原子核と放射線~高校物理の教科書の問題と解説(2)
1週間前にアップした前回の記事に引き続き、今夜も高校物理の原子核と
放射線の問題を解いてみる。使うテキストは引き続き、数研出版の教科書、
『改訂版 高等学校 物理ⅠB』だ。今回は第5編「電子と原子」の演習問題
(p.289~291)の中にある、原子核・放射線関連の問題を4つ解説する。
では、最初の問題から。
A.3 α線、β線、γ線について、次の問いに答えよ。
(1) 電離作用の大きい順にならべよ。
(2) 物質透過能力の大きい順にならべよ。
(3) 電離作用の大小と透過能力の大小との間には、何か関係
があるだろうか。あるとすれば、それはどのような関係か。
また、その理由についても述べよ。
解答 (1) α線、β線、γ線
(2) γ線、β線、α線
(3) 両者には関係がある。それは、逆順の関係。つまり、電離
作用が大きいほど、透過能力は小さい。電離作用が強いと、
相手の原子内の電子をはじく力が強く、電子に与えるエネル
ギーも大きい。だから、はじく電子から受ける反作用も強いし、
自らが失うエネルギーも大きい。よって透過能力は小さくなる。
(1)と(2)は単なる基礎知識の問題で、教科書の本文に説明がある。よっ
て、(3)がポイントだ。エネルギーのやり取りだけで答えることも出来るが、
α線とβ線は粒子だから、衝突の際の力と反作用についても書いておく方
が分かりやすいだろう。(3)の解答は教科書に書いてないが、これで正解
のはずだ。
☆ ☆ ☆
続いて、次ページの上から二番目の問題。
A.5 「235 92 U」は、α崩壊をx〔回〕、β崩壊をy〔回〕行って、最
終的には安定なある原子核になる。
(1) 最終的に安定な原子核は、次のうちのどれか。
① 「208 82 Pb」 ② 「209 83 Bi」
③ 「206 82 Pb」 ④ 「207 82 Pb」
(2) x と y はそれぞれいくらか。
解答 (1) 質量数に注目すればよい。α崩壊では4ずつ減少し、
β崩壊では変化しない。元のウランの質量数は 4n+3
(4で割って3余る自然数)だから、崩壊後の質量数も同
じタイプとなる。選択肢の中で、4で割って3余る質量数
を持つ原子核はただ一つ、④である(207=4×51+3)。
答 ④
(2) α崩壊では質量数が4、原子番号が2減る。また、β崩
壊では、質量数は変わらず、原子番号が1増える。
(1)より、崩壊後は「207 82 Pb」だから、
(質量数)= 235-4x= 207 ・・・・・・①
(原子番号)= 92-2x+y = 82 ・・・・・・②
①より、x=7。②に代入して、y=4。
答 x=7, y=4
原発の核燃料となるウランについて、核分裂ではなく、自然な放射性崩壊
を問う問題である。「アクチニウム系列」という名で呼ばれる、ウランから鉛
への崩壊系列だが、最初のアルファ崩壊の半減期だけで7億年にもなるの
で、ほとんど生じない崩壊と考えていい。(2)は、x だけ先に出してもよいが、
一応、定石として、連立方程式の形にしておいた。なお、「Bi」はビスマスの
原子記号。
☆ ☆ ☆
それでは、3問目。
A.6 「225 88 Ra」は、半減期14日でβ崩壊をしてAc(アクチニ
ウム)という元素に変わる。ある時刻に、「225 88 Ra」が16g
あったとする。
(1) Acの質量数および原子番号はそれぞれいくらか。
(2) 「225 88 Ra」が4.0gになるのは何日後か。
(3) 56日後には、「225 88 Ra」は何gになるか。
解答 (1) 質量数225、原子番号89
(2) 16gが4.0gになるということは、1/4になること。つまり、
1/2への半減が2回生じることである。かかる日数は、
14(日)×2 = 28(日)
答 28日後
(3) 56(日)=14(日)×4。よって56日後には半減が4回生じる。
(1/2)⁴= 1/16 16(g)×(1/16) = 1(g)
答 1.0g
ラジウムの半減期の基本問題で、半減期が過ぎる度に半分(1/2)になっ
て行くことが理解できてれば、暗算ですぐ解ける問題である。(3)の答は、
1gとしても○(マル)だと思うが、問題文から、有効数字は2ケタと考えて、
1.0gとした方がいいだろう。実際、問題の最後に添えた正解は1.0gと
なってる。
☆ ☆ ☆
最後に、4問目。
A.7 高速の中性子は「238 92 U」に吸収されやすく、連鎖反応が
妨げられるので、天然ウランを用いる原子炉では、中性子を減
速する必要がある。
中性子が質量数Aの原子核と一直線上で完全弾性衝突をすると
き、衝突後の運動エネルギーは、衝突前の運動エネルギーの何
倍になるか。
また、ウランのような重い原子核に当てる場合と、重水素(水素の
同位体で質量数2)のような軽い原子核に当てる場合とでは、中性
子はどちらが大きく減速されるか。
解答 中性子の質量を1とすれば、質量数Aの原子核の質量はほぼAと
なる。中性子の衝突前の速度を v、衝突後を v´ とし、原子核の
衝突後の速度をVとすれば、
運動量保存則より、 1v = 1v´+AV ・・・・・・①
はね返り係数の式より、 (V-v´)/(0-v) = -1
∴ V-v´= v ・・・・・・②
②より、 V = v+v´
①に代入してVを消すと、 v = v´+A(v+v´)
∴ v´=(1-A)v / (1+A)
∴ (衝突後の中性子の運動エネルギー)
=(1/2)(1-A)²v² /(1+A)²
=(1/2)(A-1)²v² /(A+1)²
一方、(衝突前の中性子の運動エネルギー)
=(1/2)v²
よって、衝突後は衝突前の、(A-1)² /(A+1)² 倍
(最初の問いの答)
これより、中性子が大きく減速されるのは、(A-1)/(A+1)が
を小さい時である。変形すると、 1-{2/(A+1)}。よって、A
が小さい場合、つまり、軽い原子核に当てる場合の方が、中性子
は大きく減速される。
(第二の問いの答)
最初の答はもちろん、(1-A)² / (1+A)² と書いてもいいのだが、常に
A≧1であり、また、この文脈だと普通は A≧2だから、(A-1)²/(A+1)²
と書く方がスマートで分かりやすいだろう。実際、教科書の問題末尾にも、
そう書かれてる。
次の問いは、数学的に厳密に説明するなら、分数関数のグラフや微分を用
いる所だが、この物理の問題であれば、上の解答の説明で十分のはずだ。
実際の原子炉でも、A=2の重水素を用いた重水が、代表的な減速材の1
つとなってる。重水で減速する原子炉が重水炉。これに対して、軽水(普通
の水)で減速するのが軽水炉だ。ウィキペディアによると、軽水炉が世界で
80%以上のシェアで、日本の商用原発はすべて軽水炉らしい。。
なお、次回の記事は半月以内にアップしたいと思ってる。ではまた。。☆彡
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放射性物質の半減期、壊変定数、質量(重さ)~微分方程式の初歩
(計 2895文字)
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