2013センター試験、数学Ⅰ・A~第2問(問題・解答)&第3問(感想)
昨日、思い付きで書いた国語の記事が、予想以上に読まれてるので、今日
もツイッター検索をかけてみた。昨日は文系だが、私は半ば理系の数学大
好き人間でもあるので、数学で検索。あちこちで盛り上がってるのは、第2
問と第3問のようだが、なぜか問題がなかなかアップされない。ツイッター
の画像も、一部しか無いから、解くことが出来ない。まあ、ツイッターより不
思議なのは、大手予備校の発表の遅さだ。
ひょっとして、試験会場によっては遅れがあるから、予備校に対しては問
題&解答の掲載時刻を遅らせるように、試験運営サイドから指示が出て
るのかな。あるいは自主規制なのか。受験のプロ集団なら、解説はともか
く、解答だけなら1時間くらいでアップできるはずだけど。問題だけなら20
分以内にスキャンしてアップできると思う。
とにかく、ネット上に問題が登場したのが18時前だから、その時点でまず
腹ごしらえ♪ 腹がふくれると居眠りしたくなったけど、グッと我慢して解い
てみた。時間の都合で、第2問は最低限の「説明込みの解答」のみをアッ
プ、第3問は感想のみをアップしてみよう。数学好きの一般読者の方、腕
試し&脳トレとして、どうぞ。
なお、私は何も参考にしてないので、以下は全く個人的な解法と感想であ
る。解答だけは、予備校サイトで念のために確認させて頂いた。悪しから
ず、ご了承を。。
☆ ☆ ☆
第2問 座標平面上にある点Pは、点A(-8,8)から出発して、直線
y=-x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さ
で動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PがAを出発
すると同時に原点Oから出発して、直線y=10x上をx座標が
1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してから
t秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのは t=ア
のときである。以下、0<t<ア で考える。
(1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点をP´、点Qとx座標が
等しいx軸上の点をQ´とおく。△OPP´と△OQQ´の
面積の和Sをtで表せば
S= イ t²-(ウエ)t+(オカ)
となる。これより0<t<アにおいては、t= キ/ク で
Sは最小値 (ケコサ)/シ をとる。
次に、aを 0<a<アー1 を満たす定数とする。以下、
a ≦ t ≦ a+1 におけるSの最小・最大について考える。
(ⅰ) Sがt=キ/クで最小となるようなaの値の範囲は
(ス/セ)≦a≦(ソ/タ) である。
(ⅱ) Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は
0<a≦チ/(ツテ) である。
(2) 2点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x²のグ
ラフを平行移動したものになるのは、t=ト/ナのときで
あり、x軸方向に(ニヌ)/ネ 、y軸方向に(ノハヒ)/フだけ
平行移動すればよい。
☆ ☆ ☆
解答(簡単な説明込み)
まず、点Pの座標は(2t-8,-2t+8)。原点O(0,0)に到達する時、
2t-8=0 ∴t=4 ・・・・・・ア
よって以下、0<t<4で考える。
(1) △OPP´=(1/2)OP´・PP´=1/2 (-2t+8)² = 2t²-16t+32
△OQQ´=(1/2)OQ´・QQ´=(1/2)・t・10t = 5t²
∴ S = △OPP´+△OQQ´
=7t²-16t+32 ・・・・・・イウエオカ
=7(t-8/7)²+160/7
よって、t=8/7で、Sは最小値160/7をとる。・・・・・・キクケコサシ
次に、パラメーター(媒介変数)aを含む幅1の区間 a≦t≦a+1 に
おける、Sの最大・最小を考える。
(ⅰ) 区間の中に2次関数のグラフの頂点がある時、さきほど求めた
値が最小値となる。
この時、 a≦8/7≦a+1
∴1/7≦a≦8/7 ・・・・・・スセソタ
(ⅱ) 区間の中心が、ちょうど2次関数のグラフの頂点に来るとき、
区間の左端は頂点から左に1/2(区間の幅の半分)だけ進ん
だ位置にある。
この時のaは、8/7-1/2 =9/14。
よって、0<a≦9/14の時は、 (・・・・・・チツテ)
区間内のSのグラフは左端が一番上にあり、t=aで最大となる。
ちなみに、9/14≦a<3の時は、区間内のSのグラフは右端
が一番上にあり、t=a+1で最大となる。なお、ちょうどa=9/14
の時は、t=aとt=a+1でSの値は等しく、それが最大値となる。
(2) 3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが、y=2x²を平行移動したもの
である時、その式はy=2x²+kxとおける。
これがP(2t-8,-2t+8)とQ(t,10t)を通るので、
-2t+8=2(2t-8)²+k(2t-8) ・・・・・・①
10t=2t²+kt ・・・・・・②
t>0だから、②より、k=-2t+10 ・・・・・・③
③を①に代入して整理すると、4t²-26t+40=0
∴ 2t²-13t+20=0
∴ (2t-5)(t-4)=0
t<4より、t=5/2 ・・・・・・(トナ)
③に代入して、k=5。よって、題意のグラフの式は、y=2x²+5x。
平方完成して、y=2(x+5/4)²-25/8
したがって、y=2x²のグラフをx軸方向に-5/4、(・・・・・・ニヌネ)
y軸方向に-25/8、 (・・・・・・ノハヒフ)
平行移動すればよい。
☆ ☆ ☆
☆感想 大学受験問題としては、昔からある普通の問題で、大部分の
参考書で類題を解説してあると思う。ただ、センター試験だと珍
しいのかも知れない。動点が2つあるものの、各座標はtの簡単
な式で書けるので、第3問みたいな図形的センスは必要ないし、
キレイな図を書く必要もない。
パラメーター付き区間における2次関数の最大・最小は、自分
で4つのグラフを何度も書いてみれば納得できる。下に凸の場
合、右下がり、左が長いU字型、右が長いU字型、右上がりの
4パターンとなる。それぞれにおいて、一番上の点が最大値を、
一番下の点が最小値を与えてくれるわけだ。。
☆ ☆ ☆
続いて、第3問は感想のみ。問題や解答は、あちこちの予備校サイトなど
でどうぞ。こちらは、図形的センスを少し要求する問題で、なかなか上手い
作りになってると思った。高校数学と言うより中学の数学で、大学受験生
にとっては逆にやりづらいかも知れない。平均点は低めと予想する。
最初のポイントは、点Pの位置が与えられてないことで、要するに、どこで
も答は同じになるわけだ。点Pが原点を中心として色々と回転する時、図
形全体も同じように回転する。
したがって、一番わかりやすい図形をまず書けばいいわけで、それは普通、
接線である弦ABが水平の場合だろう。座標平面は必要ないが、もし座標
軸を書くのなら、ABがx軸と重なるようにすればよい。この時、半径1の円
Pは、ABの上に乗っかるように書けばいいだろう。ただし、座標計算で解く
と時間が足りなくなる。
ODの長さは一瞬、手が止まる所だが、落ち着いて考えれば、合同な直角
三角形を2つ向き合わせて作った、シンプルな図形の問題だ。ODとAPが
直交して十字型になるのは、ある程度キレイな図を書けば気付くだろう。
cos∠OADを余弦定理で求めて、AC=AB・cos∠OADと計算。後は中
学校でお馴染みのよくある図形の問題だ。内接円の半径は、直角三角形
の面積に注目すればよい。面積=(1/2)底辺×高さ=(1/2)(3辺の
和)×(内接円の半径)という式を用いる。
その後は、2つの円がかなり重なってしまうので、図が分かりにくなってし
まう。だから、重なった図は単なる参考に留めて、後は円が1つの図と計
算を使って進めて行く所だろう。図形的な結論である「二」や「ホ」は、ある
程度キレイな図を大きく書けば分かるだろうから、たとえ長さが出せなかっ
たとしても、そこだけでも得点は可能だ。その意味で、受験生への配慮も
多少ある良問だが、意表を突かれた人が多かったのかも知れない。。
なお、今週は計19759文字となった。明日の分のランニング記事は、既
に書いてあるので、日付け変更後にアップする予定。
それでは、今日はこの辺で。。☆彡
P.S. 長崎市で、女子受験生が地理歴史・公民の問題冊子を持ち出して
予備校関係者に渡してたらしい(読売HP)。もちろん失格だが、本
当は受験生ではなく、アルバイトだと思われる。センターでは初め
てという話だが、他の大学入試だと色々ウワサがあるわけで、監
督の責任は重大だろう。もちろん、受験生や予備校などのモラル
も問題だが。。
cf. 幻想的な私小説、牧野信一『地球儀』~2013センター試験・国語
(計 3440文字)
☆追記: 翌日、書店で高校数学の参考書を4冊チェックしてみた。すると
予想通りで、まず3冊の数Ⅰの参考書で、パラメーター付き区間
における2次関数の最大・最小が、例題扱いで丁寧に説明され
ていた。数研出版『チャート式 基礎からの数学』、文英堂『理解
しやすい』、科学新興新社『解法のテクニック』の3冊で、いずれ
も定番だ。
また、書名は忘れたが、センター試験の2次関数を扱う参考書を
見ると、関数の側には文字aなど(パラメーター)が入ってたが、
区間の側にaが入った問題は見当たらなかった。。
P.S.2 1月23日、平均点の中間集計が大学入試センターから発表され
た。数学Ⅰ・Aは53.08点で、去年の69.97点から大幅にダウン
した。ちなみに国語は98.84点で、これまた去年の117.95点か
ら大幅ダウン。もし最終報告もこのままなら、過去最低点らしい(朝
日新聞)。。
P.S.3 2月7日、平均点の最終結果が発表された。数学Ⅰ・Aは更に下
がって51.20点。数学Ⅱ・Bも低く、55.64点。国語は101.04
点で、過去最低とのこと(朝日)。
(追記&PS2・3 452字, 合計3891字)
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コメント
こんばんわ。
突然ですが、リンク先の
1、(1) 次ノ式ヲ簡単ニセヨ。
がどうしても解けません。
誠に申し訳ありませんが、
もし良かったら、助けてください。
投稿: けろよん | 2013年1月23日 (水) 22時57分
> けろよん さん
問題見た瞬間に爆笑しました。

アハハ
面白い事やってますね♪
簡単な因数分解の4連発でしょ。
「2乗ー2乗」の因数分解の公式を4回使うだけ。
分母・分子がキレイに消し合って、最後は問題番号と同じ、
簡単な自然数になります♪
投稿: テンメイ | 2013年1月23日 (水) 23時21分
初めまして
先日センター試験を受けてきた自宅浪人生です
試験を受けて、そして自宅でやり直しをしても、
思考が固まってしまってるせいか
問3のODの求め方がさっぱり分からず、
ネットに解法を求めてこのブログに辿り着きました。
そしてここでやっと理解することができました。
有り難うございます
投稿: はん | 2013年1月24日 (木) 18時56分
> はん さん

初めまして。コメントありがとうございます。
自宅浪人生ですか。それは予備校生より大変ですね。
上手くやれば効率いいけど、ペースを作るのが難しいから。。
問3が分からない人はかなり多そうですね。
ツイッター検索だと問2の方が目立ってたけど、
アクセス解析を見ると問3目当ての方が多い。
ただ、差がつくのはむしろ問2でしょう。
問3のODだけなら、座標計算でもいいと思いますが、
ODの後が大変。やっぱり図形のセンスが重要な問題です。
とにかく、お役に立てて良かったです。
あと少しで春の到来。頑張ってください
投稿: テンメイ | 2013年1月25日 (金) 21時59分