三角関数の極限「（ｓｉｎθ）／θ→１ （θ→０）」の証明とアルキメデス

数学や物理の基本には、微分・積分があり、その根底には「極限（ｌｉｍｉｔ）」

の理論がある。微分も積分も、一種の極限なのだ。高校の数学で、極限

の基礎を習う時、三角関数については「やや変わった」証明が使われる。

数式の話の中に突然、図形の面積の比較が登場するのだ。

教科書、参考書、ネット、至る所で、三角関数の極限（ｌｉｍｉｔ）の基本は、

（ｓｉｎθ）／θ → １　（θ→０）とされている。普通の記号法なら次の図だ。

　　　これを証明する方法は一応色々

　　　あるが、少なくとも高校レベルで

　　　　は、下のような形で証明される

のが普通だ。私の手元にある、有名なシリーズ『モノグラフ』の２４巻、『公

式集』（矢野健太郎監修，科学新興社）でもこうなってる。

θ→０だから、０＜θ＜π／２か、－π／２＜θ＜０としてよい。

　　　前者の場合、左図（半径１）で

　　△０ＡＢ ＜ 扇形ＯＡＢ ＜ △ＯＡＣ。

　　よって、三角形と円の面積公式より

　 (ｓｉｎθ)／２ ＜ θ／２ ＜ (ｔａｎθ)／２

　　∴ ｓｉｎθ ＜ θ ＜ ｔａｎθ

　全辺をｓｉｎθ（＞０）で割ると、

　　１ ＜ θ／ｓｉｎθ ＜ １／ｃｏｓθ

θ→０の時、右辺の極限は１だから、「はさみうちの原理」より、中央の

θ／ｓｉｎθの極限も１となる。したがって、（ｓｉｎθ）／θの極限も１。

一方、　－π／２＜θ＜０ の場合は、θ＝－ｔ とおけば上と同様。

結局、いずれにせよ、ｌｉｍ （ｓｉｎθ）／θ ＝ １　（θ→０）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、「この証明は『循環論法」にすぎない」という批判は、昔からお馴染み

のもので、大学教官執筆ページも含めて、現在ネット上にもあちこちに見

られる。つまり、途中で扇形の面積を求める時、こっそり積分してることに

なるが、その積分の基本には微分、微分の基本には極限があるから、全

体的には、三角関数の極限を求めるのに、その三角関数の極限を使って

しまってるというわけだ。

ここでどうするかは、人によって多少分かれる。別に、扇形や円の面積に

積分や極限は要らないと考えれば、循環ではない。実際、小学校で円の

面積を（大まかに）習う時に、積分も極限も使ってないわけで、だからこそ、

面積を用いた上の極限の証明は、今でも標準的なままなのだ。あの面積

の教え方は不完全だと言うなら、そもそも足し算の教え方でさえ不完全だ

と反論できる。ウチの記事で丁寧に示した通り、一番基本的な足し算でさ

え不完全なまま、算数も数学も進められて、さほど困らないのが実情だ。

逆に、大学レベルのハイレベルな方針としては、そもそも三角関数の定

義を根本的に変えてしまうという技がある。直角三角形も単位円も使わず、

複雑な式で定義するのだ。手元の『解析入門』（杉浦光夫，東京大学出版

会）でも、「第Ⅲ章　初等函数」で、まず ｓｉｎθ や ｃｏｎθ を無限級数の形

　　で定義し、そ

　　こから三角関

　　数の極限を導

いたり、π（いわゆる円周率）を定義したりしている（上図が定義式、原文

は θ ではなく ｚ ）。

一方、それら両極端の間には、折衷案がある。つまり、面積ではなく、長

　　さに注目して、例の極限を導くの

　　だ。図（半径１）を再掲しよう。もし

　　「線分ＡＢ ＜ 弧ＡＢ ＜ 線分ＡＣ」

　　が言えるなら、

　　２ｓｉｎ（θ／２） ＜ θ ＜ ｔａｎθ。

　　線分ＡＢの計算方法はいくつかあ

　　るが、その半分がｓｉｎ（θ／２）だ

からと考えるのが簡単だ（点Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろして二分する）。

その後、全辺を正の数 ｓｉｎθ（ ＝２ｓｉｎ（θ／２）ｃｏｓ（θ／２） ）で割って、

　　　１／ｃｏｓ（θ／２） ＜ θ／ｓｉｎθ ＜ １／ｃｏｓθ　

これでθ→０とすれば、左右が１に収束するから中央も１に収束。

最後に逆数を取って、分母・分子を逆転すればいい。θ＜０の場合も、

θ＝－ｔ と置いて式変形すれば ｔ＞０ となるので、同じことである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了）

さて、ここで「線の長さ」の比較が問題となる。まず、「線分ＡＢ ＜ 弧ＡＢ」

については、ほとんどの人が当たり前とするようだ。実は、これ自体も問

題なのだが、今日の所は当然とみなしとこう。すると残る問題は、もう一つ

の比較、「弧ＡＢ ＜ 線分ＡＣ」となる。

流石にこれは、数学好きな人なら、ちょっと厄介な事だということくらい、す

ぐ分かるだろう。ちなみにこの記事は、高校２年の数学（数Ⅱ）を知ってる

人を念頭に置いて書いてるので、念のため。

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ここからが本題なのだ。「弧ＡＢ ＜ 線分ＡＣ」という不等式は、中学校なら

まずヒモで比べてみる手がある。実際に確かめた後、「詳しいことは大学で

習うんだよ」とか説明すればいい。本当に大学で習うかどうかは別として♪

しかし高校以上だと、それなりの一般的な理論が欲しくなる。今現在、圧倒

的に使われる理屈が、「弧の長さ」を「無数の短い弦の長さの和の極限」と

して定義する考え方だ（弦とは円周上の２点を結ぶ線分）。基本的には、か

の有名な高木貞治『解析概論』（改訂第３版，岩波書店）でもそうなってるし、

高校３年の数学（数Ⅲ）の「曲線の長さ」でもそうだし、ネットを見渡しても、

その路線ばかりが目に付く。

要するに、曲がった線を、真っ直ぐな線（の和）へと還元してるのだ。ちな

　　みに左図は、３つの弦に分解した様子。

　　これを無数の弦へと増やせば、それら

　　の和が「ほとんど円弧に一致しそうな気

　　がする」ことは確かだろう。

　弦の長さへと還元す

　れば、弧より垂線ＡＣ

　が長いことは簡単に

　示せる。中学の図形

　の証明問題としても

　難しくはない。別に、

　積分計算を実行して

　曲線の長さの値を求

　める必要はないので

　あって、大小関係さ

え分かればよいのだ。上のように補助線を引けば、個々の弦よりも、対

応する垂線の一部の方が長いのはすぐ分かるだろう。右端に鈍角三角

形が出来るので、「 弦 ＜ （平行な点線） ＜ （対応する垂線の一部） 」。

ただし、「無数の短い弦の長さの和の極限」が「存在する」こと、つまり和が

有限確定値に収束することについては、別扱いで示す必要がある。弧の

長さだから図形的に確定してるという論法は、間違いだ。弧の長さを、図

ではなく極限の式で定義するのだから、極限の存在証明に弧の図は使え

ない。その点を高校レベルで示そうとすると、三角関数の極限を密かに使っ

てしまうことになるが、大学の解析学なら証明できる。

一言で済ませるなら、「有界閉区間で連続な関数は積分可能である」とい

う定理を用いる。上の問題なら、「両端を含めてつながった曲線を、無限

の弦の和と考えると、この和は実数値として求められる」という定理だ。こ

の証明は難しいが、「分割」、「リーマン和」などの用語を厳密に定義して、

少しずつ話を進めればよい（前述『解析入門』ならｐ．２０６～２２７辺り）。

けれども、曲線の長さを極限や積分で「定義」する考えは、歴史的に最近

の話であって、古代ギリシャから２０００年ほどの間はそうではなかったし、

今現在でも数Ⅲを習ってない人にとっては知らない話だろう。そこで私は、

もっと普通の図形の理論を探してみた。その結果、辿り着いたのが、かの

天才アルキメデス。偶然か必然か、積分の考えの元祖とも言うべき学者

であった。

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実は私は最初、数学の古典的バイブルであるユークリッド（＝エウクレイ

デス）の『原論』を探してみたが、どうしても見当たらない。まだ「無い」とは

断定しないが、少なくとも明確な形では、曲線より少し長い直線の話は書

かれてないのだ。

そこで、古代ギリシャが誇る天才アルキメデスの著作を探すと、『球と円柱

について　第一巻』の冒頭に、明確な形で本質的議論が書かれていた。ア

ルキメデスで圧倒的に有名なのは、『円の計測』における円の面積の証明

と円周率の近似計算だろうが、『球と円柱』は内容が違う。今現在、以下の

話を三角関数の極限と結びつけた日本語サイトはネット上に見当たらない。

『原論』と同様、まず「定義」が置かれた後、「仮定」（英訳は assumptions）

がある。手元の『ギリシアの科学』（三田博雄訳，中央公論社）から引用し

てみよう（ｐ．４５０）。

　　　仮定　　私は以下のことを仮定する。

　　　一　　同じ限界をもつ線のうちで最小のものは直線である。

　　　二　　一平面上にあって同じ限界をもつ（直線）以外の線のうち、

　　　　　　つぎのようなものは不等である。すなわち、両曲線とも同じ

　　　　　　向きに凹であって、一方の曲線全体が他方の曲線と、それ

　　　　　　と同じ限界をもつ直線との間に囲まれるばあい、もしくはあ

　　　　　　る部分は囲まれるけれども、ほかの部分は他方の曲線と

　　　　　　共通であるといったばあいである。そして、囲まれる方の曲

　　　　　　線はより小さい。

　　今から２０００年以上前の論文の、

　　古い翻訳だから、やや分かり辛い

　　が、簡単な事を最初に「仮定」して

　　るのだ。左図のように、２点を結ぶ

　　線を並べた時、線分が最短

　　で、右外側にある線ほど長い

と言ってるのだ。線は、いわゆる曲線（滑らかに曲がった線）でも、折れ線

でも構わない。

この仮定は、確かに直観的にそう感じるし、ヒモで調べることも可能だが、

「図形的に証明」することは出来ない。だからアルキメデスは、根本的な

「仮定」として認めて、その後直ちに、円周よりも外接多角形の周の方が

長いと主張している。仮定から明らかだから、邦訳では証明が省略され

てるが、原文を見るときっちり証明してあった。　　

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　　このアルキメデスの仮定を認める

　　なら、例の「円弧ＡＢ ＜ 線分ＡＣ」

　　という不等式はすぐ示せる。図で

　　弧ＡＤ ＜ 線分ＡＣ＋線分ＣＤ　。

　　∴　２×弧ＡＢ ＜ ２×線分ＡＣ

　　∴　弧ＡＢ ＜ 線分ＡＣ

したがって、最初の話に戻ると、面積を使わずに線の長さの話から、三

角関数の極限「ｌｉｍ （ｓｉｎθ）／θ　（θ→０）」が求められるのだ。

念のために書き添えると、これは、証明すべき内容を、偉人の名を借りて

いきなり認めたというだけの事ではない。ポイントは２つある。まず、問題

となってる不等式より遥かに根本的な図形的性質まで遡ってること。また、

それは正しいけど、もはや証明できないことを認めて、「仮定」したこと。仮

定と呼ぼうが公理と呼ぼうが、数学を始めとする論理的学問には、根本的

にみんなで何かを認めるということが不可欠なのだ。

というわけで、弧の長さを弦の和の極限として定義しなくても、図形的議論

は成立するし、それを用いて三角関数の極限を論じることも可能なのだ。

ちなみにこの話を、専門家である友人に話してみたら、スッキリしたという

感じで納得してくれた。弦の和の極限という話は高校３年以上のレベルだ

が、このアルキメデス的な議論ならば、本質的部分（弧ＡＢ ＜ 線分ＡＣ）は

中学生でも簡単に理解できる。

いずれにせよ、最も基礎的な次元にある概念の一つは、「長さ」だろう。こ

れについては、また別記事で考察してみたい。

とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．アルキメデスの引用箇所のギリシャ語原文は以下の通り。Ｇｏｏｇｌｅ

　　　　ブックスの公開テキストで、最初のギリシャ語「ΛAMBAN'oMENA」を

　　　　Ｇｏｏｇｌｅ翻訳で訳してみると「借入」と出た。いわゆる「仮定」より、く

　　　　だけた言葉かも知れないが、Ｇｏｏｇｌｅ翻訳の精度はかなり低いので

　　　　当てにならない。

ｃｆ．三角関数 ｓｉｎθ の微分、単位円による図形的証明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４５１４文字）