドラマ関連を除く

と奇妙なほど不人気で、これは物理学という学問自体が不人気なことと関

係してるだろう。ただ、物理は自然科学の基本というより、自然科学そのも

のといってもいいし、数学や哲学との関係も深くて長い。また、テレビ番組

と関連して話題になることも珍しくないのだ。昨日まで再放送されてた、福

山雅治のドラマ『ガリレオ』にせよ、数学の難問で物理とも関連が深いポア

ンカレ予想を扱った、『ＮＨＫスペシャル』にせよ。

単なる趣味のブログだし、他の多くの記事で十分なアクセスが入ってるか

ら、物理記事にアクセスが少なくてもさほど困らないけど、やり方次第でそ

れなりの人気は集められると思ってる。これまで、あまりにも数学に偏って

たから、バランス調整の面でも、もう少し自然科学を扱うべきだろう。もち

ろん私は、人文・社会系にもスポーツにも、十分な関心を持ってるわけだ。

と言うわけで、次は物理系の記事を書く予定。この記事の流れを継いで、

「小学校の物理（ｏｒ理科）」にするか。あるいは高校・大学レベルの話にす

るか。これから考えるとしよう。

なお割り算の筆算については、前に世界各国の違いを記事にして、意外な

ヒットになった。あちこちでリンクも頂いてる。ともあれ、今日はこの辺で ☆彡

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Ｐ．Ｓ．割り算が掛け算の逆演算だという話を、簡単に形式的に証明しよう。

　　　　まず、ｘ （エックス）を２倍する掛け算は、 ｆ（ｘ）＝２ ｘ と定義できる。

　　　　一方、２倍すると ｘ になる数を求める計算、つまり、ｘ ÷２の割り算

　　　　は、ｇ（ｘ）＝１／２ ｘ　と定義できる。

　　　　この時、一般に、ｇ（ｆ（ｘ））＝１／２×（２ｘ）＝ｘ

　　　　つまり、合成関数 ｇ（ｆ（ｘ））は、変数 ｘ を全く変えない恒等関数。

　　　　よって、ｇ（ｘ）はｆ（ｘ）の逆関数。つまり、２で割る割り算は、２倍する

　　　　掛け算の逆演算である。

　　　　同様の論法で、０でない数で割る割り算は一般に、その数を掛ける

　　　　掛け算の逆演算である。

ｃｆ．「１＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　『１＋１＝２』はなぜか～小学１年生の算数の教科書

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　割り算の筆算、世界の書き方～朝日新聞「花まる先生」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　６７５０文字）