数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆

（☆１５年９月１９日の追記：　関連する最新記事をアップ。

　　　　　　　数学甲子園２０１５、全２０問の問題、解き方、感想　）

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先日の津波の記事もそうだったが、今日もまったく予定外の理数系記事を

書いてみよう。たまたま、身近なあちこちでスーパー高校生の頭脳対決が

話題になってるから、ちょっと気になって問題をチェックしたら、そのままズ

ブズブとハマってしまったのだ♪　こうなると、毎日更新ブロガーとしては、

記事にまとめないと損したような気分になる。タイミング的にも、今すぐアッ

プしとくべきだろう。

私がチェックしたのは、日本数学検定協会の主催で２００８年に始まった

「全国数学選手権大会（団体戦）」（ＭＡＴＨ　ＢＡＴＴＬＥ＝数学バトル）で、

今年でまだ第４回。数検２０周年の記念事業として立ち上げたようで、要

するに「数学の甲子園」だ。「高校」という言葉を大会名に入れてないの

は、中高一貫校はもちろん、高等専門学校や中学校（！）も出場できる

ためだろう。まあ、実際の出場校は高校がほとんどだ。

去年は、深夜のマニア向け人気番組『たけしのコマネチ大学数学科』でも

紹介されたようだけど、まだまだ一般には馴染みがないと思う。私が知っ

たのも去年だし、今年の大会予定（先週の土日）なんて全く知らなかった。

高校生の数学の勝負ということだけなら、昔から大規模な全国模試で行わ

れてるわけだが、この大会はかなり特殊なこだわりを見せてる。まず１チー

ム３～５人の団体戦であって、他に監督（生徒でも可）までいる点。同じ学

校からの複数チーム出場も可能。どうせなら個人戦もやればいいと思うけ

ど、模試や数学オリンピックとカブるから避けたということか。今年は４３校

６３チーム出場。やはり関東が多い一方、四国・九州・沖縄はゼロ。なぜ

か、超有名校の名前も見当たらない。

土曜に２回ある予選は、高校１～２年程度（数検・準２級～２級）の普通の

問題を解くだけで、数学大好き少年＆少女にとっては楽勝だろう。実際、

今年の１次予選（＝予選・前半；　各個人で解答、全員正解すると得点）で

は、満点が大勢出たようだ。２次予選（＝予選・後半；　チームで解答）で

は、英語の問題も入るけど、非常に簡単な英文だから差し障りはないは

ず。この段階からは、英語辞典も使えるし、参考書や数学辞典も使用可

になる。現実社会に即した条件設定で、いいと思う。

笑えるのは、予選中は耳栓の使用も許されてること♪　音楽が流れてる

ので、それが気になる人への配慮のようだ。どんな音楽が流れてるのか

知らないけど、まさかフリースタイルスキーやスノーボードの大会の激しい

ノリではないはず♪　とはいえ、かなり現代的な話ではある。案外、学校

の教室とかの実状を反映してるのかも知れない。そう言えば高校時代、

耳をふさぐようにして勉強してたクラスメートもいた気がする。邪魔して悪

かったかも。。

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予選は問題レベルも低いし、採点も○×式の簡単なもの（１点 ｏｒ ０点）。

重要なのは本戦、つまり準決勝と決勝だ。

準決勝は高校２～３年程度（数検２級～準１級）の問題で、パソコンで解答

を作成、ＵＳＢメモリーで提出。１チームでパソコン１台のみという制約は、

厳し過ぎる気がするが、電卓使用可。選手間の相談も出来るし、監督が

解答をチェックして「やり直し」を命じることもできる（具体的アドバイスは禁

止、相談＆チェックは予選後半から）。

という事は、監督には一目で正誤が判定できる実力が要求されることにな

る。自分でも、超速で問題を解くのかな。とにかく、責任重大だし、間違っ

た解答を認めてしまったら、後で恥ずかしいだろう♪　

ちなみに、ネットは使用不可で、決勝も同様。今年は、京大入試ネット投稿

事件の直後だから論外として、来年以降は、条件付きで使用可能になって

も不思議ではない。今時、ネットで調べながら問題解決するのは常識のは

ずだ。私も今、ネットで公式サイトを見ながら、この記事を書いてる。

決勝は、まったくの別世界。残った６チームで、与えられた課題に即して

問題を創作。さらに、創作問題に関する短いプレゼンテーションを行って、

チーム相互の質疑応答も行い、総合的な審査で判定が下される。したがっ

て、決勝だけは、アート（芸術）に近い競技なのだ。個々の技の点数が細

かく決められてるフィギュアスケートと比べても、かなり主観的な評価にな

るだろう。

各審査員が、問題については「完成度」、「発想の美しさ」、「解答の合理

性」の３つを、プレゼンテーションについては、「発表の内容・表現力」、

「質問の内容」、「質問に対する回答の的確さ」の３つを判定。各５点、計

３０点満点で評価し、（おそらく）４人の審査員の合計点がチームの得点

になる。フィギュアでさえ、しばしば得点に疑問が投げられるくらいだか

ら、この審査の妥当性自体も、今後の大きな課題だろう。

ともあれ、優勝した明照学園・樹徳中学校・高等学校Ａチームの皆さん、

どうもおめでとう☆　優勝旗、トロフィー、賞状を持った誇らしげな姿が清々

しかった。

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ここまで、簡単な前置きのつもりだったのに、ずいぶん時間を取られて

しまったから、肝心の問題紹介についてはもう、簡単に済ませよう。そも

そも予定外の記事だし、時間が無いのだ。

結局、普通の数学の問題としては、準決勝が最高レベルになる。大切な

商品だからなのか、この問題がなかなか見つからないようなサイト構成に

なってるけど、第３回の問題は検索で入手できたので、珍しさもあって、英

語の問題を解いてみた。

ちなみにこの問題の解答は、「美しさ」のような芸術性は問われない。単

に、解けるかどうか、解けた人の中で速いか遅いか、それだけが問われ

ることになる。論理的に正答を素早く求めれば、それでいいのだ。判定（採

点）は「数学コーチャー」と呼ばれる有資格者が、１問あたり１０点満点で

行うようだ。記述式試験の採点みたいなものだと思う。では、実際に問題

文を見てみよう。英語の問題でも、日本語で答えればいいようだ。

　　　Problem No.3

　　　　　Suppose an equilateral triangle ＡＢＣ with unknown side length

　　　　　ℓ ．There is a point P inside the triangle such that the distances

　　　　　from the vertices are ＡＰ＝７, ＢＰ＝１０ and ＣＰ＝１３．　Find the

　　　　　value of ℓ ．

私の翻訳は以下の通り。

　　　問題３

　　　　　　一辺の長さ ℓ （エル）が分からない正三角形ＡＢＣを考えてみよう。

　　　　　　その三角形の内部には点Ｐがあり、各頂点からの距離は、

　　　　　　ＡＰ ＝７、ＢＰ＝１０、ＣＰ＝１３となっている。ℓ の値を求めよ。

私の第一感は、意外と簡単そうだな、というもの。実は、英語の問題は少し

レベルを下げてて、高校２年程度になってるんだけど、この問題を読んだ

時点で、私はその事を知らなかったから、アレッという感じがして、解くの

を止めそうになったほどだ。

それでも、試しに少しボールペンを動かしてみると、やはり１分程度で見通

しがついてしまう。再び止めそうになったけど、二重根号とかの計算が大変

なのかなと思って、一応最後まで計算。やはり、最初から最後まで何の盛

り上がりもない簡単さだ。１０分前後で、全く考え込むことなく、単に図をサ

ラッと書いて、計算し続けただけ。もちろん私は、スーパー高校生ではな

く、単なる理屈好きのマニアック少年だ（現在形♪）。

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　では、私の解答について。

　エレガント（優雅）でもユニー

　クでもクリエイティブでもな

　いけど、シンプルでロジカ

　ル（論理的）なものの一つ

　だと思う。図は私が書いた

　もので、問題には無い。

　∠ＡＢＰ＝θとおくと、三角

　形ＡＢＰに余弦定理を用いて

　　　ｃｏｓθ　＝（１０²＋ℓ²－７²）／（２×１０×ℓ）

　　　　　　　　＝（ℓ²＋５１）／２０ℓ　・・・・・・①

また、∠ＰＢＣ＝（６０°－θ）だから、三角形ＰＢＣに余弦定理を用いて、

　　　ｃｏｓ（６０°－θ）＝（１０²＋ℓ²－１３²）／（２×１０×ℓ）

　　　　　　　　　　　　　＝（ℓ²－６９）／２０ℓ　・・・・・・②

本質的に、この問題はここで既に終了に近い。θとℓに関する簡単な連立

方程式が導かれたからだ。後はθを消して、ℓ のみの式にするだけの事。

同じｃｏｓ（コサイン）を加法定理で計算すると、

　　　ｃｏｓ（６０°－θ）＝ｃｏｓ６０°・ｃｏｓθ＋ｓｉｎ６０°・ｓｉｎθ

　　　　　　　　　　　　　 ＝（１／２）ｃｏｓθ＋（√３／２）ｓｉｎθ　・・・・・・③

②③より、　

　　　　（１／２）ｃｏｓθ＋（√３／２）ｓｉｎθ ＝ （ℓ²－６９）／２０ℓ　

①を代入して変形すると、２０ℓ√３・ｓｉｎθ＝ℓ²－１８９

この式より、ℓ²－１８９ ＞ ０　∴ℓ² ＞ １８９

また、ｓｉｎをｃｏｓに変換する準備として、等式の両辺を２乗すると、

　　　１２００ℓ² ｓｉｎ²θ ＝ （ℓ²－１８９）²

ℓ²＝Ｘ とおくと、Ｘ ＞１８９であり、１２００Ｘ ｓｉｎ²θ＝（Ｘ－１８９）²

　　　∴　１２００Ｘ（１－ｃｏｓ²θ） ＝ Ｘ²－３７８Ｘ＋１８９²

再び①を代入してｃｏｓθを消し、整理してＸの２次方程式にすると、

　　　　　Ｘ²－３１８Ｘ＋１０８８１＝０

因数分解して、　（Ｘ－３９）（Ｘ－２７９）＝０

　　Ｘ ＞ １８９より、Ｘ＝２７９。　　

　　∴　ℓ² ＝ ２７９　　　　　

ℓ は辺の長さだから、正。　∴　ℓ ＝ √２７９ ＝ ３√３１

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正解が発表されてないから、ひょっとすると計算間違いがあるかも知れない

けど、キレイな図を書いて調べると、ほぼ合ってるのは分かる。√３１≒

５．５７だから、一辺の長さ ℓ は１６．７くらいの値。図で測っても、ほぼその

くらいの長さになった。

この問題、高校２年レベルというより、高校１年レベルのやや難しい部類と

いった感じだろう。使った技は、三角比（ｃｏｓとｓｉｎ）と余弦定理、加法定理

のみ。なるほど、これなら楽勝だと思った高校２年生以下の人は、ぜひチー

ムを組んで、来年の大会を目指して欲しい。

活躍すれば、テレビ・新聞など、マスメディアに出れるかも知れないし、自分

たちの様子はＨＰで公開できる。活躍しなくても、青春の貴重な思い出にな

るだろう。地方の人なら、東京見物の言い訳にもなるはず。わざと１次予選

で負けて、すぐ渋谷、お台場、東京スカイツリー、ディズニーリゾートに向か

うとか♪　先生は夜だけ別行動、条例違反に注意して。　

ちなみに、実は上の英語の問題より、日本語の１番がすごく面白かったん

だけど、時間の関係で省略する。数学好きの方は、ぜひ第３回・準決勝の

１番にチャレンジして頂きたい。私は、一応解いたけど、いまだにしっくり来

てない。ゲームの有利な戦い方に関する不思議な結論で、確率の問題だ

から、実験的に検証してみたくなるほど♪　おそらく出題者（あるいは創作

者、研究者）は、パソコンのソフトか手作業で試してると思う。

というわけで、来年・第５回の数学甲子園もますます盛り上がることを祈り

つつ、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　名前と内容が似てる別の大会が、色々とあることに気付いたので、

　　　　　別記事でまとめといた。算数もあるようだ。

　　　　　　　「数学・理科甲子園」、「科学の甲子園」もあるのか・・

ｃｆ．　四角形の外接円の半径の求め方～数学甲子園２０１４予選問題１３解説

　　　数学甲子園２０１２・サンプル問題の解き方＆リハビリジョグ２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４５２４文字）