宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い（２）～具体例の数学的証明

今日はドリームジャンボ宝くじ（第６０５回全国自治宝くじ）の発売最終日。

あわてて買いに行く前に、ちょっとネットで調べてる方が多いんだろうか。昨

日から、私が半年前に書いたロングセラー記事にアクセスが増えている。

　　宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い～朝日新聞・ｂｅ

この記事は、朝日新聞の手短な解説を突っ込んで分析したもので、かなり

微妙な所まで考えてるし、具体的な計算もそこそこ入れてある。結論として

は、やっぱり朝日の記事は「正しそう」で、「高額当選」の確率を上げたいの

なら、連番よりバラ売りを買う方がかなり「有利そう」だということになった。

この場合の高額当選とは、１等と前後賞のどれかに当たることを指してる。

ジャンボ宝くじなら２億円と各５０００万円だから、どれか１つでも十分高額

で魅力的だろう。

ただ、厳密な数学的証明は出来なかったし、もちろん朝日の記事にもない。

難しい点は２つある。まず、バラ売りする宝くじの選び方がどうなってるのか

という事。朝日新聞では、同時に２つ当たることは無いとされてたけど、信

頼できる根拠はネット上（みずほ、宝くじ協会など）に見当たらなかったし、

仮にそれが正しいとして、どのようにバラを選んでるのかが分からない。

一方、バラの選び方によって、当選確率に特殊な変化が起きないという証

明も難しい。直感的には、意図的に飛び飛びに選んでるのだから、どれか

１つが当たる確率は少し上がりそうな気もする。サイコロにせよ、くじ引き

にせよ、高校数学などの確率の問題では、「無作為抽出」が基本。簡単に

言うと、意図せずでたらめ（＝ランダム）に選び出すわけだが、宝くじのバ

ラ売りの場合、販売以前に（おそらく機械的に）「作為抽出」してるのだ。

それによって当選確率が変わらないというのは、明らかではない。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それら２つの問題点は、その後もそのままになってたけど、昨日になって、

バラ売りのシステムを説明してくださるコメントを頂いた（去年の記事）。や

はり、２つ以上同時に当たらないよう、機械的に選んでるようだ。信頼でき

る根拠は添えられてないし、自分でも発見できてないものの、朝日の記事

とも整合的だ（＝つじつまが合ってる）し、常識的にもそんな気がする。

だから、とりあえず以下では、次の仮説を認めとこう。

　　　「バラ売りでは、２つ以上同時に当たらないような組合せ全体の

　　　　中から、無作為（でたらめ）に販売用の組合せを選んでいる」。

では、こうしたバラ売りは、やはり連番より当選確率が高いのか。また、

その選び方によって、当選確率は変わらないのか。それら２点について、

具体例で考察してみよう。一般化には成功してないし、それはおそらく非

常に大変（ｏｒ 高度）だと思う。

結論的には、やはりバラ売りの方が遥かに当選確率が高いし、バラ売り

セットの作り方によって確率の妙な変化は起きない「ようだ」。私はまだ、

特に後者は確信してないけど、計算した具体例においては、完全に正し

いことが証明された。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

元の朝日の記事では全体で１００枚のくじから１０枚選ぶ（ｏｒ 買う）場合

を考えてるが、これだと計算があまりに面倒で、やる気がしない。上手

い方法も思いつかないので、１３枚から４枚選ぶ場合と、１４枚から４枚

選ぶ場合を考えてみる。

この中途半端な枚数について説明しとくと、１等と前後賞で３枚だから、そ

れを上回る最小限の枚数として４枚を選ぶことにした。キリのいい５枚に

するだけでも、かなり面倒になってしまう。

次に、全体の枚数は、バラ売りが可能な最低枚数が１２枚となる。１～１２

の番号を付けると、例えば（１，４，７，１０）。こうした２枚飛ばし（２枚当選を

避けるため）が可能になるためには、１２枚必要なのだ。１番と１０番が２枚

飛ばしになるには、１２枚必要だという点にご注意あれ。で、最低枚数だと

単純過ぎるから、１枚増やした１３枚の場合と、２枚増やした１４枚の場合

を考えてみることにした。

　　（１）　全部で１３枚の宝くじで、４枚選ぶ（＝買う）場合

　　　　　くじを１～１３番とし、１等を仮に５番とする（何番でも同様）。

　 　　　　まず、連番の選び方は、（１，２，３，４）、（２，３，４，５）、・・・

　　　　　（１０，１１，１２，１３）、（１，１１，１２，１３）、（１，２，１２，１３）、

　　　　　（１，２，３，１３）の１３通り。最後の２セットも連番になることをお忘

　　　　　れなく。

　　　　　この内、１枚以上が１等か前後賞に当選するものは、（１，２，３，４）

　　　　　から（６，７，８，９）の６通り。

　　　　　∴　（連番の当選確率） ＝ ６／１３

　　　　　一方、バラの選び方は、（１，４，７，１０）、（１，４，７，１１）、

　　　　　（１，４，８，１１）、（１，５，８，１０）、（２，５，８，１１）、（２，５，８，１２）、

　　　　　（２，５，９，１２）、（２，６，９，１２）、（３，６，９，１２）、（３，６，９，１３）、

　　　　　（３，６，１０，１３）、（３，７，１０，１３）、（４，７，１０，１３）の１３通り。

　　　　　この内、当選するのは（３，７，１０，１３）以外の１２通り。

　　　　　∴　（バラの当選確率） ＝ １２／１３

　　　　　したがって、バラの方が２倍の当選確率である。あと、このバラの

　　　　　当選確率は、選び方による特殊な影響を受けてない。つまり、４枚

　　　　　の内の１枚が当たる確率を単純に ３／１３ として、それを４倍した

　　　　　数字と一致している。つまり、朝日の記事の計算が通じてるのだ。

　　（２）　全部で１４枚の宝くじで、４枚選ぶ場合

　　　　　 上と同様に、くじを１～１４番とし、１等を仮に５番としておく。

　　　　　 まったく同様の考えで、（連番の当選確率） ＝ ６／１４ ＝ ３／７

　　　　　 一方、バラの選び方は、（１，４，７，１２）～（５，８，１１，１４）の

　　　　　３５通り（途中省略）。この内、ハズレるのは、（２，７，１０，１３）、

　　　　　（３，７，１０，１３）、（３，７，１０，１４）、（３，７，１１，１４）、

　　　　　（３，８，１１，１４）の５通りだから、当選するのは３０通り。

　　　　　∴　（バラの当選確率） ＝ ３０／３５ ＝ ６／７

　　　　　興味深いことに、この場合もバラの方が２倍の当選確率だ。また、

　　　　　（１）と同様に、バラの選び方による特殊な影響を受けてないことも

　　　　　分かる。つまり、４枚の内の１枚が当たる確率を単純に３／１４とし

　　　　　て、それを４倍した１２／１４、つまり６／７が、バラの当選確率と一

　　　　　致してるわけだ。。

という訳で、今回の目的は果たされた。（２）の３５通りは、気になる方は自

分で数え上げてみて欲しい。ダブらず、もらさず、全てを数え上げるには、

何か工夫があった方がいいと思う。

私の場合、番号の飛び方に注目して、例えば間の数字が４枚、２枚、２枚、

２枚と飛んでる、（１，６，９，１２）のような組合せは、「４２２２」と呼んだりし

た。すると、このタイプが１４通りで、「３３２２」タイプも１４通り、「３２３２」タ

イプが７通り、トータル３５通りとなる。図は、横一列のものと、円順列みた

いに両端をつないだものとを併用した。　　　　

もっと「エレガントな解答がある」と思うけど、今日の所はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　「縦バラ」買いについての記事を追加。

　　　　宝くじ、「縦バラ」買い＆「バラだと前後賞が当たらない」説♪　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２９１３文字）