放射性物質の半減期、壊変定数、質量（重さ）～微分方程式の初歩など

これから書く内容は、かなり前から準備が出来てたけど、数式の入力に時

間がかかるから、ずっと先延ばしにしてたものだ♪　今、自転車その他に

時間をかけてるので、Ｗｏｒｄで長い数式を入力して微調整する気にはなれ

ない。そこで、とりあえず手書きでアップしとこう。後で余裕が出来たら、ワー

ドで打ち直すかも知れない。

　（☆追記：　さっそく翌日、Ｗｏｒｄ 入力への変更を実施。）

大震災以降、ウチでは原発・放射線関連の記事を多数アップして来たけど、

まだ書けてない話も沢山ある。今日アップするのは、分かりやすくまとめるな

ら、放射性物質の半減期（物理学的）と質量に関する解説だ。主要な部分は、

何も見ずに自分で導いて解いたが、念のために色々とチェックはしてある。

　例えば、『現代物理学小事典』（講談社）、

　『第１種放射線取扱主任者試験　徹底研

　究』（オーム社）、『改訂版　高等学校　物

　理ⅠＢ　（教科書）』（数研出版）だ。すべ

　て個人的な所有物なので、証拠として写

　真を小さく載せとこう。他にも、参考書と

　か英語版ウィキペディアとか見ている。

　放射線関連の話について、今現在まず理

　解しとくべき事は、ベクレルとシーベルトだ

　ろう。ウチでも早くから色々と書いてるけど、

　一般人にとっては、「ベクレル」の方がより

　奇妙な言葉＝概念だと思う。

　ありがちな説明だと、放射能（＝放射線を

出す性質）の単位ということになってるけど、実際にはもっと単純に、放射

性物質の量を示す目安として使われてる。それなら、どうして「ｋｇ」や「ｇ」

といった質量（いわゆる重さ）の単位を使わないのだろうか。

　　おそらくそれは、質量よりも放射能で表

　　す方が実用的だからだろう。何 ｇ ある

　　のかという事より、どれだけの放射線

　　を出すのか。これが問題だから、１秒

　　に１回、放射性崩壊によって放射線を

　　出す性質を１ベクレルと呼ぶわけだ。

　　ちなみに、ベクレル（Ｂｅｃｑｕｅｒｅｌ）とは

　　放射能の発見者とされるフランスの

　　科学者の名前で、１９０３年、有名

なキュリー夫妻と共に、ノーベル物理学賞を受賞している。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、半減期と質量とベクレルの関係だけなら、ほとんど「算数」のレベル

で済んでしまう。それだと、簡単過ぎて私も退屈だし、数学系の常連読者

の方々も、パスする人が多いだろう♪　ブロガーとして興味深いことに、数

学系の読者は、物理系の記事をパスすることが目立つのだ。アクセス解

析から、すぐに読みとれる。

そこで、以下ではまず、壊変定数（ｏｒ 崩壊定数 ： dｅcay constant）と呼ば

れるものを用いて、微分方程式を導入して解く。次に、その解を、壊変定数

の代わりに半減期を用いて書き直し、最後に、与えられたベクレル数から、

元の放射性物質の質量を計算してみよう。

物理学史の正確な流れをまだチェック出来てないが、おそらく話の始まり

は、「放射性崩壊の法則」とか呼ばれるものだと思う。つまり、「放射性物質

の崩壊（＝壊変）の速度は、その時に存在する物質量に比例する」というも

のだ。これは、ごく限られたデータから実験的に求めた法則だが、物理学で

はしばしば、そこから一般的な数式を仮定する。つまり、数学的な仮説を導

入して、その後の展開が上手くいけば、「仮説は実証された」と考えるわけだ。

　　　　　崩壊の法則から仮定した数式

　　　　　は左の通りで、微分を含んだ

　　　　　方程式だから、微分方程式と

　　　　　呼ばれてる。Ｎは、時刻 ｔ にお

ける原子数。λ（ラムダ）が壊変定数だ。最初の式の左辺が、崩壊または

壊変の速度で、それが右辺と等しいのだから、その時の原子数Ｎに比例

することになる。λが比例定数の役割を果たしてるわけだ。二番目の式、

「ｄＮ／ｄｔ ＝ －λＮ」の方がよく見かける気がするので、以下ではこちら

を基準に解くが、マイナス記号は左辺か右辺のどちらかにあればよい。

　（☆補足 ： ブリタニカ百科事典のサイトなどによると、この辺りの理論は、

　　　　　　　　ラザフォードとソディが１９０２年から０３年頃に築いたものらし

　　　　　　　　い。後にそれぞれ、ノーベル化学賞を受賞している。）

これを、一昔前の高校の数学Ⅲレベルで、丁寧に解いてみよう。今現在は

微分方程式は教えてなくて、映画『ガリレオ　容疑者Ｘの献身』の天才数学

者（犯人）・石神（堤真二）も残念がってた（９６年の高校３年生以降）。

Ｎ≦０の場合は、物理的に無意味なので、Ｎ＞０という前提条件で、微分方

程式を解くと、下の通り。∫（インテグラル）記号を用いた不定積分では、ｔ

からＮへの置換積分を用いてある。大学レベルなら、「変数分離形」として、

ビミョーに異なる扱いをする所だ（結果は同じ）。ちなみに、「ｌｏｇ ｅ Ｎ」とは、

ｅ≒２．７１８（ネイピア数）を何乗したらＮになるかを表す数。Ｎの自然対数

と呼ばれるもので、「ｌｎ　Ｎ」と略記することもある。

Ｎが ｔ の式で表せたから、これでほぼ解けてる。あとは、初期条件と呼ばれ

　　　　　るものを用いて、右辺の

　　　　　ジャマな「ｅ の ｃ 乗」を

　　　　　消せばいい。ｔ＝０、つ

　　　　　まり「初期」の原子数を

Ｎ₀ とすると、微分方程式の最終的な解、「Ｎ ＝ Ｎ₀×（ｅ の－λｔ 乗）」が

決定する。

ここでＮの半減期をＴとすると、時刻Ｔにおいて、原子数ＮがＮ₀の半分に

　　　なるのだから、

　　　λとＴの関係は

　　　左の通り。

　　　λＴ＝ ０．６９３

　　　 だから、λとＴ

　　　の一方が分かれ

ば、他方は簡単に求められる。

このλとＴの関係式を用いて、前に書いた微分方程式の解からλを消し、

代わりにＴを使うと、次の通り。最後の式、「Ｎ＝Ｎ₀×（１／２ の ｔ／Ｔ乗）」

は、非常に有名で簡単なもので、高校１年の教科書にも太字で掲載され

てた（ただし両辺をＮ₀で割った形）。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では最後に、ベクレルの値から、放射性物質の質量（グラム数）を求めるこ

とにしよう。ここ最近、食品の内部被曝でよく話題になってるのがＣｓ１３７

（セシウム１３７ ； 数字は「質量数」）で、数百Ｂｑ（ベクレル）とか数千Ｂｑと

いった数字がよく出てるから、以下では、１０００Ｂｑのセシウム１３７の質

量を求めてみる。

　　　　ベクレル数とは、ｔ＝０

　　　　（初期）における崩壊

　　　　速度（ｏｒ 速さ）だから、

　　　　この記事の序盤に書い

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　た微分方程式で ｔ ＝ ０

の時を考えて、１０００＝λＮ₀ となる。

ここで、λ＝０．６９３÷（半減期）。セシウム１３７の半減期は３０年だから、

ベクレルの時間単位である「秒」に直して計算すると、

　　　λ＝　０．６９３÷（３０×３６５×２４×３６００）

また、初期の原子数Ｎ₀は、初期の質量 ｘ （エックス）を用いて次のように

書ける。セシウム１３７がもし１３７ｇあれば、原子数は「１モル」、つまり

６．０２×（１０の２３乗）個であることを用いた簡単な算数だ。６．０２×

（１０の２３乗）というのはアボガドロ定数と呼ばれるもので、より簡単に

６．０とする場合もあるが、ここでは６．０２で計算しておく。

　　　　　　Ｎ₀ ＝ （ ｘ ／ １３７）×６．０２×（１０の２３乗）　　　

したがって結局、以下のように ｘ (エックス)を計算できる。

答は、３．１１グラムの１００億分の１♪　つまり、ものすごく微小な量であっ

て、いちいち飲食物の放射能を測定するのがいかに大変な作業なのか、

想像できるだろう。人間には見ることも触ることも出来ない、僅かな量が問

題なのだ。高価で高性能の計測器を使って、正確に測定する必要がある。

なお、放射性物質のベクレル数から質量を求める式を一般的に書くと、

次のようになる。「質量数」とは、物質の質量という意味ではなく、上のセ

シウム１３７なら１３７のこと。その核種（＝原子核の種類）における、陽子

と中性子の個数の和だ。

　　　質量（ｇ） ＝ { ベクレル数×半減期（秒）×質量数 }

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷（ ０．６９３×６．０２×１０²³ ）

逆に、質量からベクレル数を求める式は、以下の通り。

　　　ベクレル（Ｂｑ） ＝ { 質量（ｇ）×０．６９３×６．０２×１０²³ }

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷ { 半減期（秒）×質量数 }

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

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