体内摂取した物質の放射線量の計算～物理学＆生物学的半減期

（☆７月１４日追記：　セシウム汚染牛肉をめぐる関連記事をアップ。

　セシウム牛肉、食後１年間での被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）　）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

忙しくて時間がとれない中、久々に放射線関連の記事をアップしてみよう。

簡潔にまとめたものだけど、今現在ネット上に（ほとんど）見当たらないマ

ニアックな内容にはなってると思う。

東京電力・福島原発の事故が、いずれ何とか収まるとしても、放射線の問

題はその後も長く残るだろう。ヨウ素はすぐ消えるとしても、セシウムやプ

ルトニウムは延々と放射線を出し続ける。放射性物質や放射線への関心

も、当然続くだろう。

放射性物質や、それが含まれる野菜・水が、どれだけの放射線を出すの

か。その放射する能力（＝狭義の放射能）を示す単位がベクレル。また、

我々が体重１ｋｇ当たりで吸収する放射線量を表す単位がグレイ。さらに、

その線量がどのくらい人体に実害を与えるかを考慮した「実効線量」の単

位がシーベルトだ。これら３つは、以前の記事でわりと詳しく書いてる。

人々の関心は当然、何をどれだけ摂取したら危ないのかという問題に向

かうことになるわけだが、理数系の話が好きな人間にとっては、何ベクレ

ル摂取すると何シーベルトになるか、という話が気になる。

この換算は、一般には「実効線量係数」（effective dose coefficient）という

ものを掛ければいいと言われてる。例えば、ヨウ素１３１の経口摂取なら

ベクレル×０．０２２＝マイクロシーベルト。これも、既に前の記事に書いて

ることだ。係数の一覧表は、例えば「緊急被ばく医療研修のホームページ」

にある。

（☆追記：　４月５日の朝日・朝刊は係数０．０１６を採用。詳しくは、下の記

　　　　　　　事のＰ．Ｓ．３、４、５を参照。

　　　　　　　シーベルト、グレイ、ベクレル～放射線・放射能の単位について　）

ただ、この係数が、放射性物質の種類や摂取方法によって違うのはいい

としても、それほど厳密なものではないという点は語られることが少ない。

ＩＣＲＰ（国際放射線防護委員会： International Commission on Radiological

Protection）が１９９６年に示した報告書（Ｐｕｂｌ．７２）の数値が出回ってる

が、あれは一つの参考に過ぎないのだ。そもそも医学・生理学が絡む複

雑な問題だし、実験も観察も非常にしにくいことなのだから。

早い話、長期間の人体実験を大勢の被験者で行うことなど不可能だ。考

えれば明らかなことだし、実際、帝京大学の「複合災害救援の基本的考

え方と放射線被曝防護」と題するｐｄｆファイルでも、人体への影響を計算

する困難さが強調されている。もちろんウチでも、最初からハッキリ書いて

たことだ。

とはいえ、ベクレルからシーベルトを求める際の長い理論的プロセスには、

数学的に明快な部分も一応ある。それは、半減期と放射線量に関わる部

分だ。以下では、その点について、数式計算でハッキリさせておこう。　

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、高校１年・物理の教科書レベルからスタートする。

　　放射性物質（ヨウ素１３１，セシウム１３７など）のベクレルの値

　　　　　　　　　　　＝　１秒間に崩壊する原子核の数

　　　　　　　　　　　≒　１秒間に出る放射線（β線、γ線など）の量

「≒」は近似を表す記号で、本当は比例だから「∝」と書くべきだけど、等号

「＝」に似た「≒」で書く方が分かりやすいだろう。上の式から、もしベクレル

の値が変わらないならば、「（ベクレル）×（秒数）≒（放射線量）」だ。

しかし実際には、ベクレルの値（≒放射能の強さ≒放射性物質の量）は、

「半減期」の時間が経つごとに、１／２になって行く。つまり、ベクレルは時

間ｔの関数だから、Ｂ（ｔ）と書くことにしよう。すると最初（つまりｔ＝０）のベク

レル数は、Ｂ（０）と書ける。さらに半減期をＴと書けば、ｔ＝１Ｔの時に１／２、

ｔ＝２Ｔの時に（１／２）の２乗になるから、以下同様に考えれば、以下の式

が成立する。と言うより、これが半減期Ｔの定義式だ。

　　　　
時間ｔにしたがって刻々と変わるＢ（ｔ）に、非常に短い時間を掛け合わせたも

のを、長い時間にわたって合計すれば、全体の放射線量（とみなせるもの）

が求められる。ｘ 年後までの全放射線量をＲ（ｘ）と書けば、５０年後（＝１５７

６８０００００秒後）までの全放射線量Ｒ（５０）は、次の「定積分」で表される。

難しく見えるが、実は計算のレベルも答えも高校３年の教科書レベルだ。

計算結果は下の通り。莫大な秒数は関係ない。中央の「＝」は、本当は

「≒」だが、誤差はほとんど無視できるから等号「＝」にしてある。

つまり、Ｂ（０）Ｔ ／ ｌｏｇ２ が答。したがって、半減期Ｔに比例する。ちなみ

に分母のｌｏｇ２は、約０．６９３。分子の半減期 Ｔ は秒で表した数字だか

ら、かなり大きい数。半減期の短いヨウ素１３１でさえ約８日間だから、約

７０万秒。セシウムなら約３０年だから、遥かに大きい数字だ。ただし、人

体への影響を考えてシーベルトの値を求める時に、数字は一気に小さく

なる。そこの計算部分は、まだブラックボックスだけど、もはや数式計算

のように明快な話が出来なくなるレベル、人間的な話なのだ。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

私自身の興味は、実はこの先の僅かな部分にあった。ここからは、物理

の高１教科書レベルを少しはみ出す話だが、数学的には高１の教科書レ

ベル。ただし、考えたことが一度もなかったから面白かったのだ。半減期

が２種類ある場合を考えてみよう。

現在の日本社会も含めて、普通に話題とされるのは物理学的な半減期だ。

つまり、原子核の崩壊による半減期。ヨウ素が８日、セシウムが３０年といっ

た数字はすっかりお馴染みだろう。一方、生物の体内に取り込んだ放射性

物質がどうなるかという点も少しだけ話題になってるが、計算式を見ること

はない。それどころか、朝日・読売・毎日新聞のサイトで検索する限り、生

物学的（な）半減期といった言葉は見当たらない。

体内に摂取された放射性物質は、少しずつ体外に排出されて減って行く。そ

のプロセスで半減する期間が生物学的半減期だ。いま、物理学的半減期を

Ｔ₁、生物学的半減期をＴ₂とすると、　　　

ここで、右辺を指数法則にしたがって変形すると、
　

一方、トータルの半減期というものを想定して単にＴと書くなら、一番最初

の式と同じだが、少しだけ書き方を変えて、

上の２式の右辺、１／２の右肩部分を見比べれば、２種類の半減期の組合

せに関する公式が導ける。同じ意味の式が、日本語版ウィキペディアの「被

曝」や、英語版ウィキ「Ｈａｌｆ－ｌｉｆｅ」にも、結果だけ掲載されている。要するに

私は、それらの式を見て、導き方を考えたのだ。　

ちなみに、原子力資料情報室によると、ヨウ素１３１の生物学的半減期は

ヨウ素１２９と同じのようで、甲状腺で１２０日、その他の組織で１２日。一

方、セシウム１３７の生物学的半減期は曖昧な書き方だったので、英語版

ウィキペディアで調べると、数ヶ月らしい。大まかな値だけど、一応の参考

にはなるだろう。プルトニウムも数ヶ月となってるが、別の場所には２００年

なんて凄い数字が出てたから、とりあえず保留しとこう。論争中なのかも。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

上のような理数系の考察は、目先の生活の指針にはならないが、理解や

安心感の手助けにはなる。訳の分からないまま、メディアが出して来る多

様な情報に惑わされるよりは、少しでも理解できた方がマシだろう。少なく

とも、私自身はモヤモヤが少し晴れた気がする。

原発や放射線に関しては、引き続き注目し続けるので、またしばらく後で

記事を追加するかも知れない。とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｃｆ．放射線（放射能）の危険性と距離～２つの逆二乗法則（情報源明示）

　　原発から各地までの距離と、放射線の年間総量（ｂｙ文科省データ）

　　シーベルト、グレイ、ベクレル～放射線・放射能の単位について

　　雨の長距離ランニングで浴びた放射性物質の計算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｂｙ 定時降下物データ）

　　原発事故評価レベル７と、セシウムのヨウ素換算値の計算式（ｂｙ　ＩＮＥＳ）

　　福島原発レベル７の基準を読む～ＩＮＥＳ（国際原子力・放射線事象評価尺度）

　　福島原発によるガン発生の厳しい試算～欧州放射線リスク委員会

　　原発事故はみんなが無責任、だけどね・・～東電社員の息子・ゆうだい君への応答

　　ランニングの呼吸で内部被曝した放射線量の計算

　　被曝する全放射線量の計算方法 （自然・医療、外部・内部、屋外・屋内）

　　セシウム牛肉、食後１年間での被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）

　　放射性物質の半減期、壊変定数、質量（重さ）～微分方程式の初歩など

　　ラジウム温泉の放射線について～低線量被曝の影響

　　確率的影響と確定的影響～放射線被曝の二分法の再考

　　義務教育における放射線・放射能～中学校・理科の教科書＆副読本

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３５５０文字）