確率論の原点と教育～中学校・数学の教科書など

天気予報、地球温暖化、原発事故、放射線による発ガン、ｅｔｃ。生活の至る

所に、確率というものが関わってる。本質的な理由は２つだろう。人間は未

来を予測しながら生きて行く生物だということ。そして、未来の出来事は「確

率的」にしか予測できないということだ。

ここで、「確率的」という言葉をカッコに入れてるのは、確率の理論を使わな

い場合まで含めて考えてるから。そもそも確率（probability）とは、多分そう

だろう（ｐｒｏｂａｂｌｅ）という確からしさの事だ。我々は未来について、多分そう

だろうといった推定の形でしか、知ることは出来ない。未来に対する絶対的

な断言や確率１００％の予測というものは、「非常に強い」確からしさの表現

であって、基本的には主観的な「強い確信」や、「ほぼ１００％」の数学的確

率を示すものにすぎないのだ。

ここで既に、確率＝確からしさをめぐって、２つの要素が絡み合ってること

に気付く。つまり、信念などの人間的なものと、数学的に計算された確から

しさの割合。実は、数学的な確率の中にも、人間的なものが分かりにくい

形で紛れ込んでて、専門家でさえ奇妙なミスをおかしてしまうことがある。

その事は、国家レベルの学力調査の問題・解答を見るだけで気付くのだ。

有名なモンティホール問題では天才が間違えたし、今年の中学・数学Ｂで

は論理的にかなり怪しい模範解答が示されたままになってる。

今回の記事では、確率についての考察の手始めとして、教育の中で確率

理論が初めて登場する中学の教科書を中心に、実情を見てみよう。ただ

し、その前に少しだけ、小学校教育もチェックしておきたい。。

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数学教育における確率は、中学でも高校でも、「場合の数」を基本として考

えることになってる。例えば、サイコロを投げる時、偶数の目が出る場合は

３通り、奇数も３通りで、合わせて６通りは「同様に確からしい」。だから、

　　　（偶数が出る確率）＝３／６＝１／２

とするわけだ。

一番もとにある「場合の数」は、平成２３年度から全面実施となった新学習

指導要領だと、小学校６年の教科書に登場する。手元にある、東京書籍の

『新しい算数　６下』を見てみよう。

まず、第１２章「資料の調べ方　資料の特ちょうを調べよう」で、様々な物

事を数量的に調べてまとめることを学んだ後、第１３章「場合の数　順序

よく整理して調べよう」に入る。

最初に、高校でいう「順列」、つまり並べ方の数え方を、記号や樹形図を使っ

て学んでいく。４つの乗り物に乗る順番なら、それらをＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄという記

号で簡単に表現して、ＡＢＣＤ、ＡＢＤＣ、ＡＣＢＤ・・・などとアルファベット順に

並べたり、Ａから３本の枝を右に伸ばしてＢ、Ｃ、Ｄと書き、そこからまた右に

２本の枝を広げたりする訳だ。Ｂの右ならＣの枝とＤの枝とか。

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注目すべきは、ｐ．４６の問題３。

　　　「メダルを続けて３回投げます。このとき、表と裏の出方には

　　　　どんな場合がありますか。」

この問題を、初めて習う普通の小学６年生にやらせると、答え方はかなり

バラつくはずだ。それどころか、大学生でもバラつくという話さえ聞いてる

が、ここでは小学生だけに注目する。この問題は、一応「第１節　並べ方」

に含まれてるが、大半の小学生はそうした区分を考えることなく、問題文

だけを読んで考えるだろう。そこには、「表と裏の出方」とだけ書いてあり、

「並べ方」とは書いてない。

ところが、正解らしき説明では、表と裏の並べ方が書かれてるのだ。つま

り、表表表、表表裏、表裏表、表裏裏、裏表表、裏表裏、裏裏表、裏裏裏、

全部で８通りと考えるように誘導される。これだと、やがて「３枚とも表にな

る確率は１／８」という話を、深く考えることなく自然に納得してしまうだろう。　　　

要するに、既に小学校の時点で、ひそかに「同様に確からしい場合の数」

の「正しい数え方・考え方」をインプットされてるのだ。

元の問題文だけなら、「表３枚、表２枚、表１枚、表０枚」と４通りに数えて

もいいはずで、これだとやがて、「３枚とも表になる確率は１／４」という「誤っ

た」答に辿り着く。あるいは、単なる「出方」ではなく「並べ方」を数えるにし

ても、「３回とも同じ、３回が互い違い、２回連続同じで１回だけ違う」と数え

るなら３通りになり、

　　　（３枚とも表になる確率）＝（１／２）×（３枚とも同じになる確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（１／２）×（１／３）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１／６

という「誤」答に辿り着く。

そういった、確率論的も統計学的にも「誤った」考えに向かう可能性を、知

らない間に消そうとしてるのだ。教科書作成の意図はともかく、少なくとも結

果的には。。

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続いて、中学の教科書を見てみよう。残念ながら、平成２４年度からの新

学習指導要領に対応したものは持ってないので、とりあえずここでは、そ

れまで使われてた教科書を見る。後で、新しい教科書との違いに気付い

たら、追記・補足することにしよう。手元にあるのは『新編　新しい数学２』

（東京書籍）だ。ちなみに、この４月（２０１２年）から全面実施の新課程で

も、確率は中２の教科書に控えめに入ってる。

「第６章　確率」は、まず前置きで、６枚のカード（１，２，２，３，３，３）から

１枚引く「実験」からスタート。そこでは、「起こりやすさ」の違いを確認する

ようだが、この場合の起こりやすさとは、実際には実験による「相対度数」

から考えることになる。

つまり、３０回試すと、１が６回、２が１０回、３が１４回「出た」から、３が一

番「出やすい」とか、クラス全員が何度も試すと、ほとんどの人で３が一番

多く「出た」から、３が一番「出やすい」と考える流れだ。表面的には、あく

まで「過去」を扱ってる。

ところが、次のページでは早速、微妙ながら決定的にズレた「起こりやす

さ」が話題となる。つまり、まだ実験してない「未来」の事柄の予想・推測

が話題とされてるのだ。

そして、次の「第１節　確率」では、核心となる主張が提示される。

　　　　「結果が偶然に左右される実験や観察を行うとき、あることがらが

　　　　　起こると期待される程度を数で表したものを、そのことがらの起

　　　　　こる確率という。

　　　　　たとえば、さいころを投げるとき、１の目が出ることは６回に１回

　　　　　起こると期待されるので、その確率は１／６である。」

「期待される程度」という言葉で確率を定義してあるが、さいころの場合、

直前で行った実験における相対度数（３３４ ／ ２０００、つまり０．１６７）

が根拠（または手がかり）となってる。その後の、「女子の生まれる確率」

も、過去の統計における相対度数（０．４８６か０．４８７）が根拠なのだ。

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そして、次の「第２節　確率の求め方」で、良し悪しはともかく、理論的な飛

躍が登場する。その導入は巧みで、サッカーのキックオフをどちらのチー

ムが行うか、コイントスで決めるわけを軽く考えさせた後、いきなり「正しい」

考えが示される。

　　　コインを投げる場合では、表が出ることと裏が出ることが同じ程度

　　　に期待できる。このようなとき、どの結果が起こることも同様に確か

　　　らしいという。

決定的な事は、コインの実験をせずに、あるいは書かずに、「同じ程度に

期待できる」と断言してる点。また、「このようなとき」がどのような時なの

か、具体的にも理論的にも説明してない点だ。そして、かの有名な理論

が登場する。これが「求め方」であって、「確率の定義」ではない点にも注

意したい。

　　　確率の求め方

　　　　ある実験または観察を行うとき、起こりうる結果が全部でｎ通り

　　　　あり、そのどれが起こることも同様に確からしいとする。

　　　　そのうち、ことがらＡが起こるのがａ通りあるとき、Ａの起こる

　　　　確率ｐは次のようになる。

　　　　　　　　　ｐ ＝ ａ／ｎ

ここではもはや、なぜかという問いもなく、「一般に、次のことが成り立つ」

と前ふりされてるだけなのだ。これ以降、実際に行った実験や観察におけ

る相対度数の話は消えて、もっぱら、「場合の数」の簡単な割り算が行わ

れる。教えられた通りに、ある場合と全体の場合とを数えて、小学校３年

レベルの簡単な割り算を行えばおしまいなのだ。

ほとんどの生徒は、奇妙なトリック、「論点先取」に気付かないだろう。確

率を計算する際、先に「同様に確からしい」という形で確率の等しさを使っ

てることに。そして、いつの間にか実験や観察の相対度数が説明から消

えてしまったことに。当然、実験できない時、観察が不十分な時にはどうな

るのか、現実的に考える力も養われないだろう。。

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ちなみに、第１節で確率を大まかに定義した直後には、驚くべき逆転も登

場する。つまり、元々は相対度数から確率を考えてたはずなのに、逆に確

率から相対度数を考えてよいことになるのだ。

　　　「確率がｐであるということは、同じ実験や観察を多数回くり返す

　　　　とき、そのことがらの起こる割合がｐに近づくという意味をもって

　　　　いる。」

いわゆる「大数の法則」（つまり多数回の法則）で、その「証明」（とされるも

の）自体も大問題だが、ここでは中学の教科書だけに注目しとこう。確率が

ｐであるとは、相対度数がｐに近づくという「意味をもっている」という形で、

まるで単なる言葉の定義や用法であるかのように語られてる。しかし実際

は、「確率がｐとされてる時、相対度数もｐに近づくと考えるべきだ」という、

必ずしも現実的ではない思考パターンを教え込んでるわけだ。

結局、過去の僅かな経験にもとづく「期待」から確率を求め、そこからさら

に、未来の経験に対する「期待」を計算する。二重に期待が混ざってるわ

けで、それは十分正確に再現可能な事柄の場合にはほぼ問題ないけど、

実際の世の中、特に、人間に関わる事や複雑すぎる事ではなかなか上手

くいかない。

その問題点には触れないまま、高校数学までの確率教育は終わるのだ。

そして唐突に、大地震の確率やガン発生リスクといった重大な問題につい

て考えさせられることになる。ほとんどの大人がつぶやく台詞、頭をよぎる

考えは、「先のことは分からない」といった非－数学的で素朴なものだろう。

ごく稀な例外は、宝くじで連番とバラのどちらが有利か、真剣に考える時く

らいのはずだ。

今日はもう時間も字数も無くなったので、続きはまた次回に。。☆彡

ｃｆ．　全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪　　（２００９年）　

　　　全国学力調査２０１２・中学数学Ｂ、スキージャンプの問題（原田ｖｓ船木）

　　　宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い～朝日新聞・ｂｅ

　　　ポアソン分布（過程）による地震の確率計算（ｂｙ政府・委員会）

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