三角関数 ｓｉｎθ の微分、単位円による図形的証明

大震災の直前にアップした、三角関数の極限に関する記事は、ごく一部の

マニアックな方を対象にして書いたものだった。私としては、自分が納得し

て、記事のプリントアウトを見せた専門家が絶賛してくれただけでも、十分

だったのだ。

ところがその後、あの記事には意外なほどアクセスが入ってる。おそらく、

大半が高校２～３年生と大学１年生だろうから、肝心のアルキメデスの話

はあまり理解されてないと思うが、一部の人は一通り読んでくれてるような

感じだ。そこで今夜は、関連する高校生向けの話をオマケとして追加しとこ

う。震災以降、純粋な数学記事を書いてなかったから、たまにはいいと思

う。ただし、前の記事と比べるとお遊びレベルの内容なので、念のため。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

事のキッカケは、前の記事に頂いた読者のコメントに、ｓｉｎ ｘ の微分を単

位円で求めたという話があったことだ。私にとっては、微分の定義式から

簡単に求められる最も基本的な事だから、その時は軽く流してしまった。

ところが半月前くらいに、「ｓｉｎ ｘ　微分　単位円」といった感じの検索アク

セスが入って来たから、試しにやってみると、図形を使ってすぐに解けた。

ただ、どこにでも書かれてる内容なら、あらためて私が書く意味も少ない

ないから、サラッと検索してみると、少なくともこの記事と全面的に重なっ

てしまうものは見当たらないようだ。そこで、試しにアップしてみよう。簡単

ながら、私自身は半月前まで考えたことはなかった。

、　　　　　　

さて、まず確認しておきたいのは、高校数学における極限・微分・積分、つ

まり解析学の特徴だ。厳密なイプシロン・デルタ論法などを使わない点も特

徴だけど、それは高校に限らないことだろう。むしろ高校の特徴は、図形を

多用してる点にある。基礎的レベルで言うと、例の極限、「ｌｉｍ ｓｉｎ θ ／ θ

＝ １ （θ→０）」の証明もそうだし、積分の基本もそうだ。また、積分の場合

には、図形的な近似を行ってる。

以下の ｓｉｎ の微分（定義に基づく導関数の計算）おいても、図形的な説明と

近似を使うことになる。特に、近似の方は、私にとっては相当引っ掛かる話

で、まさに前の記事で扱ったことにつながる訳だ。つまり、微小な曲線の長

さを、微小な線分の長さで近似すること。古代ギリシャのアルキメデスは、こ

れを明らかとはせず、長さの定義という近代的な話に持ち込む（ｏｒ 逃げ込

む）こともしなかった。でも、その話は既にしてあるので、以下では普通に近

似させて頂こう。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

角度の文字としては、ｘ よりθの方が直感的に分かりやすいから、以下で

もｓｉｎ θで説明する。ｓｉｎ θの微分の定義式は、次の通りだ。

　　　　　（ｓｉｎ θ）´ ＝ ｌｉｍ {ｓｉｎ（θ＋ｈ）－ｓｉｎ θ} ／ ｈ　（ｈ→０）

この「{ｓｉｎ（θ＋ｈ）－ｓｉｎ θ} ／ ｈ」が、ｈ→０の時に ｃｏｓ θ であることを

示せばよい。まず、ｈ＞０の場合を考える。

上図の曲線はもちろん、原点中心の単位円（半径１）。横軸は ｘ 軸だ。今、

赤い直角三角形に注目すると、高さが ｓｉｎ（θ＋ｈ）－ｓｉｎ θ,で、斜辺の長

さは ｈ と考えられる。ｈは本当は、円弧の長さだが、角度ｈは非常に小さ

いから、線分（斜線部の直角三角形の斜辺）で近似したわけだ。したがっ

て、高さ÷斜辺の極限を考えればよい。

ここで、上図のように角度計算を行っておくと、問題の直角三角形の上側

の鋭角は、（π－ｈ）／２ －　（π／２ －θ－ｈ）。つまり、θ＋（ｈ／２）だと

分かる。よって、下の直角三角形ＡＢＣの図より、

　高さ÷斜辺＝ＡＢ÷ＡＣ＝

　　　　　　　　ｃｏｓ（θ＋ ｈ／２）。

　したがって、ｈ→０の時の極限は

　ｃｏｓ θ となる。

　一方、ｈ＜０の場合は、ｈ＝－ｔ と

　おけば、ｔ＞０となり、微分の定義

　式の分数は、次のようになる。

　{ ｓｉｎ（θ－ｔ）－ｓｉｎ θ } ／ －ｔ ＝ { ｓｉｎ θ－ｓｉｎ（θ－ｔ） } ／ ｔ　

この右辺の極限を、ｈ＞０の時と同様にして求めれば、ｃｏｓ θになること

が分かる。結局、ｈの正負に関わらず、例の極限の値は ｃｏｓ θ。

したがって、ｓｉｎ θ の微分は ｃｏｓ θである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ちなみに、大学レベルの解析学では、そもそも ｓｉｎ の定義が変更される

し、高校３年の数Ⅲでも、普通は単なる式変形で求める。三角関数の加法

定理を用いて、

　（例の式） ＝ （ｓｉｎ θ・ｃｏｓ ｈ＋ｃｏｓ θ・ｓｉｎ ｈ－ｓｉｎ θ）／ｈ

　　　　　　　 ＝ －ｓｉｎ θ・（１－ｃｏｓ ｈ） ／ ｈ ＋ ｃｏｓθ・（ｓｉｎ ｈ ／ ｈ）

　　　　　　　 ＝ －ｓｉｎ θ・（１－ｃｏｓ² ｈ）／ｈ（１＋ｃｏｓ ｈ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ ｃｏｓθ・（ｓｉｎ ｈ ／ ｈ）

　　　　　　　 ＝ －ｈ・ｓｉｎθ・（ｓｉｎ ｈ ／ ｈ）² ＋ ｃｏｓθ・（ｓｉｎ ｈ ／ ｈ）

ｈ→０の時、ｓｉｎ ｈ ／ ｈ → １ だから、上の式の極限は、

　－０×ｓｉｎ θ×１² ＋ ｃｏｓ θ・１ ＝ ｃｏｓ θ

よって、ｓｉｎ θ の微分はｃｏｓ θ である。

これは、数Ⅲの教科書や参考書に普通に載ってる話のはずだし、三角関

数の極限の問題としても初歩的レベルだろう。

以上、ｓｉｎ θ の微分について、図形的方法を中心に考えてみた。今現在

の私の関心は、やはり震災関連に向かってるので、しばらく純粋な数学の

記事は書かないかも知れない。ただ、ε－ｎ（イプシロン・エヌ）論法の記

事のアクセスがかなり増えてるし、好評のようなので、そちらでオマケ記事

を追加する可能性もある。あるいは、相変わらずよく読まれてる、ペアノの

自然数論の記事を追加するかも知れない。

ともあれ、今日の所はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．三角関数の極限「（ｓｉｎθ）／θ→１ （θ→０）」の証明とアルキメデス

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２２４０文字）