ポアソン分布（過程）による地震の確率計算（ｂｙ政府・委員会）

２日前（２月１１日）、首都直下型地震の確率をめぐる動きをまとめて記事

にしたが、その際、政府（地震調査研究推進本部・地震調査委員会）が計

算に用いた数学理論、「ポアソン過程」については後回しにしておいた。

今夜、試しに調べてみた所、意外なほど簡単に解決したので、先日の記

事の補足としてアップしとこう。

まずは、委員会が２００４年（平成１６年）８月２３日に発表した「相模トラフ

沿いの地震活動の長期評価」というｐｄｆファイルから、重要な部分だけを

コピー＆ペーストさせて頂く。横長なので、中央で切って２枚の画像にした。

最初の図で、「今後３０年以内の発生確率」が「７０％程度」とされており、

これが今でもよく使われてる政府の公式見解なのだ。先日の東大・京大

の確率計算騒動では、刻々と確率が変化したわけだが、この政府の計

算ではそういった事は起きない。２００４年の時点でも現時点（２０１２年）

でも理論的に数字は変わらない（注２の説明文に書かれてる）。

正確に言うと、この８年間でデータとなる大地震が起きてないから、確率

は変わらないのだ（東日本大震災の地震は、震源の位置的にデータの

範囲外）。「評価の信頼度」がＢとは、過去のデータが多くない、中程度

の信頼性という意味（注３の説明文より）。

　ちなみに、発表のタイトル

　にある「相模トラフ」とは、

　左図の赤線部。ウィキメ

　ディアのＰｅｋａ氏の図を

　引用させて頂いた。相模

　湾から伸びる細長い海底

　盆地のことで、「海溝」ほ

　ど深くはない。

ここは、南西側に広がるフィリピン海プレートと、北東側に広がる北アメリカ

プレート（またはオホーツクプレート）が接する辺りに相当する。巨大な岩盤

同士のズレの力で、地震が多発する場所なのだ。下図もウィキメディアから

の引用で、右下の薄い黄色は太平洋プレート。作者はＵＳＧＳ，Ｗａｓｈｉｕｃｈｏ

氏。左下の日本列島を見ると、西側のユーラシアプレートも含めて、関東・

東北あたりで４つのプレートが接し合ってるのが分かる。実際は立体構造

で、他のプレートの下への潜り込みがあるから、遥かに複雑な関係だ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、問題の確率の計算。やや複雑に見える公式にいきなり数値を代入

しても答は正しく出せる。しかし、それではピンと来ないだろうし、中学・高

校レベルの確率計算ともつながらない。

そこでまず、高校レベルの簡単な確率論で計算してみよう。用いるデータ

はただ一つ。「マグニチュード７級の地震は２３．８年に１回来る」というこ

とだ。これは、信頼できるデータのある１８８５年～２００４年の１１９年間

に５回起きたという過去の事実を根拠にした、非常に粗い仮定だが、大

地震の予測とはそうゆうものなのだ。

１年あたりにＭ７級地震が発生する確率は１／２３．８と考えられるから、

　（３０年以内の発生確率）＝１－（３０年以内に発生しない確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝１－（３０年間のどの年にも発生しない確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝１－{ （１－１／２３．８）}の３０乗 }

　　　　　　　　　　　　　　　　≒０．７２４

つまり７２．４％だから、「７０％程度」という政府の見解とほぼ一致する。

１０年、２０年、４０年、５０年で計算してもほぼ一致した。つまり、結果だ

けなら、実は高校の教科書レベルの計算で一応出せるのだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では、なぜ「ポアソン過程」（Poisson process）という難しげな数学モデル

が必要かというと、とりあえずここでは、理論的に洗練させたものだと言っ

ておこう。「２３．８年に１回」という部分をより厳密に考えて、２３年ならど

うか、２４年ならどうかといった話を滑らかにまとめ上げてるのだ。

ポアソン過程とは、日本版ウィキペディアだと曖昧な表現になってるが、

英語版ウィキだと遥かに明確に定義されている。ただ、ここではポイント

だけ書いておこう。要するに、数学者ポアソンが１８３８年に発表した「ポ

アソン分布」（Poisson distribution）に従うプロセスということだ。

手元の『現代数学小事典』（講談社）を見ると、終盤の第Ⅵ章・応用数学

の第１１節が、「待ち行列理論」となってる。文字通り、待ってる人の行列

についての理論で、その際には、単位時間（１分、１時間など）に平均して

どれだけの人がやって来るかが、一つの大きなポイントとなる。信号待ち

なら、１秒に何台の車が到着するかがポイント。

単位時間の到着数がλ（ラムダ）の時、次の到着までにかかる時間間隔

ｔ に関する確率分布（＝計算用の関数）は、

      　　　ｆ（ｔ）＝λ×（ｅの－λｔ乗）　（ｔ ≧ ０）

と考えることにすれば、理論的に上手くいく。ｅ は自然対数の底（てい）で、

約２．７。

この時、時間間隔ｈ内に到着する数がｋである確率は

　　Ｐ＝（ｅの－λｈ乗）×（λｈのｋ乗） ／ ｋ！

　　　　　　　　　　（ただし、ｋ！＝ｋの階乗＝ｋ・（ｋ－１）（ｋ－２）・・・２・１）

ここでλに、地震の平均活動頻度、１年あたり１／２３．８回を代入し、ｈ

＝３０、ｋ＝０とすれば、「３０年間に地震が０回やって来る確率」が求めら

れる。したがって、

　　（３０年で１回以上の地震が発生する確率）

　　　　　　＝１－（０回の確率）

　　　　　　＝１－（ｅの－３０／２３．８乗）×{ （３０／２３．８）の０乗 }／ ０！

　　　　　　＝１－（ｅの－３０／２３．８乗）　　　　　（∵　０乗＝０！＝１）

　　　　　　≒０．７１６

つまり、７１．６％だから、７０％程度ということになるのだ。１０年、２０年、

４０年、５０年で計算しても、政府発表の数字とほぼ一致した。ということは、

高校教科書レベルの計算ともほぼ一致する。

以上、政府の調査委員会による、首都直下型地震の確率計算を解説して

みた。正確に言うと、「大正型関東地震でも元禄型関東地震でもない、その

他南関東のＭ７程度の地震の確率」を計算したわけだ。大正型や元禄型

の確率がゼロとされてる点は、一昨日の記事で既に述べておいた通り。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　首都直下型地震、数年以内に数十％の確率（東大、京大、政府）

　　　確率論の原点と教育～中学校・数学の教科書など

　　　各地点の大地震の予測（震度＆確率）～Ｊ－ＳＨＩＳ　Ｍａｐ

　　　「日本消滅」、超巨大噴火の確率計算～対数正規分布とＢＰＴ分布

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