フラクタル図形と数列、自己相似性～高校レベルの初歩的解説

この記事は正月から書こうとしてたけど、どうしても書けなくて、今やっと書

き始めたものだ。理屈や数式はともかく、図を書くのが面倒だった。手書

きするのが面倒だけど、興味深い図形。これこそ、「フラクタル図形」（後

述）と総称されるものに対する、私の素朴な印象だ。

事の発端は、まったく関係ない話だった。ちょっとした個人的事情で、手元

にある高校数学の教科書を読み始めたのだ。『改訂版　高等学校　数学Ａ』

（数研出版、２００１）。数学Ａというのは当時、普通の高校１年生にとっては、

数式、証明、数列などを学ぶ科目だった（他は平面幾何とコンピューター）。

０３年以降の教育カリキュラムだと、数列は数学Ｂの範囲とされてる。

　　教科書の表紙をめくると、いきなり登

　　場するのが、左のような奇妙な図形。

　　引用したのはウィキメディアで公開中

　　の図で、「Sierpinski triangle」（シェル

　　ピンスキーの三角形）と名付けら

れてる。最初にあった黒い正三角形を４等分して、真ん中の小さい正三

角形を切り抜く。この操作を今、４回繰り返した所になってる（教科書で

は黒でなく赤）。ちなみに、元のウィキメディアの図では７回繰り返してた

から、その１部分を頂いて、少し拡大したのだ。

この図形の場合、１回操作する度に、４分の１の面積が切り取られるから、

面積は ３／４倍になって行く。だから、「公比」３／４の「等比数列」というわ

けで、簡単で興味深い具体例だろう。高校生でもすぐ解けるし、フラクタル

幾何学という難解で高度な領域への導きとしてもいい。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ところが、その右側にあった図と操作は、それほど簡単ではないし、考

え方も途中の式も書かれてなかった。そこで正月早々、ノートとボールペ

ンを取り出して計算することになったのだ。

上図の後は、何番目の図形かも示さずに複雑な図形を載せて（実は４回

操作した後の Ｆ５ ）、ｎ番目の図形Ｆｎの面積をＡｎとし、次の式を答として

与えてるだけだ。ただし、元の正三角形の一辺の長さを１としてある。

　　Ａｎ＝Ａ₁－（３／５）Ａ₁{ １－（４／９）ⁿ⁻¹ }　　　（ｎ＝２，３，４・・・・・・）

１回ごとの操作は、「各辺を３等分し、各辺の中央の線分を１辺とする小

三角形を」取り去る、と説明されてる。おそらく、多くの人はまず、Ｆ₁か

らＦ₂への面積の変化を見て、{Ａｎ} は公比６／９、つまり２／３の等比数

列になるのでは、と推測するだろう。しかし、次のＦ₃ですぐ間違いに気

付くし、そもそも答として与えられてる式は公比２／３になってない。それ

どころか、等比数列でもないのだ。。

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「シェルピンスキーの三角形」と同じく、この図形もおそらくフラクタル（広義：

ｆｒａｃｔａｌ）だろうという事は、想像がつく（厳密には定義による）。小学館『大

辞泉』と英語版ウィクショナリーによると、破片・断片の意のラテン語「fractus」

からの造語とのこと。続いて、『現代数学小事典』（講談社）をめくってみる

と、意外にも見当たらない。用語も図形も先駆者マンデルブロ（Mandelbrot；

フランス）の名もないのだ。

　ちなみに彼は、造語の作

　者でもあり、彼の名前が

　付けられた「マンデルブ

　ロ集合」はもっとも有名

　なフラクタル図形だろう

　（左図の黒い領域）。よ

　り正確には、「マンデル

　ブロ集合に含まれる複素

　数全体を福素平面上に表

　した図形」だ（ウィキメディ

アから引用）。集合の定義は、「漸化式Ｚｎ₊₁＝Ｚｎ ²＋Ｃ，　Ｚ₀＝０で定義さ

れる複素数列 {Ｚｎ} が無限大に発散しないような複素数Ｃ全体の集合」。

「大きなお尻のくぼみ」の少し奥に実数０（０＋０ｉ、つまり原点）、二番目に

大きい丸の中心辺りに実数－１（＝－１＋０ｉ、つまり点（－１，０））がある。

次に、ウィキペディアの「フラクタル」の項目を見ると、９つの図と共に、簡単

な説明がある（海岸線が具体例とか）。冒頭の一番簡単な説明は、「図形

の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう（正確な定義につい

ては後述）」となってる。

ところが、後述された定義がややこしいのだ。マンデルブロによる定義は

「ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に上回るような集合」。ただし、厳密

に定義するのは非常に難しいとも書かれていて、定義する際の問題点も

列挙されてる。個人的には、海岸線が特に自己相似だという感覚もあまり

ない。細部を拡大すると複雑になるというだけなら、現実世界の形はほぼ

全てそうだろう。拡大してなめらかになるのは、数学的世界を始めとして、

頭で考えた理想的な図形にすぎない。プラトン哲学的にはイデア的存在だ。

とにかく、今そんなに深く考えるつもりもないので、英語版ウィキを参照。す

るとやはり、冒頭の簡単な説明が日本語版より丁寧だ。直訳すると次の通

り。「でこぼこな、あるいは断片化された幾何学的形状で、各々が(少なくと

も近似的には)全体の縮小コピーとなっているような各部分へと分割可能

なもの。こうした特徴は、自己相似（self-similarity）と呼ばれている」。

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では、直感的には分かる気がする自己相似性について、もう少し細かく見

　　てみよう。先ほどの図の中央、三菱マーク

　　のＦ₂に注目する。上側のひし形（左図）

　　が、その後の操作でどう変化するのか。

　　ここから１回操作した形、つまりＦ₃の上

　　側は、上下に小さい菱形が出来てる（左

　　下の図）。ただし、中央に新たな図形

　　として、六角形が出来る。

　　ここからもう１回操作した図形Ｆ₄は、手

　　書きが面倒だったので、上側だけ描いた

　　後、１８０度回転したものと上下に連結

　　して作った（左下）。図を見ると、再び菱

　　形が小さく出来てるし、１つ前の図形（Ｆ₃

　　の上側）も再び現れてる。どちらも、１回

　　の操作ごとに、１／３の大きさ、２倍の個

　　数になる。

　　これが、フラクタルの

　　特徴である自己相似

　　なのだ。ネットや本を

　　見ると、複雑な図形が

　　掲載されてるけど、こ

　　れなら一応、自分でも

　　書けるし、「部分が全

　　体のコピー」という話も

　　明瞭だろう。

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一方、その図形の場合、自己相似になってない（ようにも思われる）箇所も

目立ってる。シェルピンスキーの三角形ほど完全な自己相似ではない。ウィ

　　キメディアにあ

　　る葉っぱの例を

　　見てみよう。葉

　　に注目すると、

　　部分が全体の縮

　　小コピーになっ

　　てる。しかし、

　　茎の一部を短く

　　切り取ると、そ

　　こに葉っぱはな

　　いから、全体の

　　コピーにはなってないし、茎だけのコピーにもなってない。そうした不十

分さは、シェルピンスキーの場合はないのだ。切り取った正三角形の場所

を、図形の部分ではなく、単なる空白だとみなす限りは。

自己相似が部分的に成り立ってるという性質は、次の線分を見るともっと

クリアになるだろう。あまりに簡単で面白くない例だが、広い意味で一次

　　元のフラクタル

　　図形と呼べなく

　　もないはずだ。

線分ＡＢの中点をＭ₁とし、右半分の線分Ｍ₁Ｂの中点をＭ₂とする。この

操作を繰り返すと、線分Ｍ₁Ｂは線分ＡＢを２分の１に縮小したコピーにな

る。一般には、線分Ｍｎ Ｂは、線分ＡＢを２ⁿ分 の１に縮小したコピーとな

る。ただし、自己相似性は右側の部分に成立するだけで、左側の部分に

は成立してないのだ。

なお、フラクタル図形と呼ばれてるものはほとんど２次元、つまり平面的な

もので、時々３次元の立体的なものも見かけるが、１次元のものを見た覚

えはない。ところが、ウィキメディアには１つだけ、「Cantor dust」（カントー

　　ルの塵？）とか

　　「Ｃａｎｔｏｒ　ｓｅｔ　

　　ｃｏｎｓｔｒ」（カン

　　トールの集合の

構成）と称するものが挙げられてる。２００６年１０月から５年間、クレーム

も削除もないのだから、フラクタルの例と思っていいのだろう。

線分を３等分して中央の部分を取り去る操作を、４回行った所まで、下から

上へと描いてる。これは、全体としては２次元フラクタルだが、一番上の水

平方向の線全体のみを見れば、１次元フラクタルとも考えられるはずだ。

もちろん、操作を４回までに留めた省略表現として。。

　（追記：　左は

　３次元のシェル

　ピンスキー三角

　形。ウィキメディ

　アから頂いたも

　ので、シェルピ

　ンスキー・ピラ

　ミッドと名付け

　られてた。）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、例の教科書の問題の解答を示しとこう。答として与えられてる数

式からも分かるように、元の図形から一部分を取り去っていく操作だと考

えればいい。ただし、取り去る一部分の面積には、少し頭を使うことになる。

　　基本的な操作を、左図で確認

　　しておこう。図形の各辺を代表

　　するものとして、線分ＡＢと書い

　　てある。上側が、図形の内部としよう。

すると、ＡＢの１／３を一辺とする正三角形の面積だけ、全体の面積が減る

ことになる。また、線分ＡＢ１本が、４本（ＡＣ，ＣＥ，ＥＤ，ＤＢ）になるのだから、

１回の操作ごとに辺の長さは１／３、本数は４倍になる。さらに、１辺の長さ

がｂの正三角形の面積は、普通の公式を用いるなら、

　　　１／２×ｂ×ｂ×ｓｉｎ６０°＝ （√３／４） ｂ²

したがって、図形Ｆｎの辺の長さ、辺の本数、面積Ａｎの変化をまとめると、

下のようになる。「１回前」の辺の数だけ、小さい三角形が切り取られてい

くことに注意する（下の色付け参照）。

　　　　　　　　　Ｆ₁　　　　　　　Ｆ₂　　　　　　　　　Ｆ₃　 ・・・・・・　　　　　Ｆｎ

辺の長さ　　　１　　　　　　　　１／３　　　　　　　　１／９　・・・・・・　　　（１／３）ⁿ⁻¹　

辺の本数　　　３　　　　　　　　１２　　　　　　　　　　４８　　 ・・・・・・　　　　３・４ⁿ⁻¹

面積Ａｎ　　√3/4　　Ａ₁－3 (√3／4)(1／3)²　　Ａ₂－12(√3/4)(1/9)²　・・・・・

よって、図形Ｆｎの面積Ａｎは次の通り。

Ａｎ ＝ Ａ₁－3 (√3/4)(1/3)²－12 (√3/4)(1/9)²－・・・－3・4ⁿ⁻² (√3/4){(1/3)ⁿ⁻¹}²

　　 ＝ Ａ₁－{ 初項 3 (√3/4)(1/3)²、公比 4/9、項数ｎ－１の等比数列の和 }

　　 ＝ Ａ₁－(√3/12) { １－（４／９）ⁿ⁻¹ } ／ （１－４／９）

　　 ＝ Ａ₁－３√３／２０  { １－（４／９）ⁿ⁻¹ }

　　 ＝ Ａ₁－（３／５）Ａ₁ { １－（４／９）ⁿ⁻¹ }

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

したがって、ｎ → ∞（無限大）の時の極限は、

　　　　Ａ₁－（３／５）Ａ₁（１－０）＝ （２／５） Ａ₁　　（∵　（４／９）ⁿ⁻¹→０ ）

元の正三角形の２／５、つまり４割も残るというのは、直感的には多過ぎる

ように思われるが、数学で直感が外れるのはさぼど珍しくないだろう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　なお、この問題

　で、小さい三角

　形を取り去る代

　わりに、外側に

　付け足して行っ

　た図形は、コッ

　ホ雪片（Koch

　snowflake）と

　呼ばれるよう

　だ。左図はウィ

　キメディアの

　ｇｉｆアニメを

　頂いたもの。

面積は有限だが、周の長さは無限になる。辺の長さが１／３になるごとに、

辺の本数は４倍だから、周の長さは４／３倍。これは１より大きい比（＝倍

率）だから、無限になるのだ。面積なら、４×（１／３）²＝４／９が１より小さ

いから、有限の値に収束する。その点は、教科書の問題でも同じこと。コッ

ホ雪片の面積は、教科書の問題と同様に考えて、引き算する代わりに足し

算すればいい。元の３／５だけ減って２／５倍に縮小する代わりに、元の

３／５増えて８／５倍に拡大するわけだ。

日本版ウィキのコッホ曲線の項目は、英語版を直訳して、「最初の７回の

繰り返しを示すアニメーション」としてるが、かなりミスリーディングな（誤解

を招く）表現だ。「繰り返し」の元の英単語は「ｉｔｅｒａｒｉｏｎ」。この場合は徐々

に変形していく一つ一つの図形のことを指す言葉。したがって、「最初の７

つの『図形』」と訳すべき所だ。実際、例の教科書でＦ₁、Ｆ₂と書いてた

が、このＦはおそらく、「Ｆｉｇｕｒｅ」（図形）の頭文字だと思われる。７つの図

形だから、その間の「操作＝変化」は「６回」だ。

ちなみに、教科書の問題にせよ、このコッホ雪片にせよ、本来なら、無限

に同様の操作が可能かどうか、証明する必要があるはずだ。つまり、凹ま

せたり膨らませたりする時、近くの変形とぶつかってしまわないのか。もち

ろん、直感的には大丈夫そうだが、証明は差し当たりネットで見当たらな

いし、私にも出来ない。何か、高度な道具立てや技が必要かも知れない。

いずれにせよ、教科書を開いた時の個人的意図からは遠く離れた話なの

で、そろそろ元の作業に戻ろうと思う。今週の記事は、トータル１９７７３文

字となった。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．　日本版ウィキペディアは、「シェルピンスキーのギャスケット」とい

　　　　　う奇妙な項目名になってる。ギャスケットなどという単語は聞き覚

　　　　　えが無いし、Ｇｏｏｇｌｅで検索しても上位はシェルピンスキー関連

　　　　　の日本のサイトがズラリと並ぶだけ。それに対して、「ガスケット」

　　　　　なら、各種の国語辞典にも載ってるし、聞き覚えも一応あるし、ウィ

　　　　　キの項目名にもある。

　　パイプの接合部などに挟み込む薄い板状の

　　詰め物のことで、様々な大きさの穴が開いて

　　るから、シェルピンスキーの三角形と結びつ

　　けられたのだろう。左は英語版ウィキより頂

　　いた実物写真。三角のガスケットはなかなか

　　見当たらない。

　　ちなみに英語「gasket」の冒頭の発音は「ギャ」

　　　　　だが、日本では外来語のカタカナ表記として「ガ」の方が定着した

　　　　　ようだ。なぜシェルピンスキーの時だけ「ギャ」なのか、その理由

　　　　　までは分からない。

Ｐ．Ｓ．２　２０１７年１０月９日のＮＨＫドキュメンタリー

　　　　　『北斎“宇宙”を描く』で、北斎とフラクタルの関連が

　　　　　解説されたらしい。

　　　　　　　　　　　　　（計　５３７０文字）

　　　（追記　６０字　；　合計　５４３０字）