数学甲子園２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

（☆１５年９月１９日の追記：　関連する最新記事をアップ。

　　　　　　　数学甲子園２０１５、全２０問の問題、解き方、感想　）

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ＲＵＮ １６ｋｍ，１時間１７分３２秒，平均心拍１４９

ここ１週間ほど、頭の中が数学モードになっちゃってるね (^^ゞ　キッカケは

たまたま知ったサッカー場の広告の面白話だけど、その記事の続編みた

いなものをすぐに準備。記事としてアップしようと思ってたら、超難問「ＡＢＣ

予想」が証明されたかも・・というニュースが飛び込んで来た。

早速あわてて、そちらを勉強♪　ちょっと分かった気になれたから、そちら

を先に記事にしようと思ったら、数学甲子園２０１２の予選問題が今日（９月

１９日）、公開されてたから、つい釣られてしまったのだ。何のこっちゃ！

時間と字数制限と、記事の需要を考えて、今日はこの予選問題について少

しだけ書いとこう。私が一番気になるのは、公式ＨＰの告知にも問題にも、

各予選会場の名前が入ってないこと。ひょっとして全国共通の問題を使って

るのかね？　それはヤバイでしょ。

札幌は８月１８日、名古屋は８月２６日。秒単位でデジタル情報が個人的

にやり取りされる時代に、８日間もの時間差があるんじゃ、名古屋は満点

だらけで差がつかなくても不思議じゃない。当然、別々の問題を使うか、

逆に予選の日程を同じ日時に揃えるか、すべきだと思うけどね。。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、問題内容は、元々公開されてたサンプル問題と似たような基本～

標準レベルだけど、少し難しくしてるような気もする。と言っても、２０問で

６０分なら、数学大好き少年＆少女にとってはかなり楽勝のはず。勝敗

の分かれ目は、最後の２０番じゃないかな。たまたま、今話題の「ＡＢＣ予

想」と同じく整数問題で、素数や素因数分解が重要な役割を果たす。

まずはその「問題２０」を引用させて頂こう。他の問題を軽くこなせば、残

り時間５～６分はあるはずだ。

　　　ｎを正の整数とし、次のような分数を考えます。

　　　ｎ／１，　（ｎ＋１）／２　，（ｎ＋２）／３，　（ｎ＋３）／４，　（ｎ＋４）／５，・・・・

　　　上の分数のうち、整数になるものの個数がちょうど３個であるような

　　　ｎはどのような数か答えなさい。

問いが「求めなさい」の形になってないから、おそらく多数存在して、ちょっ

と変わった特徴を持ってる数なんだろうな、という事はすぐ想像できるだろ

う。一般的な常套手段としては、まずｎ＝１，２，３辺りで試しに分数を作っ

て調べる所だと思う。すると、話に馴染むことは出来るけど、整数になる分

数の個数が３個にならないし、解答のカギも見つからない。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

そこで方針を変更。真面目に数式を立てて、理論的考察を開始する所だ。

分数を、｛ ｎ＋（ｍ－１）｝／ｍ （ｍも正の整数）と表し、その値を ｋ とすると、

　　　　　｛ ｎ＋（ｍ－１）｝／ｍ ＝ ｋ

　　　∴　ｎ＋（ｍ－１） ＝ ｍｋ

　　　∴　ｎ－１ ＝ ｍ（ｋ－１）　・・・・・・　①

この式をみたすような正の整数の組（ｍ，ｋ）が、ちょうど３個存在するよう

なｎを求めればよい。①式は、０以上の整数 ｎ－１ を、ｍとｋ－１の掛け算

の形に分解しているから、ｍはｎ－１の正の約数。

よって、ｎ－１の正の約数がちょうど３個存在すればいい。例えば、ｎ＝５

の場合、ｎ－１＝４で、正の約数は１，２，４の３個。つまり、

　　　ｎ－１＝１×４，　２×２，　４×１

この式を①と見比べれば、

　　（ｍ，ｋ）＝（１，５），（２，３），（４，２）　

で、ちょうど３組となる。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

さて、ある整数に対して、正の約数の個数を求めるのは、よくある標準問題

だ。０に対しては、正の整数すべてが約数だから無限個になるし、１に対し

ては１のみだから、１個。そして、２以上の整数に対しては、元の数を素因

数分解すればいい。

たとえば、１２の正の約数の個数なら、１２ ＝ ２² × ３¹ と素因数分解すれ

ば、右辺の右肩の数２と１を用いて、

　　　　　（正の約数の個数）＝（２＋１）×（１＋１）＝６個

というのも、正の約数は（２のｘ乗）×（３のｙ乗）の形であって、ｘは０、１、２

の３通り（＝２＋１通り）、ｙは０、１の２通り（＝１＋１通り）だからだ。正の

約数は、（２＋１）×（１＋１）通り出来ることになる。具体的に並べるなら、

１、２、３、４、６、１２。確かに６個だ。。　　　　　

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

話を本題に戻すと、正の約数がちょうど３個になるのは、０や１では直ちに

ダメと分かるから、元の数の素因数分解が　（素数）²　の形になってる時だ

けとなる。これなら正の約数の個数は２＋１＝３個だ。

例えば４（＝２²） は前に挙げた例（ｎ＝５）だし、９（＝３²） は正の約数が１、

３、９の３個。したがって、ｎ－１＝（素数）²。つまり、ｎ＝（素数）²＋１。これ

が答となる。　

答だけ出せばいい問題とはいえ、ｎ、ｍ、ｋ、３つの整数が頭の中でモヤモ

ヤして焦った参加者が多かっただろう。大学入試の記述問題にも使えそう

な、手頃でいい問題だと思う。ちなみに正解は発表されてないので、もし間

違ってたら悪しからず。。（笑）

ｃｆ．　数学甲子園２０１２・サンプル問題の解き方＆リハビリジョグ２

　　　数学甲子園２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

　　　四角形の外接円の半径の求め方～数学甲子園２０１４予選問題１３解説

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

あぁ、意外に手間ヒマかかったから、後はランニングについて、ちょっとだ

け。ブログとか数学にハマり出すと、どうしても走る時間が無くなるし、気分

的にもパソコンやノートにずっと向かいたくなってしまう。まあでも、雨で２日

間休んじゃった後だから、グッと我慢して公園へ。昼間は涼しかったのに、

夜は相変わらずの熱帯夜で、気温２６度もあった。湿度も９０％以上。

このコンディションだと、５分も走らない内に「蒸し暑いなぁ・・」と思い始め

て、後は心拍計のタイムを見ながらガマン大会。本当は１ｋｍ５分ペース

で１８ｋｍ走りたかったけど、あまりに不快だから、１６ｋｍパパッと走って

終わりにした。距離を減らすのは珍しいけど、正解だったと思う。体質的に

日本の蒸し暑い夏は無理があるのだ。先天的な素質、ＤＮＡの問題だ♪

心拍はそれほど上がらなかったけど、呼吸は最初からハーハーだし、汗

もダラダラ。９月後半の夜遅くなのに。。それでも頑張って、トータルでは

１ｋｍ４分５１秒。４日前の１６ｋｍより、８秒速いペース♪　と言っても、ま

だまだ論外のペースだわな。前途多難。。

明日がまた厳しい残暑って話だけど、軽いジョギングくらい、やっとこう。

では、今夜はこの辺で。。☆彡

　往路（２．４５ｋｍ）　　 １２分５１秒　　　　　１２９　　

　 １周（２．１４ｋｍ）　　 １０分４８秒　　　　　１４２　　　

　 ２周　　　　　　　　　 　１０分１２秒　　　　 １５１　　　　　　　　　　　

　 ３周　　　　　　　　　　 １０分１１秒　　　　 １５４　　　　　　

　 ４周　　　　　　　　　　 １０分０６秒　　　　 １５７

　 ５周　　　　　　　　　　 １０分１５秒 　　　　１５９

　 ６周（０．４ｋｍ）　　　 　１分５６秒　　　　 １５７　　　　　　　　　　

　復路　　　　　　　　　 　１１分１３秒　　　　 １５７　　　

計　１６ｋｍ　１時間１７分３２秒　心拍平均１４９　最大１６８（ゴール前）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２７５１文字）