ノーベル経済学賞に輝いた婚活（マッチング）理論～ＯＲ４

今日はまた、全然違う話を少し書いて終わりのつもりだったのに、ネットで

ノーベル経済学賞関連のニュースを見た途端、マニアック魂がムラムラし

てしまった♪　予定変更で、軽く手を付けてみよう。先日記事にした、数学

のＡＢＣ予想ほど高級な話ではないけど、非常に実用的で身近な話だし、

本気で考えると相当ハイレベルな話にもなるはずだ。

１０月１５日、スウェーデン王立科学アカデミーが授賞したのは、アルビン・

ロス（Ａｌｖｉｎ　Ｒｏｔｈ）教授とロイド・シャプリー（Ｌｌｏｙｄ　Ｓｈａｐｌｅｙ）教授の２人。

彼らは、安定的な（ｓｔａｂｌｅ）割り当てが得られるマッチング理論（Ｍａｔｃｈｉｎｇ

　ｔｈｅｏｒｙ）を研究。既に、臓器移植での提供者と患者の組合せや、医学実

習生と研修先病院の組合せ、公立学校の選択制度などで実用化。分かり

やすい具体例が、複数の男女が結婚相手を選ぶ婚活理論、あるいはプロ

ポーズ理論らしい。

要するに、「ゲーム理論」の一種で、より広く言うならＯＲ（オペレーション・リ

サーチ）だろう。与えられたシステム（計算可能な単純化された状況）で、最

適なものを導くための研究だ。当サイトには、既に３本のＯＲ記事がある。

特に２本目と３本目は、この記事と似た感じのタイトルだ（実際はかなり違う）。

ｃｆ．　ＯＲ（オペレーションズ・リサーチ）～理系の鳩山新首相の専攻

　　　お見合いでベストの相手にプロポーズする方法♪

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鳩山新首相の専攻「ＯＲ」２

　　　１０人とのお見合いで最高の相手にプロポーズする方法♪～鳩山の「ＯＲ」３

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ノーベル賞の公式ＨＰを見ると、わざわざｐｄｆファイルまで付けてくれてるの

で、早速ダウンロードして速読。すごく簡単な英語だから、美味しい所だけ

はすぐ理解できた。１０人ずつの男女が、「安定的」マッチング（＝組合せ，

カップリング）に至るにはどうすればいいか。

ここで「安定性」（ｓｔａｂｉｌｉｔｙ）とは、誰も現在の状況を壊して別のマッチング

を臨んだりしない状況を指す。例えば、愛し合う夫婦が２組、計４人集まっ

たとしても、安定的だろう（人間的現実は別として、単なる理論的には♪）。

一方、「夫婦１」の夫と「夫婦２」の妻が愛し合い、「夫婦１」の妻が「夫婦２」の

夫と愛し合っていれば、離婚して再婚を目指すことになる。つまり安定して

ない、あるいは不安定なのだ。ＯＲとしては普通、安定性を目指す。

安定的なマッチングを得るには、「ｄｅｆｅｒｒｅｄ　ａｃｃｅｐｔａｎｃｅ」と呼ばれるシ

ステムを用いる。通信社ＡＦＰはこれを「受入保留」と訳してるが、内容的に

は、「ずっと保留・延期し続けた後の受け入れ」ということだ。

日本語で近いのは、「キープ理論」だと思う。ベストかどうか分からないけど、

とりあえず今の彼 ｏｒ 彼女をキープしとこうって考えは、今時珍しくないだろ

う。で、もっといい相手がやって来ればすぐ乗り換える♪　この尻軽な戦略こ

そ、実は安定的マッチングに到達できるらしいのだ（あくまで机上の理論とし

て）。ちなみに、この乗り換え＝パートナー・チェンジは、「３人 ｖｓ ３人」以上

の場合でないと生じない。つまり、「２人 ｖｓ ２人」ではあり得ないのだ。

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具体的には、日本の慣習に合わせて、仮に、男がプロポーズ役としよう（ｐｄｆ

ファイルでは女）。まず、それぞれの男が一番好きな女性にプロポーズする。

当然、魅力的な女性には複数のプロポーズが行われ、そうでない女性には

誰もプロポーズしない。プロポーズされた女性は、最も魅力的な男性を差し

当たりキープ（ｒｅｔａｉｎ＝保持）するが、プロポーズを受け入れた訳ではない。

第２回戦では、第１回戦で断られた男性が、第２候補にプロポーズする。こ

の時、既にキープ状態になってる女性も、まだ独身だから、第２候補に選ん

でいいらしい（ＡＦＰより）。ただし、既に以前、断られてしまった男は、再度プ

ロポーズしても負けるだけだから、別の女性にプロポーズするのだと思う。

既に男をキープしてる女性は、２回戦でもっと素敵な男がプロポーズしてく

れた場合は、さっさと乗り換える♪

これを繰り返して本当に必ず終わりが来るのか、証明は難しいはずだが、

何となくいずれ終了しそうな感じはある。つまり、当初は不人気だった女性

に男がプロポーズすることになるだろうし、そうすると競合相手が少ない（ま

たはいない）から、男がキープしてもらえる確率が高まるからだ。

最後は、もはやプロポーズする男がいなくなり、女がその時点まで「保持」し

てたキープ君を「受け入れ」て終了。この時、安定的な割り当て（ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ）

に必ずなるらしいのだ。。

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その略証（＝省略した証明）となる（？）ｐｄｆファイルも、また別に公式サイト

にあったが、難しそうなので差し当たりパス。ここでは、最も簡単な２人 ｖｓ

２人の場合で、具体的にチェックしてみよう。Ａ男とＢ男、Ｃ美とＤ美、計４人

で考える。

（１）　まず、Ａ男とＢ男の好みがいずれもＣ美、Ｄ美の順だと仮定しよう。

　　　　①　Ｃ美とＤ美の好みがいずれもＡ男、Ｂ男の順の時

　　　　　　　１回戦　Ａ男のプロポーズをＣ美がキープ、Ｂ男は拒否される。

　　　　　　　２回戦　Ｂ男のプロポーズをＤ美がキープ。

　　　　　　　Ｃ美とＤ美がプロポーズを受け入れて終了。

　　　　　　　このマッチングだと、Ａ男＆Ｃ美は大満足だが、Ｂ男＆Ｄ美は不

　　　　　　　満が残るカップルになる。ただ、Ａ男＆Ｃ美にはもう勝てないか

　　　　　　　ら、全体として安定するわけだ。

　　　　「②　Ｃ美がＡ男、Ｂ男の順で、Ｄ美がＢ男、Ａ男の順」の時も、同様に

　　　　　安定する（Ｂ男には不満が残る）。残り２つ（③④）の時も同様。よっ

　　　　　て（１）は常に安定する。

（２）　次に、Ａ男がＣ美、Ｄ美の順で、Ｂ男がＤ美、Ｃ美の順だと仮定しよう。

　　　　　①　Ｃ美がＢ男、Ａ男の順で、Ｄ美がＡ男、Ｂ男の順の時

　　　　　　　１回戦　Ａ男のプロポーズをＣ美がキープ、Ｂ男をＤ美がキープ。

　　　　　　　そのままＣ美とＤ美がプロポーズを受け入れて、直ちに終了。

　　　　　　　このマッチングだと、男２人は満足だけど、女２人には不満が残

　　　　　　　る。ただし、プロポーズは男だけだから、全体としてはもはや安

　　　　　　　定している。おそらく、そう考えるのだろう。

以下、（２）の②～④、更に（３）（４）と示せば、すべての場合の証明が完成。

結局、婚約解消や不倫を目指すような、「不安定な」マッチングは生じない

のだ。愛し合う２人が別の相手と結ばれてしまうな不運や、そこからの文字

通り「ドラマチックな」展開は、あり得ない。。

そもそも「不安定な」マッチングというのは、男２人の第１候補が別々なら

起きない。男２人とも１回戦で成功して終了だ。一方、男２人の第１候補が

一致してれば、その女の側の趣味でキープが行われる。よって、１回戦で

相思相愛カップルが出来るから、その後、その２人を切り崩すことなどでき

ず、残った２人でもう一つのカップルになるしかない。したがって、不満が残

りつつも安定するのであって、これが簡単で本質的な証明だろう。

ちなみに、男の側からプロポーズした場合は男がより満足な結果となり、女

の側からプロポーズした場合は女がより満足な結果となる。プロポーズする

側が有利だから、「平等性」の問題が残るとＡＦＰは書いてた。全体の満足度

の数値化や証明はともかく、上の例でもそんな感じにそうなってるし、プロ

ポーズは自分の好みで行うのだから、不平等かどうかはともかく、自然な結

果だろう。。

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一方、３人 ｖｓ ３人だと一気に変化が複雑になるので、全部は確認できない

が、面白い場合を１つだけ考えてみよう。Ａ男、Ｂ男、Ｃ男と、Ｄ美、Ｅ美、Ｆ

美、計６人とする。Ａ男の好みはＤ・Ｅ・Ｆの順。Ｂ男とＣ男の好みは、Ｅ・Ｄ・

Ｆの順。一方、Ｄ美の好みはＣ・Ｂ・Ａの順。Ｅ美とＦ美の好みはＡ・Ｂ・Ｃの順。

　　　１回戦　　Ａ男をＤ美がキープ。Ｂ男をＥ美がキープ。

　　　　　　　　　Ｃ男はＥ美に拒否される。

　　　２回戦　　Ｃ男がＤ美にプロポーズして新たにキープされ、Ａ男が拒否

　　　　　　　　　される（＝捨てられる）。

　　　３回戦　　Ａ男がＥ美にプロポーズしてキープされ、Ｂ男が拒否される。

　　　４回戦　　Ｂ男がＤ美にプロポーズして、拒否される。

　　　５回戦　　Ｂ男がＦ美にプロポーズして、キープされる。

　　　これにて終了。３人の女性はプロポーズを受け入れる。

結局、Ａ男＆Ｅ美、Ｃ男＆Ｄ美、Ｂ男＆Ｆ美の３ペアとなる。男３人がいずれ

も不満を残す結果だが、今のペアを壊して新たにチャレンジしても勝てない。

例えば、Ｃ男がＥ美を狙っても、Ｅ美の好みはＡ・Ｂ・Ｃの順だから、現在の

Ｅ美の相手であるＡ男には勝てないのだ。他も同様で、全体として安定する。　

以下はとりあえず、省略としよう。

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なお、ノーベル賞公式ＨＰのｐｄｆファイルには、「医者３人 ｖｓ 病院３つ」の

場合の図があった。

白の実線が医者の第一候補（ｆｉｒｓｔ　ｃｈｏｉｃｅ）、白の点線が医者の第二候補

　　（ｓｅｃｏｎｄ　

　　ｃｈｏｉｃｅ）。

　　黒は病院側だ。医

　　師の側からプロポ

　　ーズした場合（左

　　上）と、病院の側

　　からプロポーズし

　　た場合（左）とで、結

果は全く異なってる。

医者からのプロポーズの場合の展開のみ、簡単に書いておこう。

　　　１回戦　　３人の医者が第一候補の病院ａに集中。

　　　　　　　　　病院ａは、第一候補の医者１をキープする。

　　　２回戦　　医者２が第二候補の病院ｂに、医者３が第二候補の病院ｃに

　　　　　　　　　プロポーズして、それぞれキープされる。

　　　病院側が全員のプロポーズを受け入れて、終了。

医者の側は、医者１が大満足で、医者２と３が中くらいの満足。病院の側は、

病院ａが大満足で、病院２と３は不満。確かに、プロポーズした医者の側の

方に有利な結果となってる。病院２と３は不満だが我慢するしかないので、

システム全体としては安定的となるのだ。

いずれ時間を作って、ハイレベルな数学的証明にもチャレンジしてみたい

と思ってる。上に示したようなシラミつぶし的方法では、時間がいくらあって

も、一般的証明は無理だろう。それでは、また明日。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　１０月２９日の朝日新聞・朝刊に、「ノーベル経済学賞『マーケット

　　　　　デザイン』って何？　安田洋祐助教授に聞く」と題する記事が掲

　　　　　載された。深みも具体性も乏しい簡単な内容だったが、「１０年前

　　　　　ならマーケットデザインを専門と言う学者はいなかったはず」との

　　　　　こと。理論の源流は古くても、発展・応用が進んだのはごく最近の

　　　　　ようだ。ちなみに私と同じく、「キープ」という言葉を使ってた。

Ｐ．Ｓ．２　１３年２月５日の夜、ＮＨＫ・Ｅテレの『オイコノミア』（経済学＝エ

　　　　　　コノミクスの語源らしい）で紹介されたらしい。私は見てないけど、

　　　　　　続々と検索アクセスが入って来たから、ツイッター検索で調べる

　　　　　　と、つぶやきがズラッと並んでた。単なる恋愛や合コンだと、ノリ

　　　　　　が軽いから、現実はそれほど理論が上手くいかないと思う。ち

　　　　　　なみに番組と関係なく（？）最近この記事のアクセスが増えてる。

Ｐ．Ｓ．３　１３年２月９日深夜（１０日の０時過ぎ）からの『オイコノミア』でも、

　　　　　　バレンタインデー編として扱われたようだ。「ゲール・シャプレー

　　　　　　メカニズム」とカッコ良く名付けたらしい。。

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