有界閉集合・触点・閉包の定義、証明、閉区間との関係

しばらく前から、解析学における「点列コンパクト」や「コンパクト」という概念

について記事を書こうとしてるが、どうもしっくり来ない。特にコンパクトの方

は、トポロジー（位相幾何学）の分野で、３年半前から先延ばしにしてる「ポ

アンカレ予想」とも関連する概念なのだが、なぜこうした分かりにくい概念を

解析の最初の辺りで提示するのか、理由がいま一つ納得できないのだ（杉

浦光夫『解析入門Ⅰ』、東京大学出版会）。

１次元、２次元、３次元など、実数をいくつか組み合わせた普通の点の集合

（Ｒⁿ の部分集合）においてなら、「点列コンパクト」と「コンパクト」は、「有界

閉集合」という概念と同じだし、こちらは高校以来お馴染みの簡単な「閉区

間」ともわりと近い概念と言えよう。だから、とりあえず今回は、有界閉集合

で記事を書いておこう。

ちなみに、３つの概念はいずれも最大値・最小値と深く関わる概念だが、

『現代数学小辞典』（講談社）でも『微積分ハンドブック』（聖文社）でも、遥

かに簡単な閉区間という言葉で基本定理を書いてるのだ。『小辞典』から

引用するなら、次の通り。

　　　　「閉区間 [ａ，ｂ] で定義された実数値関数 ｆ（ｘ）は [ａ，ｂ]のある点

　　　　　ｐで最大値 ｆ（ｐ）をとり、ある点ｑで最小値 ｆ（ｑ）をとる。」

　　　　　　　　　　（ｐ．１９８。原文はｐ、ｑでなく、ξ（クシー）とη（エータ） ）

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ではまず、高校数学の教科書を見てみよう。使うのは、平成７年度（９５年）

用の『高等学校　標準　数学Ⅱ』（啓林館）。来年（平成２５年＝２０１３年）の

高校２年生から実質的に数Ⅱ・新過程の開始だが、数Ⅱの変更は僅かだ

から、以下の点については変わらないと思う。

ともあれ、上の教科書「第４章　微分法」の「３節　関数の値の増加・減少」で

は、最後に ｘ の範囲について、次のように簡単に書かれてる（ｐ．１２０）。

　　　「・・・ ｘ の値の範囲を、区間と言う。

　　　０ ＜ ｘ ＜ ６ のような区間を開区間といい、（０，６） で表す。

　　　０ ≦ ｘ ≦ ６ のような区間を閉区間といい、[０，６] で表す。

　　　また、ｘ ＜ ２ や ｘ ≧ ３ のような ｘ の値の範囲も区間と考える。」

端点（区間の両端）をいずれも含む閉区間（ｃｌｏｓｅｄ　ｉｎｔｅｒｖａｌ）の場合、２

次関数、３次関数など、連続な関数には必ず最大値・最小値が存在する。

こうした話は、学問的にはできるだけ一般的に証明すべき事だが、高校で

は求め方だけ学ぶし、現在の大学でも求め方が重視されてるだろう。今回

のこの記事でも、証明は行わない。

なお、現在の数Ⅱの参考書を見ると、区間のみ、区間＆閉区間のみ、区間

＆閉区間＆開区間すべてと、本によって用語説明に差があった。閉区間と

いう言葉を使わない場合は、「区間の端っこの点が入る場合は、その点で

の関数の値を求めておく」、などと説明するのだろう。。

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一方、ハイレベルな『解析入門Ⅰ』の説明を読むと（ｐ．２０）、上の区間は

新たな定義によって次のように言い換えられることになる。

　　　０ ＜ ｘ ＜ ６　　有界開区間

　　　０ ≦ ｘ ≦ ６　　有界閉区間

　　　ｘ ＜ ２　　　　　無限開区間

　　　ｘ ≧ ３　　　　　無限閉区間

ここで「有界」（ｂｏｕｎｄｅｄ）とは、漢字に着目して説明するなら、「ある特定

の値（有限確定値）による限界が有る」という意味を表してる。実数値連続

関数の最大値・最小値が共に「必ず存在」するのは、０ ≦ ｘ ≦ ６ のような

有界閉区間である（そうでなくても最大・最小が存在することもある）。

ここまでは１次元（単なる実数）の範囲の話だが、２次元の有界閉区間な

ら、例えば ｛ （ｘ，ｙ）｜０ ≦ ｘ ≦ １， ２ ≦ ｙ ≦ ３ ｝であって、ｘ ｙ 平面に

描くと、軸と平行な辺からなる長方形になる。３次元以上、一般に ｎ 次元

数空間 Ｒⁿ の場合も、全く同様だ。

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しかし最大値・最小値を求める問題は、高校数学でさえ、有界閉区間でな

い様々な範囲を考えてる。例えば、単位円 ｘ²＋ｙ² ＝ １ 上の点に対して、

２変数実数値関数ｘ＋ｙ の最大・最小を求める問題は教科書レベルであっ

て、それぞれ √２ と －√２ となる。あるいは、折れ線や曲線で囲まれた

「領域」内の点（ｘ，ｙ）に対して、最大・最小を考えるのも基本的な問題だ。

それらの範囲は、有界閉区間そのものではないが、範囲の「端」を除いて

ないという意味では、少し似た感じもある。その共通性を一般的かつ正確

に表現した概念が、有界閉集合（ｃｌｏｓｅｄ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｓｅｔ）なのだ。

これを定義するには、まず「開球」（ｏｐｅｎ　ｂａｌｌ）から始める必要がある。文

字通り、「端が開いた球」（表面を含まない）という意味で、球とは３次元を

イメージしがちな言葉だが、２次元の球なら境界の円を含まない円盤（内側

のみ）で、例えば ｘ²＋ｙ² ＜ １ など。１次元なら両端を含まない線分で、例え

ば －２ ＜ ｘ ＜ ４などだ。一般に、点 ａ を中心とする半径 ｒ の開球は次の

ように書ける。

　　　Ｕ（ａ，ｒ）＝｛ ｘ ∊ Ｒⁿ ｜ | ｘ－ａ | ＜ ｒ ｝

ちなみに、開区間 －２ ＜ ｘ ＜ ４ も開球の１つであって、上の形で書くなら、

　　　　Ｕ（１，３）＝｛ ｘ ∊ Ｒ ｜ ｜ｘ－１｜＜３ ｝

また、特に半径がε（非常に小さい正の数のイメージ）の場合、中心 ａ の

開球は、「ａ のε近傍」とも呼ばれる。

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ではいよいよ、「有界閉集合」の定義に向かおう。まずは、「閉集合」から。

Ｒⁿ の部分集合Ａに対して、自らを中心とする任意の開球（またはε近傍）

がＡと交わるような Ｒⁿ の点 を、Ａの「触点」（＝接触点）と言う。要するに、

Ａと接触するくらい近い点という意味だ。英語は ａｄｈｅｒｅｎｔ　ｐｏｉｎｔ （直訳

するなら、付着点）。

そして、Ａの触点全体の集合を、Ａの閉包（ｃｌｏｓｕｒｅ）と呼ぶ。記号は、Ａ

の上側に横棒（バー）を付けたものだが、システムの制約上、ここではそ

のまま「Ａの閉包」と書くことにする。

例えば、元の集合が１次元の開区間 ０ ＜ ｘ ＜ １ の場合、この区間内の

　点が触点なのは

　「明らかな感じが

　する」し、ギリギ

　リ区間から外れ

た端点ｘ＝０ と ｘ＝１ が触点なのも、同様だろう。逆に、ｘ＝－１ だと、半

径０．５の開球を考えた時、元の区間と交わらないから、触点ではない。し

たがって、この場合の触点全体の集合、つまり閉包は、０ ≦ ｘ ≦ １ であっ

て、元の集合（開区間）より僅かに広がってる（端点ｘ＝０、ｘ＝１の分だけ）。

それに対して、元の集合が閉区間 ０ ≦ ｘ ≦ １ なら、上と同様の議論で

閉包はやはり ０ ≦ ｘ ≦ １ だから、「元の集合とその閉包とが一致」する。

これが、閉集合の定義である。と言っても、『小辞典』では少し違う定義な

のだが、ここでは『解析入門Ⅰ』に従っておこう。論者や本、あるいは文脈

によって、同じ言葉の定義が異なるのは、数学でさえ珍しくないことだ。

一方、有界の簡単な定義は、原点中心で、ある有限の半径をもつ開球に

含まれること。例えば、閉区間 ０ ≦ ｘ ≦ １ なら、開球Ｕ（０，２）に含まれ

るから有界。また、端を除く円盤 （ｘ－３）²＋（ｙ－４）² ＜ ２５ なら、開球

Ｕ（０，１１）に含まれるから有界となる。

そしてもちろん、有界な閉集合が、有界閉集合である。結局、有界閉区間

はすべて有界閉集合だし、範囲の「端」を除いてない図形（円、球面、多角

形の面と内部、立体の側面と内部など）はすべて有界閉集合となる。実際

それらは、領域内の点に対する最大値・最小値を求める問題で使われて

るわけだ。。

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最後に、簡単な２次元の例（有界閉区間）について、有界閉集合であるこ

との証明を示しておこう。『解析入門Ⅰ』の場合、具体例の証明は（いくら

か）省略されてることが多いし、そもそも「点列コンパクト」という一応別の

概念を用いて説明してることが多い。それに対してここでは、有界閉集合

の定義にしたがって証明してみる。

　　☆２次元数空間 Ｒ² の集合Ａ＝｛（ｘ，ｙ） ｜０ ≦ ｘ ≦ １，２ ≦ ｙ ≦ ３ ｝

　　　が有界閉集合であることの証明

　　　まず、有界であることを示す。Ａにおける ｘ²＋ｙ² の最大値は１０である

　　　（ｘ＝１，ｙ＝３）。よって集合 Ａ は、開球Ｕ（０，４）、つまり ｘ²＋ｙ² ＜ １６

　　　に含まれる。したがってＡは有界である。

　　次に、閉集合であることを示

　　す。そのためには、Ａの閉包

　　を求めて、それがＡと一致す

　　ることを示せばよい。

　　Ａに含まれる点を中心とする

　　任意の開球は、その中心を

　　当然含むから、Ａと交わることに

　　なる。つまり、Ａの内部の点はＡ

　　の触点である。

　　　一方、Ａに含まれない点 ｂ の座標を（ｐ，ｑ）とすると、ｐ＜０ または ｐ＞１

　　　または ｑ＜２ または ｑ＞３ が成り立つ。いま仮に、ｐ＜０としてみよう。

　　　点 ｂ 中心、半径－ｑ／２の開球Ｕ（ｂ，－ｑ／２）を表す式は

　　　　　　（ｘ－ｐ）²＋（ｙ－ｑ）² ＜ ｑ²／４

　　　変形すると　ｐ－√｛（ｑ²／４）－（ｙ－ｑ）²｝＜ｘ＜ｐ＋√｛（ｑ²／４）－（ｙ－ｑ）²｝

　　　ここで、√（ルート）の値は、ｙ＝ｑの時に最大値－ｑ／２を取る。

　　　よって、開球の点について、ｘ＜ｐ＋（－ｑ／２）　　∴ ｘ ＜ ｑ／２

      仮定より ｑ＜０ だから、ｘ＜０。それゆえ、この開球は、０ ≦ ｘ ≦ 1 を

　　　みたす集合Ａとは交わらない。したがって、点 ｂ はＡの触点ではない。

　　　ｐ＞１、ｑ＜２、ｑ＞３の場合も同様に、Ａの触点ではない。結局、Ａに

　　　含まれない点は、Ａの触点ではない。

　　　よって、Ａの触点はＡに含まれる点全体のみだから、Ａの閉包はＡと

　　　一致する。したがって、Ａは閉集合である。　

　　　以上より、Ａは有界な閉集合だから、有界閉集合である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

ちなみにイメージ的には、閉じてるなら限界があるだろう、ということで、

「閉集合なら有界」のような気がしてしまう。もしそうなら、わざわざ「有界

閉集合」と言う必要もないだろう。しかしそれは、誤りである。というのも、

Ｒⁿ 全体も閉集合だが、有界ではないからだ。したがって、「有界閉集合」

を省略して「閉集合」と言うわけにはいかない。少なくとも、定義を変更し

ない限りは。

なお、次回は「開」集合（ｏｐｅｎ　ｓｅｔ）か点列コンパクト（ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌｌｙ

ｃｏｍｐａｃｔ）か、どちらかを扱いたいと思ってる。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

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