引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

最初におことわりしておくが、この記事は、数学者ペアノ（Ｐｅａｎｏ）の自然

数論（特に足し算）をある程度理解してる方を対象とした内容になってる。

整数は自然数にマイナスを付けて作った数だし、引き算（Sｕbtraction）は

足し算（Addition）を前提としてるのだ。予備知識のない方は、先に次の記

事（特に後半の計算）に目を通しておくと分かりやすいと思う。

　　　　「１＋１＝２はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）」

２年２ヶ月前にアップした上の記事は、おかげ様で今に至るまでロングセ

ラー。特に、７月と１２月、１月にアクセスが増えるのは、大学生の学期末

だからだろう。数学系と言うより、教育系と情報系の授業でたまに扱われ

てるようだ。

その後、関連記事も次々にアップ。それらも結構なアクセスを頂いてるの

に、ずっと書けないままだったのが、ペアノの引き算（減法＝減算）の記事。

何度もチャレンジしたけど、足し算より遥かにまとめにくくて、挫折し続けて

た。厄介だと思う人は多いようで、手元の『現代数学小辞典』（講談社）で

も引き算は省かれてるし、各国のウィキペディアを見ても、ペアノの引き算

の説明は「ほとんど」ない。少なくとも、足し算や掛け算みたいな明解な説

明や具体的計算が見当たらないのだ。

例えば、日本語のウィキペディアの「減法」を見ると、最初の簡単な説明の

箇所で、「減法は・・・加法の逆演算として・・・加法に統合」と書いた直後に、

「たとえば自然数の間の減法は、整数への数の拡張により、数を引くこと

と負の数を加えることが同一視されて、減法は加法の一部となる」と書か

れている。減法は加法の逆演算という考えと、加法の一部という考えの間

には、多少の隔たりがあるが、なぜか「たとえば」という接続詞で簡単に結

ばれてるのだ。少なくとも、ミスリーディングな（誤解を招く）接続だろう。

ウィキで、その下の「定義」の項目を読むと、具体的説明として次のよう

に書かれている。

　　　「例えば、２＋３＝５であるので　　

　　　　　５－３＝２，　５－２＝３

　　　のような計算が成立する」

つまり、５－３＝（３と足して５になる数）＝２、ということで、ひき算を足し

算の逆演算とみなしている。そのこと自体は１つの「正しい」考えだが、

引き算を「負の数の足し算」とみなしてるわけではない。つまり、

　　　「５－３＝５＋（－３）＝・・・」

と考えるわけではないのだ。

それに対して、この記事では後ほど、「負の数の足し算」として引き算を考

えることになる。その方が、逆演算を使うより単純明快だからなのだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、実は数学者ペアノの引き算も、代表的論文の１つ、「数の概念につ

いて」を読む限り、足し算の逆演算として考えられている（ｃｆ．『ペアノ　数

の概念について』所収、共立出版）。しかし、逆演算だと、足し算の場合の

ようにスッキリした計算が出来ない。

例えば、引き算の証明として、

　　　「３－２＝１　　（∵ １＋２＝３）」

とだけ書くと、答の「１」、つまり「２と足して３になる数」をどうやって見つけ

たのかが気になる。それをもし明らかと言うのなら、そもそもペアノ的な証

明など不要だし、足し算の明解な計算とバランスが取れてない。

実際、１＋２＝３の証明なら、隙の無い機械的計算で済むのだ。ポイント

だけ書くなら、次のようなものだった。これは前掲『小辞典』その他にある

書き方で、ペアノ自身の記号の使い方とは少し異なるが、本質的には同

じものだ。

　　　１＋２＝０´＋０´´＝（０´＋０´）´＝（（０´＋０）´）´＝０´´´＝３

スタートの自然数「０」と、次の数を表す記号「´（ダッシュ ｏｒ プライム）」を

用いて、１を０´、２を０´´とし、簡単な２つの公式を用いるだけで、機械的

に３という答を導出できる。偶然見つけたり気付いたりすることなく、密かに

普通の日常的計算を援用することもなく、必然的アルゴリズムで計算でき

るのだ。

こうした計算を、引き算でも出来ないか。そう思って、今まで色々と試して

来たが、予想外に面倒だ。まず、自然数にマイナス記号をつけて負の整数

を作り、負の整数同士の関係や、負の整数と自然数との関係を決める。

その後、引き算「関連」の公式をなるべく少数、簡潔に導入して、すべての

引き算を証明したいわけだが、公式の最適な設定に悩むのだ。ペアノ自

身の前掲論文では、逆演算の話も含めて少し一般論を語るだけで、具体

的な説明は「省くことにする」とだけ書かれてる。訳者の解説を見ても無い。

そこで、自分で試行錯誤した結果、とりあえず次のように考えるのが最善

だろうという、暫定的結論に到達した。なるべく、ペアノ自身の考えに即し

つつ、多少の変更を施してある。例えば「３－２」は、ペアノの定義だと

「３＋（－２）」だが、ペアノの場合、これは「＋」（加算）の逆演算を意味し

ており、負の数の足し算を意味してるわけではない。

以下では、「３－２」は「３＋（－２）」と定義し、更にこれを「負の整数の足し

算」として考える。そうすれば、現在の数学の考えにも近づくし、足し算の

感覚も応用できる。新たに引き算特有の公式を導入する必要もなく、逆

関数とか逆演算という、やや高級な概念を持ち出す必要もなく、「負の整

数」の扱いだけ決めておけばいいのだ。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、自然数全体にマイナスをつけて、全体として整数を作る。ペアノ自

身は、０を別扱いしてるが、ここでは足し算記事との整合性も考慮し、自

然数の中に０を含めておく。

すると、「・・・－３，－２，－１，－０，０，１，２，３・・・」という整数の集合が

形式的に出来上がる。ペアノ算術的には、整数は「・・・－０´´´，－０´´，

－０´，－０，０，０´，０´´，０´´´・・・」と定義される（本人の書き方ではな

い）。ただし、追加する最初の公式が必要となる。

　　　③　：　－０＝０　

ちなみに、①と②ａは、足し算の定義式をそのまま使うことにする。以前は

自然数だけを対象としていたが、以下では整数全体が対象となる。

　　　①　：　ｍ＋０＝ｍ

　　②ａ　：　ｍ＋ｎ´＝（ｍ＋ｎ）´

引き算の場合、②ａ式の両辺の「前の数」を考え、さらに左右を逆転する

ことで、次の式も導入する。

　　②ｂ　：　ｍ＋ｎ＝（ｍ＋ｎ´）－１

ここで、右辺の「－１」は、結果的に引き算とも考えられるが、基本的には

「前の数」へと対応づける演算記号と定義しておく。「次の数」へと対応づ

ける記号が「´」だから、「前の数」の記号は「 ⁻´ 」（マイナス・ダッシュ）とし

たい所だが、あまりに特殊なので、代わりに色付けして「－１」としておこう。

形式的には、「ｍ´－１＝ｍ」と定義すればいい。ちなみにペアノの論文で

は、「－１」に相当する記号は、単なる「－」（マイナス）である。いずれにせ

よ、「次の数」とか「前の数」への対応づけは右作用演算であって、二項演

算ではない。

次に、形だけはペアノとほぼ同じ公式として、

　　　④ａ　：　（－ｍ´）´＝－ｍ　

を導入する。ペアノの論文だと、「－（ａ＋１）＋１＝－ａ」と書かれてるが、

ここでの「＋１」は例の「´（ダッシュ）」、つまり次の数を示す記号なので、

④ａのように書いたのだ。これは要するに、「－ｍ´」の次の数が「－ｍ」で

あることを示してる。例えば「－（２＋１）」の次の数が「－２」ということで、

１ずつ等間隔に離散した整数の列、つまり数直線が完成する。ちなみに、

ｍはここでは整数全体とする（ペアノでは１以上の自然数）。

④ａ式で、両辺の「前の数」を考え、左右を逆転させると、

　　　④ｂ　：　－ｍ－１＝－ｍ´

左辺は基本的には、引き算と言うより「－ｍの前の数」を表している。例

えば、「（－２の前の数）＝－（２の次の数）」ということだ（両辺とも－３）。

以下の証明で、分かりにくいのは④ａと④ｂの使用だと思うので、この時

点であらかじめ納得しておいた方が楽だと思う。ではいよいよ、引き算を

証明する計算を具体的に示して行こう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

［例題１：　３－２＝１の証明］　（プラス－プラス＝プラスの型）

　　　３－２ ＝ ３＋（－２）　　　　　　　（引き算の定義）

　　　　　　　＝ ０´´´＋（－０´´）　　　（自然数の定義）

　　　　　　　＝（０´´´＋（－０´´）´）－１　　　　　　（∵　②ｂ）　

　　　　　　　＝（０´´´＋（－０´））－１　　　　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　＝（（０´´´＋（－０´）´）－１）－１　　（∵　②ｂ）

　　　　　　　＝（（０´´´＋（－０））－１）－１　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　＝（（０´´´＋０）－１）－１　　　　　　　（∵　③）

　　　　　　　＝（０´´´－１）－１　　　　　　　　　　　（∵　①）

　　　　　　　＝０´´－１　　　　　　　　　　　　　　　（－１の定義）

　　　　　　　＝０´　　　　　　　　　　　　　　　　　　（－１の定義）　　　　　　　　

　　　　　　　＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（自然数の定義）

［例題２：　１－２＝－１の証明］　（プラス－プラス＝マイナスの型）

　　　１－２＝１＋（－２）　　　　　　（引き算の定義）

　　　　　　＝０´＋（－０´´）　　　　（自然数の定義）

　　　　　　＝（０´＋（－０´´）´）－１　　　　　　　　（∵　②ｂ）

　　　　　　＝（０´＋（－０´））－１　　　　　　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　＝（（０´＋（－０´）´）－１）－１　　　　　（∵　②ｂ）

　　　　　　＝（（０´＋（－０））－１）－１　　　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　＝（（０´＋０）－１）－１　　　　　　　　　（∵　③）

　　　　　　＝（０´－１）－１　　　　　　　　　　　　　（∵　②）

　　　　　　＝０－１　　　　　　　　　　　　　　　　　　（－１の定義）

　　　　　　＝－０－１　　　　　　　　　　　　　　　　（∵　③）

　　　　　　＝－０´　　　　　　　　　　　　　　　　　　（∵　④ｂ）

　　　　　　＝－１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（自然数の定義）　　　　　　　　　　　　　

［例題３：　１－（－２）＝３の証明］　（プラス－マイナス＝プラスの型）

　　　　１－（－２）＝１＋（－（－２））　　　　　（引き算の定義）

　　　　　　　　　　＝０´＋（－（－０´´））　　　（自然数の定義）

　　　　　　　　　　＝０´＋（－（－０´´）´）´　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　＝０´＋（－（－０´））´　　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　＝０´＋（（－（－０´）´）´）´　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　＝０´＋（（－（－０）　）´）´　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　＝０´＋（（－０）´）´　　　　　　（∵　③）

　　　　　　　　　　＝０´＋０´´　　　　　　　　　　（∵　③）

　　　　　　　　　　＝（０´＋０´）´　　　　　　　　　（∵　②ａ）

　　　　　　　　　　＝（（０´＋０）´）´　　　　　　　　（∵　②ａ）

　　　　　　　　　　＝０´´´　　　　　　　　　　　　　（∵　①）

　　　　　　　　　　＝３　　　　　　　　　　　　　　　（自然数の定義）　　　　　　　　　　

[例題４：　－２－（－１）＝－１の証明]　（マイナス－マイナス＝マイナスの型）

　　　　－２－（－１）＝－２＋（－（－１））　　　　　　（引き算の定義）

　　　　　　　　　　　　＝－０´´＋（－（－０´））　　　（自然数の定義）

　　　　　　　　　　　　＝－０´´＋（－（－０´）´）´　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　　　＝－０´´＋（－（－０））´　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　　　＝－０´´＋（－０）´　　　　　　（∵　③）

　　　　　　　　　　　　＝－０´´＋０´　　　　　　　　　（∵　③）

　　　　　　　　　　　　＝（－０´´＋０）´　　　　　　　（∵　②ａ）

　　　　　　　　　　　　＝（－０´´）´　　　　　　　　　　（∵　①）

　　　　　　　　　　　　＝－０´　　　　　　　　　　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　　　　　＝－１　　　　　　　　　　　　　（自然数の定義）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上を参考にすれば、他の型の引き算も証明できそうなことは想像でき

ると思うので、後は読者の方々にお任せしよう。非常に単純な操作だが、

カッコ、ダッシュ、マイナスが続くと計算ミスしやすい。ダッシュの代わりに

「＋１」という右演算記号を使うのも一つの手だ。

最後は、引き算ではない、負の整数の足し算をやってみよう。「マイナス＋

プラス」の計算は、交換法則を先に証明していれば、「プラス＋マイナス」

に変形できるので、今までの引き算の話と同様になる。しかし、交換法則

の証明は、自然数の足し算だけでも面倒だったし、整数の足し算に関し

てはまだ行ってない。そこで、交換せず、そのまま足すことにする。

[例題５：　－１＋２＝１の証明]　（マイナス＋プラス＝プラスの型）

　　　－１＋２＝－０´＋０´´　　　　　　　（自然数の定義）

　　　　　　　　＝（－０´＋０´）´　　　　　（∵　②ａ）

　　　　　　　　＝（（－０´＋０）´）´　　　　（∵　②ａ）

　　　　　　　　＝（（－０´）´）´　　　　　　（∵　①）

　　　　　　　　＝（－０）´　　　　　　　　　（∵　④ａ）

　　　　　　　　＝０´　　　　　　　　　　　　（∵　③）

　　　　　　　　＝１　　　　　　　　　　　　　（自然数の定義）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　☆

ここまで来ると、次はペアノの割り算ということになる。しかし、今度は有理

数（整数／整数）を相手にすることになるし、掛け算の逆演算だから、相

当面倒な話だろう。いつになるか分からないが、いずれは記事にまとめた

いと思ってる。その前に、中学校数学における引き算や負の数の扱いを

記事にするかも知れない。

とりあえず、２年以上迷い続けたペアノの引き算を再構成できたので、肩の

荷が下りた感じで満足だ♪　それでは、今夜はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．１＋１＝２はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４

　　原始リカーシヴ関数と足し算（加法）、掛け算（乗法）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４９６８文字）