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2013センター試験、数学Ⅰ・A~第2問(問題・解答)&第3問(感想)

昨日、思い付きで書いた国語の記事が、予想以上に読まれてるので、今日

もツイッター検索をかけてみた。昨日は文系だが、私は半ば理系の数学大

好き人間でもあるので、数学で検索。あちこちで盛り上がってるのは、第2

問と第3問のようだが、なぜか問題がなかなかアップされない。ツイッター

の画像も、一部しか無いから、解くことが出来ない。まあ、ツイッターより不

思議なのは、大手予備校の発表の遅さだ。

 

ひょっとして、試験会場によっては遅れがあるから、予備校に対しては問

題&解答の掲載時刻を遅らせるように、試験運営サイドから指示が出て

るのかな。あるいは自主規制なのか。受験のプロ集団なら、解説はともか

く、解答だけなら1時間くらいでアップできるはずだけど。問題だけなら20

分以内にスキャンしてアップできると思う。

 

とにかく、ネット上に問題が登場したのが18時前だから、その時点でまず

腹ごしらえ♪ 腹がふくれると居眠りしたくなったけど、グッと我慢して解い

てみた。時間の都合で、第2問は最低限の「説明込みの解答」のみをアッ

プ、第3問は感想のみをアップしてみよう。数学好きの一般読者の方、腕

試し&脳トレとして、どうぞ。

 

なお、私は何も参考にしてないので、以下は全く個人的な解法と感想であ

る。解答だけは、予備校サイトで念のために確認させて頂いた。悪しから

ず、ご了承を。。

 

 

        ☆          ☆          ☆

第2問  座標平面上にある点Pは、点A(-8,8)から出発して、直線

      y=-x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さ

      で動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PがAを出発

      すると同時に原点Oから出発して、直線y=10x上をx座標が

      1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してから

      t秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのは t=ア

      のときである。以下、0<t<ア で考える。

 

      (1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点をP´、点Qとx座標が

          等しいx軸上の点をQ´とおく。△OPP´と△OQQ´の

          面積の和Sをtで表せば

            S= イ t²-(ウエ)t+(オカ)

          となる。これより0<t<アにおいては、t= キ/ク で

          Sは最小値 (ケコサ)/シ をとる。

 

         次に、aを 0<a<アー1 を満たす定数とする。以下、

         a ≦ t ≦ a+1 におけるSの最小・最大について考える。

         (ⅰ) Sがt=キ/クで最小となるようなaの値の範囲は

             (ス/セ)≦a≦(ソ/タ) である。

         (ⅱ) Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は

             0<a≦チ/(ツテ) である。

 

      (2) 2点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x²のグ

          ラフを平行移動したものになるのは、t=ト/ナのときで

         あり、x軸方向に(ニヌ)/ネ 、y軸方向に(ノハヒ)/フだけ

         平行移動すればよい。

 

 

            ☆          ☆          ☆

解答(簡単な説明込み)

 

まず、点Pの座標は(2t-8,-2t+8)。原点O(0,0)に到達する時、

    2t-8=0   ∴t= ・・・・・・

よって以下、0<t<4で考える。

 

(1) △OPP´=(1/2)OP´・PP´=1/2 (-2t+8)² = 2t²-16t+32

   △OQQ´=(1/2)OQ´・QQ´=(1/2)・t・10t = 5t²

   ∴ S = △OPP´+△OQQ´

       =t²-16t+32 ・・・・・・イウエオカ

 =7(t-8/7)²+160/7

   よって、t=で、Sは最小値160をとる。・・・・・・キクケコサシ

 

   次に、パラメーター(媒介変数)aを含む幅1の区間 a≦t≦a+1 に

   おける、Sの最大・最小を考える。

   (ⅰ) 区間の中に2次関数のグラフの頂点がある時、さきほど求めた

      値が最小値となる。

      この時、 a≦8/7≦a+1 

       ∴≦a≦7 ・・・・・・スセソタ

 

   (ⅱ) 区間の中心が、ちょうど2次関数のグラフの頂点に来るとき、

      区間の左端は頂点から左に1/2(区間の幅の半分)だけ進ん

      だ位置にある。

      この時のaは、8/7-1/2 =9/14。

      よって、0<a≦14の時は、 (・・・・・・チツテ

      区間内のSのグラフは左端が一番上にあり、t=aで最大となる。

 

      ちなみに、9/14≦a<3の時は、区間内のSのグラフは右端

      が一番上にあり、t=a+1で最大となる。なお、ちょうどa=9/14

      の時は、t=aとt=a+1でSの値は等しく、それが最大値となる。

 

(2) 3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが、y=2x²を平行移動したもの

   である時、その式はy=2x²+kxとおける。

   これがP(2t-8,-2t+8)とQ(t,10t)を通るので、

      -2t+8=2(2t-8)²+k(2t-8) ・・・・・・①

      10t=2t²+kt ・・・・・・②

   t>0だから、②より、k=-2t+10 ・・・・・・③

   ③を①に代入して整理すると、4t²-26t+40=0

      ∴ 2t²-13t+20=0

      ∴ (2t-5)(t-4)=0

   t<4より、t= ・・・・・・(トナ

   ③に代入して、k=5。よって、題意のグラフの式は、y=2x²+5x。

 

   平方完成して、y=2(x+5/4)²-25/8

   したがって、y=2x²のグラフをx軸方向に-5、(・・・・・・ニヌネ

   y軸方向に-25、 (・・・・・・ノハヒフ

   平行移動すればよい。

 

 

          ☆          ☆          ☆

☆感想  大学受験問題としては、昔からある普通の問題で、大部分の

      参考書で類題を解説してあると思う。ただ、センター試験だと珍

      しいのかも知れない。動点が2つあるものの、各座標はtの簡単

      な式で書けるので、第3問みたいな図形的センスは必要ないし、

      キレイな図を書く必要もない。

 

      パラメーター付き区間における2次関数の最大・最小は、自分

      で4つのグラフを何度も書いてみれば納得できる。下に凸の場

      合、右下がり、左が長いU字型、右が長いU字型、右上がりの

      4パターンとなる。それぞれにおいて、一番上の点が最大値を、

      一番下の点が最小値を与えてくれるわけだ。。   

 

 

 

          ☆          ☆          ☆

続いて、第3問感想のみ。問題や解答は、あちこちの予備校サイトなど

でどうぞ。こちらは、図形的センス少し要求する問題で、なかなか上手い

作りになってると思った。高校数学と言うより中学の数学で、大学受験生

にとっては逆にやりづらいかも知れない。平均点は低めと予想する。

 

最初のポイントは、点Pの位置が与えられてないことで、要するに、どこで

も答は同じになるわけだ。点Pが原点を中心として色々と回転する時、図

形全体も同じように回転する。

 

したがって、一番わかりやすい図形をまず書けばいいわけで、それは普通、

接線である弦ABが水平の場合だろう。座標平面は必要ないが、もし座標

軸を書くのなら、ABがx軸と重なるようにすればよい。この時、半径1の円

Pは、ABの上に乗っかるように書けばいいだろう。ただし、座標計算で解く

と時間が足りなくなる。

 

ODの長さは一瞬、手が止まる所だが、落ち着いて考えれば、合同な直角

三角形を2つ向き合わせて作った、シンプルな図形の問題だ。ODとAPが

直交して十字型になるのは、ある程度キレイな図を書けば気付くだろう。

cos∠OADを余弦定理で求めて、AC=AB・cos∠OADと計算。後は中

学校でお馴染みのよくある図形の問題だ。内接円の半径は、直角三角形

の面積に注目すればよい。面積=(1/2)底辺×高さ=(1/2)(3辺の

和)×(内接円の半径)という式を用いる。

 

その後は、2つの円がかなり重なってしまうので、図が分かりにくなってし

まう。だから、重なった図は単なる参考に留めて、後は円が1つの図と計

算を使って進めて行く所だろう。図形的な結論である「二」や「ホ」は、ある

程度キレイな図を大きく書けば分かるだろうから、たとえ長さが出せなかっ

たとしても、そこだけでも得点は可能だ。その意味で、受験生への配慮も

多少ある良問だが、意表を突かれた人が多かったのかも知れない。。

 

なお、今週は計19759文字となった。明日の分のランニング記事は、既

に書いてあるので、日付け変更後にアップする予定。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. 長崎市で、女子受験生が地理歴史・公民の問題冊子を持ち出して

     予備校関係者に渡してたらしい(読売HP)。もちろん失格だが、本

     当は受験生ではなく、アルバイトだと思われる。センターでは初め

     てという話だが、他の大学入試だと色々ウワサがあるわけで、監

     督の責任は重大だろう。もちろん、受験生や予備校などのモラル

     も問題だが。。

 

 

cf. 幻想的な私小説、牧野信一『地球儀』~2013センター試験・国語

 

                                (計 3440文字)

 

 

☆追記: 翌日、書店で高校数学の参考書を4冊チェックしてみた。すると

      予想通りで、まず3冊の数Ⅰの参考書で、パラメーター付き区間

      における2次関数の最大・最小が、例題扱いで丁寧に説明され

      ていた。数研出版『チャート式 基礎からの数学』、文英堂『理解

      しやすい』、科学新興新社『解法のテクニック』の3冊で、いずれ

      も定番だ。

 

      また、書名は忘れたが、センター試験の2次関数を扱う参考書を

      見ると、関数の側には文字aなど(パラメーター)が入ってたが、

      区間の側にaが入った問題は見当たらなかった。。

 

 

P.S.2 1月23日、平均点中間集計が大学入試センターから発表され

     た。数学Ⅰ・Aは53.08点で、去年の69.97点から大幅にダウン

     した。ちなみに国語は98.84点で、これまた去年の117.95点か

     ら大幅ダウン。もし最終報告もこのままなら、過去最低点らしい(朝

     日新聞)。。

 

 

P.S.3 2月7日、平均点の最終結果が発表された。数学Ⅰ・Aは更に下

      がって51.20点。数学Ⅱ・Bも低く、55.64点。国語は101.04

      点で、過去最低とのこと(朝日)。

 

                  (追記&PS2・3  452字, 合計3891字)

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コメント

こんばんわ。
突然ですが、リンク先の
1、(1) 次ノ式ヲ簡単ニセヨ。
がどうしても解けません。
誠に申し訳ありませんが、
もし良かったら、助けてください。

投稿: けろよん | 2013年1月23日 (水) 22時57分

> けろよん さん
  
アハハ  問題見た瞬間に爆笑しました。
面白い事やってますね♪
    
簡単な因数分解の4連発でしょ。
「2乗ー2乗」の因数分解の公式を4回使うだけ。
分母・分子がキレイに消し合って、最後は問題番号と同じ、
簡単な自然数になります♪

投稿: テンメイ | 2013年1月23日 (水) 23時21分

初めまして
先日センター試験を受けてきた自宅浪人生です
試験を受けて、そして自宅でやり直しをしても、
思考が固まってしまってるせいか
問3のODの求め方がさっぱり分からず、
ネットに解法を求めてこのブログに辿り着きました。
そしてここでやっと理解することができました。
有り難うございます

投稿: はん | 2013年1月24日 (木) 18時56分

> はん さん
   
初めまして。コメントありがとうございます。
  
自宅浪人生ですか。それは予備校生より大変ですね。
上手くやれば効率いいけど、ペースを作るのが難しいから。。
  
問3が分からない人はかなり多そうですね。
ツイッター検索だと問2の方が目立ってたけど、
アクセス解析を見ると問3目当ての方が多い。
ただ、差がつくのはむしろ問2でしょう。
   
問3のODだけなら、座標計算でもいいと思いますが、
ODの後が大変。やっぱり図形のセンスが重要な問題です。
   
とにかく、お役に立てて良かったです。
あと少しで春の到来。頑張ってください

投稿: テンメイ | 2013年1月25日 (金) 21時59分

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