２０１３センター試験、数学Ⅰ・Ａ～第２問（問題・解答）＆第３問（感想）

昨日、思い付きで書いた国語の記事が、予想以上に読まれてるので、今日

もツイッター検索をかけてみた。昨日は文系だが、私は半ば理系の数学大

好き人間でもあるので、数学で検索。あちこちで盛り上がってるのは、第２

問と第３問のようだが、なぜか問題がなかなかアップされない。ツイッター

の画像も、一部しか無いから、解くことが出来ない。まあ、ツイッターより不

思議なのは、大手予備校の発表の遅さだ。

ひょっとして、試験会場によっては遅れがあるから、予備校に対しては問

題＆解答の掲載時刻を遅らせるように、試験運営サイドから指示が出て

るのかな。あるいは自主規制なのか。受験のプロ集団なら、解説はともか

く、解答だけなら１時間くらいでアップできるはずだけど。問題だけなら２０

分以内にスキャンしてアップできると思う。

とにかく、ネット上に問題が登場したのが１８時前だから、その時点でまず

腹ごしらえ♪　腹がふくれると居眠りしたくなったけど、グッと我慢して解い

てみた。時間の都合で、第２問は最低限の「説明込みの解答」のみをアッ

プ、第３問は感想のみをアップしてみよう。数学好きの一般読者の方、腕

試し＆脳トレとして、どうぞ。

なお、私は何も参考にしてないので、以下は全く個人的な解法と感想であ

る。解答だけは、予備校サイトで念のために確認させて頂いた。悪しから

ず、ご了承を。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

第２問　　座標平面上にある点Ｐは、点Ａ（－８，８）から出発して、直線

　　　　　　ｙ＝－ｘ上をｘ座標が１秒あたり２増加するように一定の速さ

　　　　　　で動く。また、同じ座標平面上にある点Ｑは、点ＰがＡを出発

　　　　　　すると同時に原点Ｏから出発して、直線ｙ＝１０ｘ上をｘ座標が

　　　　　　１秒あたり１増加するように一定の速さで動く。出発してから

　　　　　　ｔ秒後の２点Ｐ，Ｑを考える。点ＰがＯに到達するのは ｔ＝ア

　　　　　　のときである。以下、０＜ｔ＜ア で考える。

　　　　　　（１）　点Ｐとｘ座標が等しいｘ軸上の点をＰ´、点Ｑとｘ座標が

　　　　　　　　　　等しいｘ軸上の点をＱ´とおく。△ＯＰＰ´と△ＯＱＱ´の

　　　　　　　　　　面積の和Ｓをｔで表せば

　　　　　　　　　　　　Ｓ＝ イ ｔ²－（ウエ）ｔ＋（オカ）

　　　　　　　　　　となる。これより０＜ｔ＜アにおいては、ｔ＝ キ／ク で

　　　　　　　　　　Ｓは最小値 （ケコサ）／シ をとる。

　　　　　　　　　次に、ａを ０＜ａ＜アー１ を満たす定数とする。以下、

　　　　　　　　　ａ ≦ ｔ ≦ ａ＋１ におけるＳの最小・最大について考える。

　　　　　　　　　（ⅰ）　Ｓがｔ＝キ／クで最小となるようなａの値の範囲は

　　　　　　　　　　　　　（ス／セ）≦ａ≦（ソ／タ） である。

　　　　　　　　　（ⅱ）　Ｓがｔ＝ａで最大となるようなａの値の範囲は

　　　　　　　　　　　　　０＜ａ≦チ／（ツテ） である。

　　　　　　（２）　２点Ｏ，Ｐ，Ｑを通る２次関数のグラフが関数ｙ＝２ｘ²のグ

　　　　　　　　　　ラフを平行移動したものになるのは、ｔ＝ト／ナのときで

　　　　　　　　　あり、ｘ軸方向に（ニヌ）／ネ 、ｙ軸方向に（ノハヒ）／フだけ

　　　　　　　　　平行移動すればよい。

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

解答（簡単な説明込み）

まず、点Ｐの座標は（２ｔ－８，－２ｔ＋８）。原点Ｏ（０，０）に到達する時、

　　　　２ｔ－８＝０　　　∴ｔ＝４　・・・・・・ア

よって以下、０＜ｔ＜４で考える。

（１）　△ＯＰＰ´＝（１／２）ＯＰ´・ＰＰ´＝１／２ （－２ｔ＋８）² ＝ ２ｔ²－１６ｔ＋３２

　　　△ＯＱＱ´＝（１／２）ＯＱ´・ＱＱ´＝（１／２）・ｔ・１０ｔ ＝ ５ｔ²

　　　∴　Ｓ ＝ △ＯＰＰ´＋△ＯＱＱ´

　　　　　　　＝７ｔ²－１６ｔ＋３２　・・・・・・イウエオカ

 ＝７（ｔ－８／７）²＋１６０／７

　　　よって、ｔ＝８／７で、Ｓは最小値１６０／７をとる。・・・・・・キクケコサシ

　　　次に、パラメーター（媒介変数）ａを含む幅１の区間 ａ≦ｔ≦ａ＋１ に

　　　おける、Ｓの最大・最小を考える。

　　　（ⅰ）　区間の中に２次関数のグラフの頂点がある時、さきほど求めた

　　　　　　値が最小値となる。

　　　　　　この時、　ａ≦８／７≦ａ＋１　

　　　　　　　∴１／７≦ａ≦８／７　・・・・・・スセソタ

　　　（ⅱ）　区間の中心が、ちょうど２次関数のグラフの頂点に来るとき、

　　　　　　区間の左端は頂点から左に１／２（区間の幅の半分）だけ進ん

　　　　　　だ位置にある。

　　　　　　この時のａは、８／７－１／２　＝９／１４。

　　　　　　よって、０＜ａ≦９／１４の時は、　（・・・・・・チツテ）

　　　　　　区間内のＳのグラフは左端が一番上にあり、ｔ＝ａで最大となる。

　　　　　　ちなみに、９／１４≦ａ＜３の時は、区間内のＳのグラフは右端

　　　　　　が一番上にあり、ｔ＝ａ＋１で最大となる。なお、ちょうどａ＝９／１４

　　　　　　の時は、ｔ＝ａとｔ＝ａ＋１でＳの値は等しく、それが最大値となる。

（２）　３点Ｏ，Ｐ，Ｑを通る２次関数のグラフが、ｙ＝２ｘ²を平行移動したもの

　　　である時、その式はｙ＝２ｘ²＋ｋｘとおける。

　　　これがＰ（２ｔ－８，－２ｔ＋８）とＱ（ｔ，１０ｔ）を通るので、

　　　　　　－２ｔ＋８＝２（２ｔ－８）²＋ｋ（２ｔ－８）　・・・・・・①

　　　　　　１０ｔ＝２ｔ²＋ｋｔ　・・・・・・②

　　　ｔ＞０だから、②より、ｋ＝－２ｔ＋１０　・・・・・・③

　　　③を①に代入して整理すると、４ｔ²－２６ｔ＋４０＝０

　　　　　　∴　２ｔ²－１３ｔ＋２０＝０

　　　　　　∴　（２ｔ－５）（ｔ－４）＝０

　　　ｔ＜４より、ｔ＝５／２　・・・・・・（トナ）

　　　③に代入して、ｋ＝５。よって、題意のグラフの式は、ｙ＝２ｘ²＋５ｘ。

　　　平方完成して、ｙ＝２（ｘ＋５／４）²－２５／８

　　　したがって、ｙ＝２ｘ²のグラフをｘ軸方向に－５／４、（・・・・・・ニヌネ）

　　　ｙ軸方向に－２５／８、　（・・・・・・ノハヒフ）

　　　平行移動すればよい。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

☆感想　　大学受験問題としては、昔からある普通の問題で、大部分の

　　　　　　参考書で類題を解説してあると思う。ただ、センター試験だと珍

　　　　　　しいのかも知れない。動点が２つあるものの、各座標はｔの簡単

　　　　　　な式で書けるので、第３問みたいな図形的センスは必要ないし、

　　　　　　キレイな図を書く必要もない。

　　　　　　パラメーター付き区間における２次関数の最大・最小は、自分

　　　　　　で４つのグラフを何度も書いてみれば納得できる。下に凸の場

　　　　　　合、右下がり、左が長いＵ字型、右が長いＵ字型、右上がりの

　　　　　　４パターンとなる。それぞれにおいて、一番上の点が最大値を、

　　　　　　一番下の点が最小値を与えてくれるわけだ。。　　　

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

続いて、第３問は感想のみ。問題や解答は、あちこちの予備校サイトなど

でどうぞ。こちらは、図形的センスを少し要求する問題で、なかなか上手い

作りになってると思った。高校数学と言うより中学の数学で、大学受験生

にとっては逆にやりづらいかも知れない。平均点は低めと予想する。

最初のポイントは、点Ｐの位置が与えられてないことで、要するに、どこで

も答は同じになるわけだ。点Ｐが原点を中心として色々と回転する時、図

形全体も同じように回転する。

したがって、一番わかりやすい図形をまず書けばいいわけで、それは普通、

接線である弦ＡＢが水平の場合だろう。座標平面は必要ないが、もし座標

軸を書くのなら、ＡＢがｘ軸と重なるようにすればよい。この時、半径１の円

Ｐは、ＡＢの上に乗っかるように書けばいいだろう。ただし、座標計算で解く

と時間が足りなくなる。

ＯＤの長さは一瞬、手が止まる所だが、落ち着いて考えれば、合同な直角

三角形を２つ向き合わせて作った、シンプルな図形の問題だ。ＯＤとＡＰが

直交して十字型になるのは、ある程度キレイな図を書けば気付くだろう。

ｃｏｓ∠ＯＡＤを余弦定理で求めて、ＡＣ＝ＡＢ・ｃｏｓ∠ＯＡＤと計算。後は中

学校でお馴染みのよくある図形の問題だ。内接円の半径は、直角三角形

の面積に注目すればよい。面積＝（１／２）底辺×高さ＝（１／２）（３辺の

和）×（内接円の半径）という式を用いる。

その後は、２つの円がかなり重なってしまうので、図が分かりにくなってし

まう。だから、重なった図は単なる参考に留めて、後は円が１つの図と計

算を使って進めて行く所だろう。図形的な結論である「二」や「ホ」は、ある

程度キレイな図を大きく書けば分かるだろうから、たとえ長さが出せなかっ

たとしても、そこだけでも得点は可能だ。その意味で、受験生への配慮も

多少ある良問だが、意表を突かれた人が多かったのかも知れない。。

なお、今週は計１９７５９文字となった。明日の分のランニング記事は、既

に書いてあるので、日付け変更後にアップする予定。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　長崎市で、女子受験生が地理歴史・公民の問題冊子を持ち出して

　　　　　予備校関係者に渡してたらしい（読売ＨＰ）。もちろん失格だが、本

　　　　　当は受験生ではなく、アルバイトだと思われる。センターでは初め

　　　　　てという話だが、他の大学入試だと色々ウワサがあるわけで、監

　　　　　督の責任は重大だろう。もちろん、受験生や予備校などのモラル

　　　　　も問題だが。。

ｃｆ．　幻想的な私小説、牧野信一『地球儀』～２０１３センター試験・国語

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３４４０文字）

☆追記：　翌日、書店で高校数学の参考書を４冊チェックしてみた。すると

　　　　　　予想通りで、まず３冊の数Ⅰの参考書で、パラメーター付き区間

　　　　　　における２次関数の最大・最小が、例題扱いで丁寧に説明され

　　　　　　ていた。数研出版『チャート式　基礎からの数学』、文英堂『理解

　　　　　　しやすい』、科学新興新社『解法のテクニック』の３冊で、いずれ

　　　　　　も定番だ。

　　　　　　また、書名は忘れたが、センター試験の２次関数を扱う参考書を

　　　　　　見ると、関数の側には文字ａなど（パラメーター）が入ってたが、

　　　　　　区間の側にａが入った問題は見当たらなかった。。

Ｐ．Ｓ．２　１月２３日、平均点の中間集計が大学入試センターから発表され

　　　　　た。数学Ⅰ・Ａは５３．０８点で、去年の６９．９７点から大幅にダウン

　　　　　した。ちなみに国語は９８．８４点で、これまた去年の１１７．９５点か

　　　　　ら大幅ダウン。もし最終報告もこのままなら、過去最低点らしい（朝

　　　　　日新聞）。。

Ｐ．Ｓ．３　２月７日、平均点の最終結果が発表された。数学Ⅰ・Ａは更に下

　　　　　　がって５１．２０点。数学Ⅱ・Ｂも低く、５５．６４点。国語は１０１．０４

　　　　　　点で、過去最低とのこと（朝日）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（追記＆ＰＳ２・３　 ４５２字，　合計３８９１字）