数学甲子園２０１２・サンプル問題の解き方＆リハビリジョグ２

（１８日） リハビリＪＯＧ １０ｋｍ，５５分０９秒，平均心拍１４８

今夜は時間も無いし、週間字数制限２万字にも接近しつつあるから、手短

な理数系記事をアップしとこう。最近、去年の「数学甲子園」の記事に検索

アクセスが続いてるのだ。参加申込締切は明日、７月２０日とのこと。

そう言えば、夏は様々な甲子園の季節でもある。まだ第５回、始まって間

もない全国数学選手権大会は、地区予選が８月下旬、東京都内の本戦は

９月１６日とのこと。数検＝数学検定の募集ページを見ると、予選と準々決

勝のサンプル問題が掲載されてるけど、「解答」のｐｄｆファイルにはなぜか、

単なる最終的「答」しか載ってない。まあ、参加希望の生徒なら、自力で解

けて当然って意味かな。

著作権の扱いがビミョーだから、予選はパスで、準々決勝の１～４番は出

題に関するコメントと解答の方針のみ。５番と６番は英語の問題文も引用

しとこう。まずは問題を公式ＨＰでご覧あれ。６問とも教科書レベルの普通

の問題であって、難問は一つもない。

１チーム３～５人で１５問を２０分ってことは、５人のチームだと１人３問だ

から、１問に７分近くかけられる。同じ問題を２人で解く場合があるにせよ、

１問４分はあるだろう。「答」だけなら満点続出で、選抜試験として機能しな

い気もするけど、記述式ではないようだ。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では１番の基礎解析から。３次曲線の傾き５の接線だから、ｙ´＝５から接

点の ｘ 座標を出せばおしまい。１～２分くらいかな。

２番は空間ベクトルの成分表示。垂線ＡＨのベクトルを求めるのだから、垂

線の足Ｈが線分ＢＣを ｔ ： １－ｔ に内分すると考えれば、

　　（ベクトルＡＨ） ＝ （１－ｔ）（ベクトルＡＢ）＋ｔ （ベクトルＡＣ）

これとベクトルＢＣが垂直だから、内積ゼロとおいて、 ｔ を求めておしまい。

２分くらいか。

３番は対数の底（てい）と真数の関係。ａ、ｂ、ｘ、３つの未知数で、簡単な

等式が２つあるから、文字を２つ消せばいい。ａ と ｂ を ｘ で表せば、

「ｌｏｇ ａｂ x」の値はすぐに出る。１～２分くらいか。

４番は、３次方程式の解と係数の関係。そのままでも簡単だけど、実数解

が１つ、すぐに分かるから、２次方程式にしてもＯＫ。１～２分くらいか。

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では、いよいよ５番、英語の問題。

　　　Ａ　ｃａｒｄ　ｉｓ　ｄｒａｗｎ　ａｔ　ｒａｎｄｏｍ　ｆｒｏｍ　ａｎ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｅｃｋ

　　　ｏｆ　５２　ｃａｒｄｓ．　Ｔｈｉｓ　ｉｓ　ｄｏｎｅ　ｔｈｒｅｅ　ｔｉｍｅｓ．　Ｅａｃｈ　ｃａｒｄ

　　　ｉｓ　ｒｅｐｌａｃｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｅｃｋ　ｂｅｆｏｒｅ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｃａｒｄ　ｉｓ　

　　　ｄｒａｗｎ．　Ｗｈａｔ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈａｔ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｏｆ

　　　ｔｈｅ　ｃａｒｄｓ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ａ　ｓｐａｄｅ？

トランプをランダム（無作為、でたらめ）に１枚引いて元に戻す操作を３回く

り返す。少なくとも１枚がスペードである確率は？、という問題で、余事象の

確率でおしまい。つまり、３回ともスペード以外になる確率を求めて、１から

引けばいい。正確な英文解釈に神経を使うから、３～６分くらいか。

６番は応用問題で、この中だと一番面倒だろう。英文は次の通り。

　　　Ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｓｔａｔｅｍｅｎｔ．

　　　　　“　Ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ａｎｙ　Ｎ　ｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ　ｉｓ

　　　　　　ａｌｗａｙｓ　ｏｄｄ．”

　　　Ｔｈｉｓ　ｓｔａｔｅｍｅｎｔ　ｉｓ　ｔｒｕｅ　ｗｈｅｎ　Ｎ＝２．　Ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ

　　　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　Ｎ　ｆｏｒ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅｍｅｎｔ　ｉｓ　ｔｒｕｅ．

「連続するＮ個の整数の和が常に奇数となる」ような最小の自然数Ｎは２。

では、次に小さいＮは？、という意味で、Ｎ＝３，４，５の場合はすぐ反例が

見つかるから、６だと予想。証明などしなくても、「１＋２＋３＋４＋５＋６＝

２１」（先頭が奇数）と、「２＋３＋４＋５＋６＋７＝２７」（先頭が偶数）を計算

すれば十分だ。問題文が少し紛らわしいから、４～７分くらいか。

数学検定のイベントだから、ごく普通の問題が並んでるけど、野球の「甲子

園」準々決勝のレベルと比べてどうかというのは気になる所。もう少し問題

のレベルを上げるか時間を短縮すべきだと、少し前の数学大好き少年（笑）

は感じるのであった。。

Ｐ．Ｓ．　１００ヶ国・地域、５４８人参加の国際数学オリンピックは先日終了。

　　　　　日本は銀４、銅１、国別１７位。いずれ数学五輪の記事も書く予定。

Ｐ．Ｓ．２　９月１６日、数学甲子園２０１２の本戦終了。公式ＨＰの速報によ

　　　　　　ると、優勝は海陽学園・海陽中等教育学校・Ｄチーム。

　　　　　　少人数（１学年１２０人、１クラス３０人）、全寮制の中高一貫校で、

　　　　　　０６年４月開校。１年間で、学費などが約１２０万円、寮費１２０万

　　　　　　円、食費その他５０万円、計３００万円弱の教育費がかかる。他

　　　　　　に、入学時に入学金４０万円、入寮費２０万円。特別給費制度や

　　　　　　奨学制度はあるものの、富裕層向けエリート校だ。

Ｐ．Ｓ．３　９月１９日、予選の問題が公開されたので、記事を追加した。　　　　　　　

　　　　　　　数学甲子園２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

Ｐ．Ｓ．４　翌年（２０１３年）の予選問題の記事を追加。

　　　　　　　数学甲子園２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

Ｐ．Ｓ．５　２０１４年の記事も追加。

　　四角形の外接円の半径の求め方～数学甲子園２０１４予選問題１３解説

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最後に、昨夜の走りについて簡単に。前日、ようやくリハビリ・ジョグを７ｋｍ

こなしたばかりだから、捻挫してる左足首が恐かったけど、何とかごまかす

ことに成功。ただ、前半は左脚の膝下全体が痛くてギクシャクしたし、蒸し

暑さも強烈だった。前日より気温は１～２度低かったけど、湿度が高くてムッ

としてたのだ。軽く一雨、降った後だったし。

トータルでは１ｋｍ５分３１秒ペース。ま、これでも思ったよりは速いね (^^ゞ

ただ、身体が冷えた後、左脚の膝下がかなり痛んでるから、今夜は無理か

も。リハビリの調整は難しいのだ。それにしても暑いね。ではまた。。☆彡

　往路（２．４５ｋｍ）　　 １４分１１秒　　心拍１３５　　

　 １周（２．１４ｋｍ）　　 １２分２３秒　　　　　１４５　　　

　 ２周　　　　　　　　　　 １１分５１秒　　　　 １５２　　　　　　　　　　　

　 ３周（０．８２ｋｍ）　　 　４分２９秒　　　 　１５６　　　　　　

　復路　　　　　　　　 　  １２分１５秒　　　　１５８　　　

計　１０ｋｍ　　５５分０９秒　心拍平均１４８　最大１６７ （ゴール時）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２５４７文字）