ε－δ論法における、∞（無限大）や発散の扱い方

当サイトではこれまで、関数の極限についてのε－δ（イプシロン・デルタ）

論法の記事４本、数列の極限についてのε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法の

記事２本をアップ。かなりお堅い内容にも関わらず、地味なロングセラーに

なっている。

検索アクセスで使われたワード（単語）を見ると、時々「発散」という言葉が

入ってるので、以前から少し気になってた。と言うのも、ε－δ論法という

のは普通、ｘ がある特定の数に近づく時、ｆ（ｘ）がある一定の数（有限確定

値）へと収束することを証明する方法だからだ。手元の参考書を複数チェッ

クしても、発散に関する話はごく僅かで、はっきりした証明は省略されてい

る。似て非なる話だが、ｘ が∞（無限大）に増加していく時の極限も、ほとん

ど省略されてるのだ。

まあ、少し考えればすぐ分かる程度の話ではあるが、私自身も含めて、適

当にスルーしてる人は少なくないような気もする。実際、時々検索アクセス

も入ってるので、今日は簡単にその辺りの話をまとめてみよう。なお、この

記事は、普通のε－δ論法やε－Ｎ論法に関する基本知識を前提として

るので、その辺りから知りたい方は、以前の記事を参照して頂きたい。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ではまず、数列の極限に関するε－Ｎ論法とほぼ同じものとして、関数

の極限に関する「ε－Ｍ論法」を見てみよう。ｘ を制限するものとして、

小さな数δの代わりに、大きな数Ｍを用いるわけだ。この言い方は、な

ぜか（ほとんど）使われてないようだが、ｎに対してＮを考えるのと同様、

ｘに対してＭを考えるのだから、ε－Ｍ論法と呼ぶことにする。

それを言うならむしろ、ｘ の大文字を使った「ε－Ｘ論法」の方がふさわ

しい気もするが、基本的な参考書としている杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東

京大学出版会）でＭを使ってるので、それに合わせただけの話だ。

まず ｘ→∞の場合の簡単な例として、次の極限を考えてみよう。システムの

制約上、ｌｉｍの書き方を少しだけ変えてあるが、意味はすぐ分かるはずだ。

　　　　　ｌｉｍ １／ｘ ＝ ０　（ ｘ → ∞）

これは、ε－Ｍ論法だと、「任意のε＞０に対して、あるＭが存在して、

ｘ＞Ｍならば｜（１／ｘ）－０｜＜ε」、ということを意味している。それを証

明するには、このＭをεの関数として求めればよい。

まず準備作業として、ｘ＞０の範囲で、導くべき不等式｜（１／ｘ）－０｜＜ε

を変形すると、ｘ ＞ １／ε。したがって、Ｍを１／εとすればいいことが分か

る。では一応、証明の形にまとめてみよう。

　（証明）　任意のε＞０に対して、Ｍの値を１／εと決める。すると、

　　　　　　ｘ ＞ Ｍならば、ｘ ＞ １／ε　　∴　１／ｘ ＜ ε

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　｜（１／ｘ）－０｜＜ε

　　　　　　これで、題意の極限は証明された。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

続いて、関数が＋∞へと発散する場合について。簡単な例として、次の極

限を考えてみよう。

　　　　　　　ｌｉｍ １／ｘ ² ＝ ＋∞　　（ ｘ → ０ ）

細かい話だが、『解析入門』ではこの種のｌｉｍを書く時、「ｘ≠０」と書き添え

ることになっている。もし書き添えないのなら、ｘ＝０になる時も考える、とい

う立場なのだ。しかし杉浦自身も認める通り、普通は書き添えなくても ｘ≠０

と考えるし、とりあえずここでの議論にとっては、枝葉の問題にすぎない。

だから上の式でも、ｘ≠０ とは書き添えてないので、念のため。

この場合は、大きな数を示すＭの使い方が変わって来る。先ほどは、

「ｘ ＞ Ｍならば・・・」という形で用いたが、今回は「・・・ならば ｆ（ｘ） ＞ Ｍ」

という形で用いるのだ。

つまり、「任意のＭに対して、あるδ＞０が存在して、０＜｜ｘ－０｜＜δなら

ば １／ｘ ² ＞ Ｍ」、となることを示せばよい。いわば「Ｍ－δ論法」による証

明だ。そのための準備として、まず導くべき不等式 １／ｘ ² ＞ Ｍ を変形し

てみる。

Ｍ ≦ ０ なら直ちに成立するから、Ｍ＞０として、ｘ ² ＜ １／Ｍ。つまり、

｜ｘ－０｜ ＜ １／√Ｍ。よって、δ＝１／√Ｍと決めればいいことが分か

る。では一応、証明の形にまとめ直しておこう。

　（証明）　任意のＭ≦０に対してなら、直ちに１／ｘ² ＞ Ｍとなる。一方、

　　　　　　任意のＭ＞０に対しては、δの値を１／√Ｍと決める。すると、

　　　　　　　　０＜｜ｘ－０｜＜δならば、０＜｜ｘ｜＜１／√Ｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　０＜ ｘ ² ＜１／Ｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　１／ｘ ² ＞ Ｍ

　　　　　　以上より、題意の極限は証明された。

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では最後に、ｘ→∞ の時、関数 ｆ（ｘ） が＋∞に発散する場合について。

極端に簡単な、次の例を考えてみよう。

　　　　　　　　ｌｉｍ ２ｘ ＝ ＋∞　　（ｘ → ∞）

この場合、ｘ と関数 ２ｘ、それぞれに対して大きな数を考える必要があるの

で、Ｍだけでは文字が足りない。右下の添字で区別してもいいが、ここでは

ＬとＭを使って、「Ｍ－Ｌ論法」としておこう（逆に「Ｌ－Ｍ論法」でも同じこと）。　

すると、「任意のＭに対して、あるＬが存在して、ｘ ＞ Ｌ ならば ２ｘ ＞ Ｍ」、

を示すことになる。示すべき不等式 ２ｘ ＞ Ｍ を変形すると、ｘ ＞ Ｍ／２ 。

よって、Ｌ＝Ｍ／２と決めればよい。では一応、証明の形にしておこう。

　（証明）　証明すべき極限の式は、

　　　　　　「任意のＭに対して、あるＬが存在して、ｘ ＞ Ｌ ならば ２ｘ ＞ Ｍ」

　　　　　　であることを示している。

　　　　　　いま、任意のＭに対して、ＬをＭ／２と決めると、

　　　　　　　　ｘ ＞ Ｌ ならば、ｘ ＞ Ｍ／２　　

　　　　　　　　　　　　　　∴　２ｘ ＞ Ｍ

　　　　　　よって、題意の極限は証明された。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、－∞（マイナス無限大）が絡む場合、つまり ｘ → －∞ とか、

ｌｉｍ ｆ（ｘ） ＝ －∞の場合も、これまでと同様の議論で処理できるのは明ら

かだろう。

それに対して、いわゆる「振動」の場合（ｘ→∞における ｓｉｎ ｘ の極限など）

は、有限確定値に収束しない（つまりδが存在しない）ことと、正の無限大

や負の無限大へと発散しない（つまりＬが存在しない）ことを示すわけだ。

とりあえず、今日はこの辺で終わりとしとこう。ではまた。。☆彡

ｃｆ．　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法による極限の定義

　　　ε－δ論法による極限の定理（線型性）の証明

　　　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法の問題の解き方

　　　ε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法～数列の極限の定義と解き方

　　　ε－δ論法による基本定理の証明～関数の積の極限

　　　ε－Ｎ論法による基本定理の証明～数列の商の極限

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４８１文字）