多角形の一刀切り・２～エリック・ディメインによる折り紙数学

（☆１４年１１月２９日の追記：　最新（６本目）の記事を追加。

　　　　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）６～アルファベットＡ、Ｂ　）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

総合マニアック・ブログとしては、様々な内容のバランスを取るために、ロー

テーションというものを考えてる。今日は本当は、人文系の内容（例の世界

的ベストセラー小説の英語版・続編）にするつもりだったが、予想外にいい

情報が集まらなかったので、仕方なく当面は延期。代わりに、それ以上に

最近アクセスが増えてる数学記事の続編を書いてみよう。

ほぼ３年前に書いて以来、ロングセラーになってるのは、次の記事だ。

　　　折り紙の一刀切り問題～朝日新聞・ＧＬＯＢＥ「数学という力」

「一刀切り」という言葉は、私もその時点で初めて聞いたし、当時はネット

上の日本語記事もほとんど無い状態。要するに、紙に書いた多角形、つ

まり三角形とか四角形とか、直線で囲まれてるカクカクした図形を、はさ

みで１回真っ直ぐ切るだけでキレイに切り抜くという技だ。

　（☆追記：　２０１３年２月１２日、テレビ朝日の『モーニングバード』では、

　　　　　　　　折り紙の「ワンカット」＝ｏｎｅ　ｃｕｔ として紹介されたらしい。

　　　　　　　　愛知県の園長さん・伊藤信太郎氏が漢字などを切り抜いた

　　ようで、公式ＨＰにはハート型

　　の説明がある。自分で試して

　　みると、理論的にもキレイに

　　理解できた。さらに調べると、

　　１２年５月１９日の朝日新聞・

　　朝刊・名古屋版でも大きく紹

　　介されてた。）

　　（☆追記２：　３本目の記事をアップ。ハート型を大小２つの十角形の組

　　　　　　　　　　合せと見て、折り方の説明を行った。次の記事を参照。

　　　　　　　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）３～ハートマーク＆熱帯魚　）

表面的に分かりやすくて、小学生でも楽しめるが、数学で一般的にやり方

を考えると相当厄介なはず。本質的には、２つの条件が満たされれば一

刀切りできる。まず、多角形のすべての辺を１本の線分（両端のある直線）

に重ね合わせること。また、その線分の両端は、折った後の紙の端となっ

てること。

この一刀切りが一般に可能だということを、若き天才数学者エリック・ディ

メインが証明したらしいという話が、３年前の朝日新聞の数学特集に載っ

てた。ところが、実際の折り方や考え方については、ほとんど具体的な説

明がなかったので、私は自分で試行錯誤して、記事としてアップ。地味な

がら、今に至るまでコンスタントに検索アクセスが続いてる。

特に、２０１２年１１月１２日、ＮＨＫ・Ｅテレの深夜番組『２３５５』で紹介され

た後はアクセスが増加。さらに先日、２月７日にも同じ番組でまた紹介され

たようで、ここ丸２日間だけでも、当サイトの該当記事は訪問者数１６０人

となってる。大きなニュースとなったＡＢＣ予想などと違って、単なる地味な

数学ネタなのに、かなりの人気なのだ。

私自身も、３年前からモヤモヤした思いが残ってたから、今夜はもう少し先

まで話を進めてみよう。エリックのＨＰも含めて、何も参照せず、自分自身

で考え、実験＆実証してみる。ただし、時間の制約はもちろん、文字数制

限（週間２万字）もあるので、あまり長くは書けない。悪しからずご了承を。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、前回の記事では、長方形、三角形、台形の折り方について、具体

的に図示＆説明しておいた。同じ話の繰返しは避け、今回はまず、一般

の四角形から始めよう。つまり、台形でない不等辺四角形の一刀切りか

ら始める。　（☆追記：　最後は凸六角形の折り方まで。）

　ではまず、普通の凸四角

　形、つまり凹んでない場

　合から。まず、紙に大き

　く四角形を書き、それを

　透かし見ながら、紙の裏

　側にも書いておく。そう

　すると折りやすいのだ。

上の写真は、角の２等分線を４本引いて、交点を２つ作った所。２等分線

　は、真面目に書く必要も

　ないし、コンパスも不要。

　要するに、角を挟む２辺

　が重なるように折れば、

　それが２等分線なのだ。

　左は、２つの交点を結ぶ

　と共に、２交点から辺へ

と垂線（赤い点線）を下ろした所。垂線も、真面目に引く必要はなく、垂線

　の足（＝辺との交点）の

　両脇で線が重なるように

　折れば、自動的に垂線に

　なる（証明は簡単だから

省略）。そして上が、折り畳んで、すべての辺を１本の線分に集めた所。赤

い実線は山折り、点線は谷折り（２枚目の写真の折れ目を参照）。もちろん、

　線分の両端は紙の端に来

　てるから、後はハサミで

　一刀切りすればいい。左

　は切り落とした四角形だ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　　続いて、一般の凹んだ四角形の場

　　合。これは３年前にもしばらく考え込

　　んだし、今もまた、数分ほど悩んで

　　しまったが、凹んだ角の二等分線

　　は谷折りだと覚えてたので、何とか

　　解決した。

　　左図は、まず角の二等分線を

　　４本引いて、交点２つを結んだ

　　所。凹んだ角の所だけは点線。

　　次に、２つの交点から辺に垂線を

　　下ろすのだが、凹んだ角の二等

　　分線で作った交点から下ろした

　　垂線だけは、山折りにするので、

　　実線にしてある。もう一方の垂線

　　は、いつものように谷折りだから

　　点線。

　　そして、折り畳んだ状態が左下。

　　これをハサミで一刀切りすると、

　　確かに四角形を切

　　り落とせた。正直、

　　自分でも半信半疑

　　だったが♪

　　　

　　　　　　　　　　 　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、ここで更に五角形に挑戦。成功したかと思ったら、どうも無理やり折っ

てたようで、凸五角形も凹んだ五角形も考え込んでしまった。今日はもう時

間切れだから、また次の機会に挑戦しよう。あと少しで何とかなりそうだか

ら、出来れば自力で解決したい。

（☆追記：　凸五角形、凹五角形、凸六角形も、一応折れた気がする。角

　　　　　　　の２等分線と垂線に続く「第三の手段」、辺の延長線の交点を

　　　　　　　利用。下のＰ．Ｓ．、Ｐ．Ｓ．２、Ｐ．Ｓ．３を参照。）

この先のポイントは、折ることが可能な折り目と不可能な折り目の区別だ

ろう。どうも、図形が複雑になって、折り目も増えると、やってみたら折れな

いという現象と直面してしまう。一度、既に成功してる三角形と四角形まで

戻って、理論的に立て直したいと思う。複数の折り目を一気に折るのでな

く、一つ一つ折り進める方がいいのかも知れない。

ちなみに、三角形が折り畳めるというのは、下図で ａ＝ｂ＋（ｃ－ｄ） 、つま

り ａ＋ｄ ＝ ｂ＋ｃ が成り立つということだろう（両辺は１８０°）。これは

２（ｐ＋ｑ＋ｒ）＝１８０° を用いれば簡単に証明できる。四角形は厄介なの

で、また後ほど。

あと、数字の切り抜きへの接近という点では、とりあえず下のような単純な

　　六角形の一刀切りには

　　成功した。という事は、

　　カタカナの「コ」の字型

　　もクリアできそうだ。コ

　　の真ん中でまず折り畳

　　めば、この図と似たも

　　のになるからだ。

　　結局、数字の０、１、３、７、

　　８なら、「上手く描けば」切

り抜けそうな気がする。とりあえずそれでは、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　翌日、凸五角形に成功したので、翌々日に下の内容を加えた。

　　まず、四角形の時と同様、

　　図のように角の２等分線

　　を４本引いて、交点を２つ

　　作り、垂線を下ろす。ここ

　　で、四角形の時は２交点

　　を結べばよいが、五角形

　　では不可。下のように、

　　辺の延長線とその交点

を大きく書くのだ。左下の交点がＪ、右下がＫ。

ＪとＦを結ぶ直線は、角Ｊの二等分線になる。証明は、Ｆから辺ＡＢと辺ＣＤ

に垂線を下ろして、直角三角形の合同を用いる（斜辺が共通、垂線の長さ

は等しい）。また右下で、ＫとＧを結ぶ直線は、角Ｋの二等分線になる。直

線ＪＦと直線ＫＧの交点をＬとすると、これは大きな三角形ＡＪＫの内心。

　だから直線ＡＬ

　を引くと、角Ａ

　の二等分線にな

　る。また、ＡＬ

　で折れば辺ＡＢ

　と底辺ＣＤが重

　なるし、ＫＬで

　折れば辺ＡＥと

　底辺ＣＤが重な

　る。後は、ＡＬ

　を山折りにす

　れば、全体が

　底辺ＣＤに重なる。

　最後はＬから下ろし

　た垂線に沿う形で、

　Ａの辺りを折り畳め

　ば、準備終了。ハサ

　ミでカットすれば左の通り。

　凸五角形の一刀切りに成

　功した。

Ｐ．Ｓ．２　頂点辺りが一ヶ所凹んでる、凹五角形も似たようなやり方で成功。

　　　　　　下図を見て凸五角形の時と比べれば、どう引いたか分かるだろう。

　ちなみに左は、折り

　畳みかけた状態。

　「ｆｏｌｄ　ａｎｄ　ｃｕｔ」

　（一刀切り）に成功

　した様子が左下だ。

　　凹みが２つある

　　凹五角形も同様

　　に出来る。　　　

Ｐ．Ｓ．３　凸六角形も、同様な方法で簡単に成功した（おそらく）。

　　　゜

　どうも、角の二等分

　線、垂線、辺の延長

　線の交点の３つで解

　決できそうだ。２辺

　が平行な場合は、そ

　の中間に平行線を引

　けばいいだろう。

ｃｆ．　折り紙の一刀切り問題～朝日新聞・ＧＬＯＢＥ「数学という力」

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）３～ハートマーク＆熱帯魚

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）４～簡単な数字（０，１，２，５，７）

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）５～簡単な数字（３，４，６，８，９）

Ｐ．Ｓ．　遅まきながら、ようやく知ったが、１０年以上前から「ひと裁ち折り」

　　　　　というものが日本であったらしい（ｂｙ山本厚生氏）。エリックとどち

　　　　　らが時期的に早いのか、バラエティや理論の比較はどうなのか、気

　　　　　になる所だ。おそらく、一般的な証明というものはエリックが初めて

　　　　　で、折り紙の技としては一昔前からあちこちにあったんだろう。

　　　　　江戸時代（和算？）にも「一刀『斬』り」問題があったそうだ（日経新

　　　　　聞・２００８年７月２９日、数学者・秋山仁のコラム）。もう少し詳しい

　　　　　話は、秋山の『数学に恋したくなる話』（ＰＨＰ研究所）でも発見。エ

　　　　　リックとは旧知の間柄らしい。。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３７４０文字）