ε－Ｎ論法による基本定理の証明～数列の商の極限

「数学記事は先日書いたばかりだけど、今夜は不純な動機から、また数学

記事を書くことにしよう」。。そう書き始めようと思ったが、実際は前回から

既に３週間以上も経過してたようだ。それなら、記事ローテーション的にも

おかしくないだろう。ちなみに不純な動機とは、手っ取り早く硬派の記事を

書きたい、という思いのこと。日曜の夜、時間に追われてるもんで。。

前回は、ε－δ（イプシロン・デルタ）論法を用いて、「関数の積の極限」が

「関数の極限の積」になることを証明した。和（足し算）と定数倍の極限に

ついてはかなり前に証明してるから、差（引き算）の極限についても証明

したことになる。と言うのも、 「ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）」は、「ｆ（ｘ）＋{ －１×ｇ（ｘ）}」と

考えられるから。つまり、関数の差とは、関数の和と定数倍の組合せで

処理できるわけだ。

結局、極限の基本定理の中で、残るのは商（割り算）のみ。関数に関す

るε－δ論法の記事が多めになってるので、今回は数列に関するε－

Ｎ論法を用いて、「数列の商の極限」＝「数列の極限の商」を証明しよう。

これが出来れば、ほとんど同様の式変形で、「関数の商の極限」＝「関

数の極限の商」も証明できるのだ（もちろんε－δ論法）。

なお、数列の極限を厳密に扱うためのε－Ｎ論法に慣れてない方は、

２年前の次の記事をご参照あれ。

　　　ε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法～数列の極限の定義と解き方

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、ここでは話の重複を避けるために、「数列の積の極限」＝「数列

の極限の積」は既に証明されてるとしよう。つまり、

　　　ｌｉｍ ａ（ｎ）ｂ（ｎ） ＝ { ｌｉｍ ａ（ｎ） }× { ｌｉｍ ｂ（ｎ） }　　（ｎ → ∞）

これは、関数の積の時とほぼ同様の式変形で、証明できる定理だ。ち

なみに、活字の制約から、数列の項の番号を示す添字の ｎ は、カッコ

に入れて示すことにする。「ｌｉｍ」の下に書くべき「ｎ → ∞」についても、

カッコに入れて右端に書くことにするので、念のため。ではいよいよ、

商についての証明に移ろう。

☆「数列の商の極限」＝「数列の極限の商」、の証明☆　

　　以下、ｌｉｍ ａ（ｎ） ＝ ｐ　、　ｌｉｍ ｂ（ｎ） ＝ ｑ　（ｎ → ∞）の時、　

　　　　　ｌｉｍ ａ（ｎ）／ｂ（ｎ） ＝ ｐ／ｑ　（ｎ → ∞）　・・・・・・①

　　となることを証明する。ただし、ｂ（ｎ） ≠ ０、ｑ ≠ ０とする。

　　いま、ｌｉｍ １／ｂ（ｎ） ＝ １／ｑ　（ｎ → ∞）　・・・・・・②

　　であることが示されているとすれば、

　　　　　　ｌｉｍ { ａ（ｎ） ／ ｂ（ｎ） } ＝ ｌｉｍ  { ａ（ｎ）×１／ｂ（ｎ） }

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ｐ × （１／ｑ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ｐ／ｑ　　　（ｎ → ∞）

　　となり、①は簡単に証明される。

　　よって、①を証明するには、②を証明すればよい。つまり、「数列の

　　逆数の極限」＝「数列の極限の逆数」を示せばよい。ε－Ｎ論法を

　　用いて言い直すと、証明すべき命題は、

　　「すべての正の整数εに対して、ある自然数Ｎが存在し、

　　　ｎ＞Ｎならば ｜１／ｂ（ｎ） － １／ｑ ｜ ＜ ε」・・・②´ 。

　　さて、前提のｌｉｍ ｂ（ｎ） ＝ ｑ より、「すべての正の整数ε₁に対して、

　　ある自然数Ｎが存在し、ｎ＞Ｎならば　｜ ｂ（ｎ）－ｑ ｜ ＜ ε₁」・・・③。

　　ｑ＞０の場合はｑ－ε₁＞０となるように、ｑ＜０の場合はｑ＋ε₁＜０

　　となるように、ε₁を定めておく。

　　ここで、

　　｜１／ｂ（ｎ） － １／ｑ ｜＝ ｜ｑ－ｂ（ｎ）｜ ／ ｜ｑ ｂ（ｎ）｜

　　 　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ｜{ ｑ－ｂ（ｎ） }／ｑ｜ ／ ｜ｂ（ｎ）｜

　　であり、右辺の分子｜{ ｑ－ｂ（ｎ） }／ｑ｜は限りなく ０ （ゼロ）に近づく

　　から、右辺の分母｜ｂ（ｎ）｜がある正数以上だと示すことを目指す。

　　③より、ｎ＞Ｎならば、｜ ｂ（ｎ）－ｑ ｜ ＜ ε₁

　　　　　　　　　　　　∴　－ε₁＜ ｂ（ｎ）－ｑ ＜ε₁

　　　　　　　　　　　　∴　ｑ－ε₁＜ ｂ（ｎ） ＜ ｑ＋ε₁　

　　よって、ｑ＞０の場合は、　０＜ｑ－ε₁＜ｂ（ｎ）

　　　　　　　　　　　　　　　∴　０＜１／ｂ（ｎ） ＜ １／（ｑ－ε₁）

　　∴　｜{ ｑ－ｂ（ｎ） }／ｑ ｂ（ｎ）｜ ＜  ｜ｑ－ｂ（ｎ）｜／ｑ（ｑ－ε₁）

　　よって③より、　｜１／ｂ（ｎ） － １／ｑ ｜ ＜ ε₁／ｑ（ｑ－ε₁）・・・④

　　あらかじめε₁について、ε₁／ｑ（ｑ－ε₁）＝ε　となるように、

　　つまり　ε₁＝ｑ²ε／（ｑε＋１）　と決めておけば、④より

　　｜１／ｂ（ｎ） － １／ｑ ｜ ＜ ε

　　したがって、②´ が示された。

　　一方、ｑ＜０の場合は、　ｂ（ｎ）＜ｑ＋ε₁＜０

　　　　　　　　　∴　０＜｜ｑ＋ε₁｜＜｜ｂ（ｎ）｜

　　　　　　　　　∴　０＜｜１／ｂ（ｎ）｜ ＜ １／｜ｑ＋ε₁｜

　∴　｜{ ｑ－ｂ（ｎ） }／ｑ ｂ（ｎ）｜ ＜ ｜ｑ－ｂ（ｎ）｜／ｑ（ｑ＋ε₁）

　よって③より、　｜１／ｂ（ｎ） － １／ｑ ｜ ＜ ε₁／ｑ（ｑ＋ε₁）・・・⑤

　　あらかじめε₁について、ε₁／ｑ（ｑ＋ε₁）＝ε　となるように、

　　つまり　ε₁＝ｑ²ε／（－ｑε＋１）　と決めておけば、⑤より

　　｜１／ｂ（ｎ） － １／ｑ ｜ ＜ ε

　　したがって、②´ が示された。

　　以上より、ｑ の符号に関わらず②´が示されたので、②も示され、

　　結局は①も証明された。

                 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

上の証明を書くにあたって、いつものように杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東京

大学出版会）を参照しているが、かなりの変更を加えて丁寧に書いてある。

特に、目標とすべきεに対して、ε₁をどのように決めればいいのか、具

体的な数式で求める過程まで示した所が、工夫のポイントだ。ちなみにＮ

の方は、数列の具体的な式が与えられてないから当然求められない。ε

－Ｎ論法にとって、εはすべての正の数を相手にする必要があるが、Ｎ

は何かが存在することさえ言えればいいわけだ。

なお、今週は合計１８７０１字となった。ではまた。。☆彡

ｃｆ．　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法による極限の定義

　　　ε－δ論法による極限の定理（線型性）の証明

　　　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法の問題の解き方

　　　ε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法～数列の極限の定義と解き方

　　　ε－δ論法による基本定理の証明～関数の積の極限

　　　ε－δ論法における、∞（無限大）や発散の扱い方

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２３３９文字）