津波の物理学～浅い海、水面波の波動方程式と速度

ＰＣデータのバックアップをするために、外付けＨＤＤの周囲を片付けてたら、

たまたま津波の簡単な説明が目に留まった。問題形式で、与えられた式３

本から波動方程式を導き、津波の速度を求めるというもの。解説文は無い

し、私も流体力学の計算は久々だったから、まず自力で解くのに手間取っ

た後、参考書を引っ張り出して来て、一応の理解に到達した。

まったく予定外のことだけど、折角だから記事にまとめとこう。使った参考

書は標準的なもので、恒藤敏彦『弾性体と流体』（岩波書店）。参照箇所は

主として、ｐ．６３～７０（連続の方程式とオイラー方程式）と、ｐ．１５８～１６０

（水面の波；　浅い場合）だ。ただし、私の判断や計算で、大幅に加筆修正

してある（重要な式は元のまま）。また、時間の余裕が無いので、図は手書

きで済ませておいた。悪しからずご了承を。。

なお、０８年１月に書いた福山雅治『ガリレオ』関連の記事は、以下の議論

と密接に関係しており、数学的には、以前の記事の方がややレベルが高い。

手書きだらけで読みにくいのは恐縮だが、一応リンクを付けとこう。

　　ｃｆ．　『ガリレオ』第５話、波動方程式の導出と一般解

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、津波というのは、沖合での波長（隣り合った波の間隔）が１００ｋｍと

か非常に長く、高さはたかが数十ｍなので、物理学的には、「浅い海」で

の「水面」波として扱われる。海底までの水深は数ｋｍレベルだから、波長

に比べると浅い。しかし、津波の高さはこれより遥かに低いから、水面だ

けの波として考えられるのだ。

既にこれだけでも、非常に大まかな「近似」が行われている（この場合は

グループ分け）。数学と比べた時、物理の大きな特徴は、この種の大まか

な近似を多用すること。その近似が妥当かどうかは、比較的気にしないが、

必要なら数学を援用するし、近似で求めた結果を観測その他と比べてチェッ

クすることになる。

水の波のような流体の運動を扱う時の基本は２つ。まず、「連続の方程式」

とか「連続の式」などと呼ばれる法則で、簡単に言うと、「ある領域における

ものの増加＝流入」ということだ。何かが増えるとは、それが流入したこと。

逆に、何かが減るとは、流出したことだ。増減には必ず流れがある。

これをまず、（増加）＝（流入）と書いて、変形すると

　　　　　　　　（増加）－（流入）＝０。

流入と流出は単なる符号（プラス・マイナス）の違いと考えられるから、

　　　　　　　　（増加）＋（流出）＝０

こう書き直すと、左辺の和が常に０に保存されてる形になってるから、大ま

かに「保存則」とも言われる。例えば、道で１００円拾ったとしよう。すると手

持ちの増加は１００円。また、流「入」した金は「＋１００円」だから、流「出」

した金は「－１００円」。この時、増加＋流出＝１００円＋（－１００円）＝０。

こうゆう基本的な話なのだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この話を津波に当てはめてみよう。図のｘ方向に進行し、ｚ方向に上下す

　　る波を考える。

　　ｙ方向（図に垂直

　　な方向）には一様

　　な波とする。つま

　　り、図の奥側や手

　　前側にも、全く同

　　じ形の波が続いて

　　るという意味で、

　　実際に津波の映像

　　を、進行方向の真

　　横から見ても、ほ

ぼそんな感じのはずだ。

波の高さは、ｘ（水平方向の位置）とｔ（時間）の関数ｈ（ｘ，ｔ）と考えられる。

要するに、岸からどれだけ離れてて、時刻は何時何分何秒か、この２つの

条件で波の高さは決定するという話なのだ。

　　今、図の赤くて非

　　常に薄い部分に注

　　目しよう（厚さｄｘ、

　　奥行きｗ、高さは

　　ｈ₀＋ｈ ）。水の密

　　度、つまり単位体

　　積当たりの質量を

　　ρ（ロー）とすると、

　　　（赤い部分の水の質量）＝（密度）×　（体積）

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝　　ρ　×（ｈ₀＋ｈ） ｗ ｄｘ

よって、（単位時間あたりの質量の増加）＝ρ ｗ ｄｘ ・（∂ｈ／∂ｔ）

一方、水のｘ方向の運動速度をＶｘ（ｘ，ｔ）とすると、高さは約ｈ₀と近似して、

　　（単位時間あたりに流出した水の質量）

　　　　　　　　　　＝ ρ×{（右側面からの流出）－（左側面からの流入）}

　　　　　　　　　　≒ ρ { Ｖｘ（ｘ＋ｄｘ，ｔ）ｈ₀ ｗ－Ｖｘ（ｘ，ｔ）ｈ₀ ｗ }

　　　　　　　　　　＝ ρ { Ｖｘ（ｘ＋ｄｘ，ｔ）－Ｖｘ（ｘ，ｔ） } ｈ₀ ｗ

　　　　　　　　　　≒ ρ（∂Ｖｘ ／ ∂ｘ）ｄｘ・ｈ₀ ｗ　　　　　（一次近似を利用）

よって、連続の方程式より、単位時間当たりの増加＋流出はゼロだから、

　　　　ρ ｗ ｄｘ ・（∂ｈ ／ ∂ｔ）＋ρ（∂Ｖｘ ／ ∂ｘ）ｄｘ・ｈ₀ ｗ ＝ ０

　　　∴　∂ｈ／∂ｔ ＋ ｈ₀ （∂Ｖｘ ／ ∂ｘ） ＝ ０　　　

両辺を ｔ で偏微分して、∂²ｈ／∂ｔ² ＋ｈ₀ ∂（∂Ｖｘ／∂ｘ）／∂ｔ＝０

　　　∴　∂²ｈ／∂ｔ² ＋ｈ₀ ∂（∂Ｖｘ／∂ｔ）／∂ｘ＝０　・・・・・・①

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、連続の法則と並ぶ流体力学の基本は、「運動の法則」とも呼ばれる

オイラー方程式。詳しい説明は省略するが、要するにニュートンの運動方

程式、「力＝質量×加速度」の応用だ。

ｘ方向とｚ方向だけ考え、圧力Ｐ（ｘ，ｚ，ｔ）、微小体積ｄＶ、重力加速度ｇとして、

　　　　－（∂Ｐ／∂ｘ） ｄＶ ＝ ρｄＶ （∂Ｖｘ ／ ∂ｔ）

　　　　－（∂Ｐ／∂ｚ） ｄＶ－ρｇ ｄＶ ＝ ρｄＶ （∂Ｖｚ／∂ｔ）　　

　∴　 －∂Ｐ／∂ｘ ＝ ρ （∂Ｖｘ ／ ∂ｔ）　・・・・・・②

　　　　－（∂Ｐ／∂ｚ） －ρｇ ＝ ρ（∂Ｖｚ／∂ｔ）　・・・・・・③

いま、津波は主にｘ方向に動くから、③の右辺の∂Ｖｚ／∂ｔ （ｚ方向の速

度変化）は無視してゼロとすると、

　　　　－（∂Ｐ／∂ｚ） －ρｇ ＝ ρ×０

　∴　　∂Ｐ／∂ｚ ＝ －ρｇ

ｚ で積分して、Ｐ（ｘ，ｚ，ｔ）＝－ρｇ ｚ＋ｆ（ｘ，ｔ）　・・・・・・④

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｆ は ｘ と ｔ の関数で、ｚ については定数）

ここで、「境界条件」として、ｚ＝ｈ（波の一番上）では、水圧Ｐ＝大気圧Ｐ₀

と考える（表面張力は無視）。すると④より、

　　　　Ｐ（ｘ，ｈ，ｔ）＝－ρｇ ｈ＋ｆ（ｘ，ｔ）＝Ｐ₀

　∴　ｆ (ｘ，ｔ)＝Ｐ₀＋ρｇｈ

④に代入して 、ｆ を消すと、Ｐ＝－ρｇｚ＋Ｐ₀＋ρｇｈ

これを②に代入、Ｐを消して計算すると、

　　　－ρｇ ∂ｈ／∂ｘ ＝ ρ ∂Ｖｘ／∂ｔ

∴　∂Ｖｘ／∂ｔ ＝－ｇ∂ｈ／∂ｘ　・・・・・・⑤　　（Ｖの話をｈの話で表す操作）

⑤を①に代入してＶを消すと、

　　　∂²ｈ／∂ｔ² ＋ｈ₀ ∂（－ｇ∂ｈ／∂ｘ）／∂ｘ＝０

　∴　∂²ｈ／∂ｔ² －ｇｈ₀ ∂²ｈ／∂ｘ² ＝０

　∴　∂²ｈ／∂ｘ² －（１／ｇｈ₀） ∂²ｈ／∂ｔ² ＝０　・・・・・・⑥

⑥は非常に有名な、一次元の波動方程式の形である。一次元とは、波の高

さ ｈ が ｘ （と時間ｔ ）だけで変化して、ｙ や ｚ とは関係ないという意味だ。こ

の波動方程式で表される波は、ｘ方向の速度「√ｇｈ₀」を持つことが知られて

いる（例のガリレオ記事における解を参照）。やや意外かも知れないが、水

深 ｈ₀ が深い方が、波は速いのだ。

従って、遥か沖、水深の深い太平洋で発生した津波は、超高速で岸に向かっ

て来る。太平洋の平均の水深を約４０００ｍとすると、

　　　　ｇｈ₀ ＝ ９．８×４０００≒４００００　（ｍ²／ｓ²）

　∴　√ｇｈ₀ ＝ √４００００ ＝ ２００　（ｍ／ｓ）

つまり、秒速２００ｍだから、３６００倍して、時速７２００００ｍ＝７２０ｋｍ。

新幹線の３倍程度のスピードで、この値がウィキペディアに掲載されている。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、参考書のコラム「コーヒーブレイク」には、面白い余談（？）もある。

波が岸（つまり浅瀬）に押し寄せるに連れて、スピードは下がり、波長が縮

まって、高さは増す。この時、もはや「水面波」ではなくなるから、上で使っ

たような比較的簡単な議論は出来ないが、そこを無理して使ってみる。

すると、波の山の一番上は、波の高さの分だけ、下の方より「水深」が増

すから、スピードが大きいことになる。だから、葛飾北斎の浮世絵みたい

　に、波は頭から

　崩れるのだ。。

　ちなみに図は、

　ウィキメディア・

　コモンズから拝

　借したもので、

　富嶽三十六景・

　「神奈川沖　浪

　裏」。昔は、富

士山の５倍の大波もあったようだ♪

今のところ、私には、この大まかな議論が正しいのかどうか分からない。

その筆者も、「無理をして」、「・・・であろう」と推測してるに過ぎないのだ。

まあでも、面白くて、一応の筋が通っていて、他に有力な代案も見当たら

ないので、しばらくはそう思っておくことにしよう。

波動方程式を導く考えも含めて、物理学的説明というものは一般に、大な

り小なり、そういった性格のものだと思ってる。それで「通常」はかなり上手

く行くのだ。「想定外」の事態は別として。。では、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　震災後の青空文庫で人気、寺田寅彦『津浪と人間』

　　　津波で死んだ妻の幻への情愛～柳田国男『遠野物語』第９９話

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３３８４文字）