ε－δ論法による基本定理の証明～関数の積の極限

ウチは一般社会人の趣味のブログだし、別に数学系ブログという訳でもな

いので、数学の質問を頂いてもお答えするとは限らない。ただ、ちょうど

ε－δ（イプシロン・デルタ）論法の記事を追加しようかなと思ってた所だ

し、毎日更新の中の１本として手頃な内容でもあるので、サラッとお答えし

とこう。数学の中でも堅い話なのに、地味にアクセスが続いてるのだ。

頂いたリクエストは、「関数の積についてのε－δ論法の証明」だが、おそ

らく次の基本定理の証明をお望みなのだろう。高校では証明抜きで使うが、

大学レベルでは一応、「証明できる」のだ。ただし、実際に「証明する」機会

は、かなり減ってると思う。

これをε－δ論法で証明しようとすると、｜ｆ－ｐ｜と｜ｇ－ｑ｜を使って

｜ｆ ｇ－ｐｑ｜を作る必要がある。ところが、前の２つの絶対値を単純に

掛け算すると、上手く行かないのだ。　　　　　

こうゆう時、シャープではないけど基本的な方法として、絶対値記号を外

して普通の不等式にするのは一つの手だ。つまり、｜ｆ－ｐ｜＜εの代わ

りに、－ε ＜ ｆ－ｐ ＜ ε、さらに、ｐ－ε ＜ ｆ ＜ ｐ＋εとするのだ。同

様に、ｑ－ε ＜ ｇ ＜ ｑ＋εとすると、εはいくらでも小さく出来るから、

ｐとｑが正の時、不等式の各辺は正。

よって、　　（ｐ－ε）（ｑ－ε） ＜ ｆ ｇ ＜ （ｐ＋ε）（ｑ＋ε）

ここから、ｆｇ－ｐｑ をいくらでも小さく出来ることを示すのは簡単だろう。た

だし、ｐとｑの符号で場合分けするのが面倒だし、あまり美しくもない。そこ

で、絶対値記号を活かした証明を示すことにしよう。以下、εとε₁などの

区別、つまり、右下の添字の有無や番号にご注意頂きたい。省略せずに

きっちり書いてるので、長めの証明になっている。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

☆前掲定理の証明☆

題意を示すには、次のことを導けばよい。

　　任意の正のεに対して、ある正のδが存在し、

　　　　　０＜｜ｘ－ａ｜＜δ ならば ｜ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）－ ｐｑ｜ ＜ ε

要するに、｜ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）－ ｐｑ｜をいくらでも小さく出来ることを示せばよい。

いま任意の正のε₁に対して、２つの極限の仮定より、次の２つが言える。

　　ある正のδ₁が存在して、０＜｜ｘ－ａ｜＜δ₁ならば｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ε₁

　　ある正のδ₂が存在して、０＜｜ｘ－ａ｜＜δ₂ならば｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε₁

したがって、δ₁とδ₂のうち小さい方（同じならその値）をδとすると、

　　０＜｜ｘ－ａ｜＜δならぱ、

　　　　　　　｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ε₁ かつ ｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε₁　・・・・・・　①

以下、０＜｜ｘ－ａ｜＜δの範囲で考える。

｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ε₁を書き換えて、－ε₁＜ ｆ（ｘ）－ｐ ＜ ε₁

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　ｐ－ε₁＜ ｆ（ｘ） ＜ ｐ＋ε₁

よって、｜ｆ（ｘ）｜の範囲を考えると、｜ｐ－ε₁｜と｜ｐ＋ε₁｜の大き

い方（同じなら、その値）より小さい。同じことを式で書くなら、次の通り。

　　｜ｆ（ｘ）｜＜ Ｍａｘ { ｜ｐ－ε₁｜，｜ｐ＋ε₁｜}

ところで三角不等式より、｜ｐ－ε₁｜≦｜ｐ｜＋｜－ε₁｜

　　　　　　　　　　　　 ∴　｜ｐ－ε₁｜≦｜ｐ｜＋ε₁

同様に、　　　　　　　　　 ｜ｐ＋ε₁｜≦｜ｐ｜＋ε₁

よって、｜ｆ（ｘ）｜は｜ｐ｜＋ε₁より小さい。

　　　　∴　０ ≦ ｜ｆ（ｘ）｜ ＜ ｜ｐ｜＋ε₁　・・・・・・　②

ここで、証明すべき事柄そのものに着目すると、

　　　　｜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｐｑ｜＝｜ｆ（ｘ）{ ｇ（ｘ）－ｑ }＋ｑ { ｆ（ｘ）－ｐ }｜

三角不等式より、

　　　　｜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｐｑ｜ ≦ ｜ｆ（ｘ）{ ｇ（ｘ）－ｑ }｜＋｜ｑ { ｆ（ｘ）－ｐ }｜

　∴　｜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｐｑ｜ ≦ ｜ｆ（ｘ）｜｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＋｜ｑ｜｜ｆ（ｘ）－ｐ｜

①②より、　｜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｐｑ｜ ＜ （｜ｐ｜＋ε₁）ε₁＋｜ｑ｜ε₁

この不等式の右辺は、δを適当に小さく取ってε₁を小さくすれば、いくら

でも小さくなる。よって、任意の正のεよりも小さく出来るから、

　　　　　　　｜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｐｑ｜ ＜ ε

以上より、題意は示された。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、途中で｜ｆ（ｘ）｜の範囲を狭める時、もっと簡単にある有限の値Ｍで

　　　　　｜ｆ（ｘ）｜≦Ｍ

としてもよい。例えば、ハイレベル過ぎて一般人には不親切な『解析入門Ⅰ』

（杉浦光夫，東京大学出版会）だと、Ｍのみ用いて、ε₁を使わず、非常に

簡単に証明を終わらせてある。

ただ、こういったＭはなかなか導入しにくいものだし、ε₁（の類）とεの関

係も分からなくなる。それに対して、上で示した方法なら、ε₁をεで表すこ

とも可能なのだ。

つまり、　最後の不等式の右辺をεにすればいいのだから、２次方程式

　　　（｜ｐ｜＋ε₁）ε₁＋｜ｑ｜ε₁＝ε　

をε₁について解けばよい。整理すると、

　　　ε₁² ＋（｜ｐ｜＋｜ｑ｜）ε₁－ε＝０

これが必ず正の解ε₁を持つのは明らかだろう。　　　　　　

ちなみに「数列」の積の極限についても、ほぼ同様に証明可能だ。あと、た

まに「エプシロン・デルタ」といった検索アクセスも入ってるが、「イ」プシロン

の方が普通だと思う。では、今日はこの辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．　商（割り算）の極限については、関数ではなく数列で証明記事を書

　　　　　いてみた。この場合、ε－δ論法の代わりにε－Ｎ論法を使うこと

　　　　　になるが、ほとんど同じ式変形で関数の場合も証明可能。興味の

　　　　　ある方は下のリンクからどうぞ。

ｃｆ．　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法による極限の定義

　　　ε－δ論法による極限の定理（線型性）の証明

　　　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法の問題の解き方

　　　ε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法～数列の極限の定義と解き方

　　　ε－Ｎ論法による基本定理の証明～数列の商の極限

　　　ε－δ論法における、∞（無限大）や発散の扱い方

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２２７０文字）