Ｌｕｈｎアルゴリズム＆ウェーバー・フェヒナーの法則～美青年のラジオ

（以下、前のキムタク記事の続き）

一方、美青年のラジオ番組、『Ｃｒｏｓｓ　Ｓｐａｃｅ（クロス・スペース）』。最近の

ウチは、なぜか美青年ファンのアクセスが減ってるんだけど（笑）、「数学」っ

ていうクロステーマには直ちに食いついた。

私は半ば理数系の人間だし、特に数学は大好き♪　マニアックな記事もか

なり書いてて、アクセスも意外なほど多いのだ。間違いなく、大人の（男性の）

間で、数学は静かなブームが続いてると思う。まさに、美青年も言ってたよう

に、（男の）ロマンがあるのだ。もちろん、脳トレにも最適。

美青年も、お釣りや割り勘の計算に使ってるとのこと（笑）　そりゃ、「算数」

だろ！・・って突っ込みを誘う、上手いボケだったんだけど、リスナーの女性

は分かったかな♪

まず登場した話は、ウチで先日コネタに使った、数学の問題を見ると脳に

痛みが生じるっていう研究成果♪　あの話のポイントは、「見る」のが苦痛

であって、問題を解くのはそうでもない、という事だったんだけど、残念なが

ら放送作家はそこまで理解してないんだろう。理解してたら当然、「数学嫌い

な人でも、やり始めた後はわりとフツーみたい」って話を入れるはずだから。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

次のコネタは、私も初耳で、ちょっと面白かった。打ちとけた者同士がまっ

たり飲む時とか、ネタに使えるかも知れないね。ただし、相手や状況を選ば

ないと、ハズす恐れもあるから、男性は特にご注意あれ♪　女性から男性

にする場合は、ハズす恐れはない。というのも、たとえ男の側が興味なかっ

たとしても、少なくとも興味あるフリくらいはするはずだから（笑）。

クレジットカードの番号に隠された数学って話で、美青年は「アルゴリズム」

とだけ呼んでたけど、これは単に「論理的な手続きの流れや仕組み」を指

す言葉だから、物足りない。そう思って、聴きながら早速ググると、ネットの

百科事典・ウィキペディアには、「Ｌｕｈｎ（ルーン）アルゴリズム」と書いてある。

ルーンとは、開発したＩＢＭの科学者の名前。正しい（誰かが使ってる）番号

かどうかを瞬時に判断するための計算手続きや番号付けの方式で、クレジッ

ト以外でも使われてるそうだ。より正確に言うと、間違った番号の大部分を

識別できる仕組みで、完全なシステムではない。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

美青年が出した正しい番号の例は、３４９１。もちろん、本当のクレジット番

号はもっと長いけど、ラジオ用に４ケタにしたわけ。

まず右から、つまり１ケタ目から偶数番目の数字を２倍する。すると、２ケタ

目の９は１８になり、４ケタ目の３は６になる。２ケタになった場合は、１ケタ

の数字２つと考える。つまり、１８は「じゅうはち」ではなく、１と８だと考える。

で、残った奇数番目の数字（１ケタ目の１と、３ケタ目の４）と共に、足し算

するわけ。すると、

　　　　（１＋８）＋６＋１＋４ ＝ ２０

計算結果が１０の倍数だから、この数字は正しいと判断される。もちろん、

単なる数字のチェックであって、その人がこの数字の登録者本人かどうか

のチェックには全くなってないので、念のため。

一方、ダメな番号の例として出したのは、３４８１。これだと、８の２倍が１６、

３の２倍が６だから、

　　　　（１＋６）＋６＋１＋４ ＝ １８

１０で割り切れないから、３４８１は間違った番号って結論になる。

試しに、私がメインで使ってるクレジット番号で計算してみたら、確かに１０

で割り切れた。本物だったのか！・・・って、コラコラ♪　皆さんも、お試しあ

れ。上手く行ったからと言って、うっかりツイッターとかに番号を書き込まな

いように。ウチのコメント欄ならＯＫ（笑）。オイオイ！

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　

続いて、サイエンス・ナビゲーター・桜井進との電話だったかな。以前と違っ

て、実際に会話してた気もする。「おならは半分でも臭い」っていう事とか、

数学的に（？）話してた。あれは余りにも説明が不十分だったから、ここで

補足的な解説をしとこう。ウェーバー・フェヒナーの法則だ。ウェーバー（ド

イツ語読みだとヴェーバー）とフェヒナーは、１９世紀に活躍した心理学者

で、「精神物理学」なんていう古めかしい言い方もある。

数学的・認知科学的にきっちりやろうと思ったら、面倒な話になるから、こ

こでは結果の式をいきなり使うことにしよう。確か、ラジオもそうなってたは

ずだ。右辺の定数倍（＝比例定数）は重要じゃないから、省略して単純に

しとく。

　　　　感じる臭さ ＝ ｌｏｇ （オナラの濃度 ÷ 匂いが無くなる濃度）

説明すると、「ｌｏｇ」とは対数を表す記号で、英単語「ｌｏｇａｒｉｔｈｍ」の最初の

３文字だ。ここでは常用対数と言って、１０を何乗したらその数になるかを

表してる。たとえば、

　　　　ｌｏｇ １００ ＝ （１０を何乗したら１００になるか）＝２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０の２乗＝１０×１０＝１００だから）

　　　　ｌｏｇ １０００ ＝ （１０を何乗したら１０００になるか）＝３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０の３乗＝１０×１０×１０＝１０００だから）

一方、オナラの濃度とは、一定量の空気の中にある、匂いの成分の量。お

ならが大きいかどうかとは、別問題だ。「匂いが無くなる濃度」というのは、

実験的に求めるもので、かなり低いらしい。つまり、おならは相当薄めない

と匂うようで、ネットでは１０００分の１という話がたとえとして載ってた。ここ

では１００分の１にしてみよう。別に１０００分の１でも、１０分の１でも、似た

ような話の流れになる。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて今、あるオナラの濃度は３００、匂わなくなる濃度は３（つまり１００分の１）

とする。この時、オナラの濃度が半分の１５０になっても匂うのは、直ちに分

かる（３より大きいから）。けれども一応、数式を使って計算してみる。

　　　感じる臭さ＝ｌｏｇ（３００ ／ ３）＝ｌｏｇ１００＝２

一方、おならの濃度を半分の１５０にすると、

　　　感じる臭さ＝ｌｏｇ（１５０／３）＝ｌｏｇ５０＝約１．７

　　　　　　　　　　　　　　　　（この値は、電卓やネットの計算サイトで分かる）

元の臭さ、２と比較すると、この臭さは

　　　　１．７÷２＝０．８５＝８５％

つまり、おならの濃度が半分になっても、臭さは８５％も残ってしまう。言い換

えると、僅か１５％しか減らないのだ。

ちなみに、元の前提を変えて、おならを１０分の１にすると匂いが消えるのな

ら、おならの濃度を半分にすると臭さは７０％になる。つまり、３０％減ること

になる。要するに、元のおならがそれほど悪質（笑）でなければ、わりと簡単

に臭さを減らせるわけだ。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、本当は元の式が

　　　ｄｐ ＝ ｋ（ｄＳ／Ｓ）　　

　　　　　　　（ｐ：知覚　，Ｓ：刺激　，ｋ：比例定数　，ｄは微小量を表す記号）

という微分方程式らしい（英語版ウィキ）。

積分して初期条件を入れることで、

　　　ｐ ＝ ｋ ｌｏｇ（Ｓ／Ｓ₀）

という式が求められる。Ｓ₀は、ぎりぎり感じなくなる時の刺激で、いわゆる

「閾（しきい）値」だ。具体的な計算は、この記事末尾のＰ．Ｓ．を参照。　

昔のカリキュラムだと、高校３年の数Ⅲの教科書例題レベル。今だと大学

１年の数学の基本例題って感じのレベルだろう。ただし、元の式がそもそも

本当に正しいかどうかは問題であって、要するに一応、大まかな想定とし

て受け入れてるに過ぎない。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

桜井進は、世界は「数学で出来てる」とか言ってたけど、少なくともこの話で

は、「数学で出来てることに一応しとこう」って程度のことだ。

あと、数学では特許は取れないとか言ってたけど、これも不正確で、最初の

Ｌｕｈｎアルゴリズムは５０年ほど前に特許を取ってる。ただし今では、パブリッ

クドメイン、つまり公的所有の状態で、自由に使えるらしい。検索すると、一

般に暗号やソフトウェアの世界では、特許は一応、取れなくもないようだ。実

用的で独創的な応用理論だから当たり前だと思うが、論争が続いてるらしい。

前に、朝日新聞の土曜朝刊・別刷ｂｅで特集を読んだ時にも思ったけど、こ

の桜井という人は、あくまでパフォーマンスの人だと感じる。今回のラジオを

聴いて、改めてそう思った。宇宙の外でも数学が通じるなんて話は、少なく

とも、繊細な数学者や理論家とは思えない。まあ、ヒマがあったら一応、著

書もチェックしてみるかも知れない。

というわけで、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　読む人が少なそうだけど（笑）、途中の微分方程式の解き方。

　　　　　　　ｄｐ ＝ ｋ ｄＳ／Ｓ　　（Ｓは刺激だから、Ｓ＞０）

　　　　 ∴　ｄｐ ＝ ｋ （１／Ｓ） ｄＳ

　　　　両辺を積分して、　ｐ ＝ ｋ ｌｏｇＳ＋Ｃ　・・・・・・①　（Ｃは積分定数）

　　　　（この変形に馴染みがない人は、ｄｐ／ｄＳ ＝ ｋ／Ｓの両辺をＳで積分

　　　　すれば、同じ式が出る）

　　　　ここで、しきい値Ｓ₀ では ｐ＝０ だから、①に代入して

　　　　　　　０ ＝ ｋ ｌｏｇＳ₀＋Ｃ　　　　∴　Ｃ ＝ －ｋ ｌｏｇＳ₀

　　　　これを①に代入して、積分定数Ｃを消すと、

　　　　　　　ｐ ＝ ｋ ｌｏｇＳ－ｋ ｌｏｇＳ₀

　　　　　　　　 ＝ ｋ（ｌｏｇＳ－ｌｏｇＳ₀）

　　　　　　　　 ＝ ｋ ｌｏｇ（Ｓ／Ｓ₀）　・・・・・・微分方程式の解

　　　　この式は、知覚ｐという曖昧なものを求める式だし、ｋは単なる比例

　　　　定数だから、ｋ＝１としてよい。もし、この操作が嫌なら、ｐ／ｋを新た

　　　　にＰと置き換えればよいだけのこと。とにかく、ｋを消して、オナラの

　　　　場合で書き下したのが、最初に書いた「感じる臭さ」の式なのだ。

　　　　なお、最初はウェーバーが、微分方程式と言うよりも微小量に関す

　　　　る等式（ｄの代わりにΔ（デルタ）を使った式）を求めて、それをフェヒ

　　　　ナーが近似的に微分方程式とみなし、キレイに解いたようだ。　　　　　　

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