近似式、平均値の定理、テイラー展開、マクローリン展開

解析学（＝極限、微分、積分）についての数学記事としては、かなり話が飛

んでしまうが、今日は微分法の代表的な応用例として、近似式、平均値の

定理、テイラー展開をごく簡単に扱ってみよう。要するに、ドラマ『ガリレオ』

の記事と関連するフーリエ変換の前置き、あるいはウォーミング・アップだ。

基本的には、高校３年レベル以上の話だが、高校２年レベル（基礎解析と

か数学Ⅱ）の内容を一応知ってる人なら、理解できると思う。

数学や自然科学に限らず、物事を大まかにとらえるという作業は重要だし、

必然的でもある。人間は有限、つまり限界の有る存在だから、現実に与え

られた条件（能力、時間、道具など）の中で、なるべく良い「近似的認識」を

目指すしかない。

数学の場合、例えば、直接には計算しにくい関数の値を、なるべく簡単か

つ正確に求めることが問題となる。ここ数十年だと、電卓やコンピューター、

ソフトが普及してるので、直接すぐ計算できてしまう関数も多いわけだが、

歴史的にはそうではなかったし、近似の理論は関数や数のとらえ方その

ものを変える力も持ってるのだ。例えば、指数関数・三角関数とは何か、

ｅ （＝２．７１８・・・）とは何か、円周率π（＝３．１４・・・）とは何か、といっ

た具合に。

そこで以下、まず最も簡単な近似式からスタートして、やや高級なテイラー

展開（大学１年レベル）まで、一連の流れを追ってみよう。システムの制約

上、少し特殊な書き方も使うが、意味はすぐ分かるはずだ。

参照文献は今までと同様、杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東京大学出版会）、

井上正雄『微積分ハンドブック』（聖文社）、矢野健太郎監修『モノグラフ　２４

　公式集　４訂版』（科学新興社）。まとめ方、例、式変形などには、私自身

のものも相当入ってる。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、微分係数の定義より、

　　　　　ｆ´（ａ）＝ｌｉｍ ｛ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｝ ／ （ｘ－ａ）　　　（ ｘ → ａ ）

よって、ｘ がａに十分近い時、ｌｉｍ記号を外して

　　　　　ｆ´（ａ） ≒ ｛ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｝ ／ （ｘ－ａ）　　　　

　　∴　ｆ（ｘ） ≒ ｆ（ａ）＋ｆ´（ａ）（ｘ－ａ）

これは、変数が ａ から ｘ へと変化した時、関数値がｆ´（ａ）（ｘ－ａ）だけ変

化することを示す式だ。関数値の変化を、変数の変化 ｘ－ａ の１次式で

示すから、１次近似とか１次の近似式などと呼ばれる。

例として、１÷１．０２の計算を考えてみよう。これは、関数ｆ（ｘ）＝１／ｘに

に対して、ｆ（１．０２）を求める計算だ。１．０２は１に十分近いから、上の

１次近似式でｘ＝１．０２、ａ＝１として、

　　　１÷１．０２ ＝ ｆ（１．０２）

　　　　　　　　　  ＝ ｆ（１）＋ｆ´（１）×０．０２

　　　　　　　　　　＝ １＋｛（－１／１²）×０．０２｝　　（ ∵ ｆ´（ｘ）＝－１／ｘ² ）

　　　　　　　　　　＝ １－０．０２

　　　　　　　　　　＝０．９８　　　　

実際の値は０．９８０３９・・・だから、十分に有用な近似値だろう。

同様に考えて、｜α｜≒ ０ の時、　　１÷（１＋α）＝１－α

　　　　　　　　　　　　より一般には、　（１＋α）ⁿ＝１＋ｎα

これらは簡単な近似式として有名だ。１に近くない数の計算にも応用可能。

例えば、次のように考えればよい。要するに、キリのいい計算からほんの少

しだけ違ってる時に使えるのだ。

　　　　　　　　　１０２³　＝ ｛１００（１＋０．０２）｝³

　　　　　　　　　　　　　＝１００³×（１＋０．０２）³

　　　　　　　　　　　　　＝１００００００×（１＋３×０．０２）

　　　　　　　　　　　　　＝１０６００００　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ちなみに正確な値は、１０６１２０８）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

１次近似は十分に有用だと書いたが、もちろん、もっと正確な近似値が必

要なこともある。また、厳密に正しい値が分からなくても、それを求める式

だけ欲しいこともある（理論的に）。

そこでまず登場するのが、普通は高校３年で習う、平均値の定理。これを

使う時の条件がちょっと面倒だから、私も何度も手で書いて無理やり頭に

叩き込んだ覚えがある。区間の両端が入るか入らないか、つまり、閉区間

か開区間か、という点も面倒だし、正体不明な数の存在という話もなかな

かピンと来なかった。では、その平均値の定理を再確認してみよう。

　　　関数 ｆ（ｘ） が、区間〔ａ，ｂ〕で連続、区間（ａ，ｂ）で微分可能ならば、

　　　　　ｆ´（ｃ）＝｛ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）｝／（ｂ－ａ）　　　（ａ＜ｃ＜ｂ）

　　　をみたす数 ｃ が少なくとも１つ存在する。

区間の両端（ａとｂ）では、つながってる必要があるけど、微分可能（＝滑ら

か）でなくても構わない。ただ、実際は多くの場合、両端でも微分可能だ。

定理の式を変形すると、　ｆ（ｂ）＝ｆ（ａ）＋ｆ´（ｃ）（ｂ－ａ）　。

さらに、ｂをｘと書き直せば、　ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＋ｆ´（ｃ）（ｘ－ａ）　。

よって、１次近似のｆ´（ａ）の代わりに、ｆ´（ｃ）を使った式である。

これは、見かけ上は近似式ではなく等式だが、実際はｃが分からなかっ

たり、求めないまま議論を進めたりするので、近似式と似たようなもの。

要するに、微分係数を用いて大まかに関数をとらえようとしてるわけだ。

比較のため、再び、１÷１．０２ の計算を考えてみる。ｆ（ｘ）＝１／ｘとおき、

前に見た計算と同様にして、

　　　　　１÷１．０２ ＝ ｆ（１．０２）

　　　　　　　　　　　　＝ ｆ（１）＋ｆ´（ｃ）×０．０２

　　　　　　　　　　　　＝ １－０．０２／ｃ²　　

ここで、１＜ｃ＜１．０２だから、　１ ＜ ｃ ² ＜ （１．０２）²

　　　　　　　　　∴　　１／（１．０２）² ＜ １／ｃ² ＜ １

　　　　　　　　　∴　－０．０２ ＜ －０．０２／ｃ² ＜ －０．０２／（１．０２）²

　　　　　　　　　∴　０．９８ ＜ １－０．０２／ｃ² ＜ １－０．０２／（１．０２）²

よって、平均値の定理によると、１÷１．０２（すなわち１－０．０２／ｃ²）は、

１次近似０．９８より少しだけ大きいことが分かる。実際の値は０．９８０３・・・

だから、なかなか正確な近似なのだ。もちろん、この程度の簡単な計算なら、

普通に割り算した方が遥かに早いわけだが♪

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上は高校レベルだが、次は大学１年レベルの話で、急激に複雑になる。

今回は、近似という観点から、まとめて具体的な議論を示してるだけなの

で、理論の詳細や証明にはこだわらないことにしよう。

まず、テイラーの定理から。非常に体系的に書かれてる『解析入門Ⅰ』で

は、第Ⅱ章・微分法の§２・平均値の定理の後半で登場する。

　　ｎ≧１とする。区間〔ａ，ｘ〕（または〔ｘ，ａ〕）でｎ回微分可能な

　　実数値関数 ｆ に対して、

　　によって Ｒn（ｘ） を定義するとき、

　　をみたす数 c が、区間

　　（ａ，ｘ） （または （ｘ，ａ） ）

に存在する。

ｆ の右上に（ｎ－１）、（ｎ）と書かれてるのは、ｎ－１回微分やｎ回微分を表

している。小さい丸カッコ（　）の中が０（ゼロ）の場合は、０回微分で、元の

ｆ を表すわけだ。ビックリ・マークの「！」は階乗の記号で、例えば ３！なら

３×２×１、つまり６を表す。０！は１と考える。またＲn（ｘ）は、余りの項目

だから「剰余項」と呼ばれ、余り（Ｒｅｍａｉｎｄｅｒ）の頭文字Ｒで表されている。

何とも分かりにくい式だが、まずｎ＝１の時を書いてみて、平均値の定理

と同じになることを確認。続いてｎ＝２，３の時も書いてみて、最後はｎの

ままの式を何度も書けば、頭に焼きついて来ると思う。ｘの代わりにａ＋ｈ、

ｘ－ａの代わりにｈと書いても同じことだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さらに、ｆ が何度でも微分可能な場合、つまり無限回微分可能な場合で、

しかも ｌｉｍ Ｒn（ｘ） ＝０　（ ｎ → ∞ ： 無限大） の時、

と表されることになる。この無限級数（＝無限個の項の和）による表示が、

ａを中心とする ｆ のテイラー展開（Ｔａｙｌｏｒ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ）と呼ばれるものだ。

特にａ＝０の場合には、マクローリン展開（Ｍａｃｌａｕｒｉｎ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ）とも呼

　　ばれる。テイラーも

　　マクローリンも、数

　　学者の名前だ。

　　ｌｉｍＲn（ｘ）＝０という

条件は忘れてはいけないが、わりと簡単に満たされるから適用範囲は広い

（証明の手間や ｘ の範囲の制限は別問題）。

マクローリン展開の具体例として、ｆ（ｘ）＝（ｅのｘ乗）を考えてみよう。普通

の高校教育に従うと、この微分は元通り、ｅのｘ乗と考えて、何回微分して

もｘ＝０における微分係数は１。Ｒn（ｘ）の条件もみたす（証明省略）。

　　∴　（ ｅ の ｘ 乗 ）＝１＋ｘ＋ｘ²／２＋ｘ³／６＋・・・

一方、ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘの場合、１回、２回、３回、４回と微分していくと、

　　ｃｏｓ ｘ，　－ｓｉｎ ｘ，　－ｃｏｓ ｘ，　ｓｉｎ ｘ

つまり、４回微分するごとに、元のｓｉｎ ｘに戻ることになる。また、ｓｉｎ０＝０、

ｃｏｓ０＝１だから、結局マクローリン展開の式は以下のようになる。

　　　ｓｉｎ ｘ ＝ ｘ－ｘ³／６＋ｘ⁵／１２０－・・・

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、テイラー展開で２次の項まで（つまり最初の３項）取り出したのが、

２次近似式だ。

　　　ｆ（ｘ） ≒ ｆ（ａ）＋ｆ´（ａ）（ｘ－ａ）＋｛ ｆ´´（ａ） ／ ２｝（ｘ－ａ）²

これは、１次近似と同様、ｘ が ａ に十分近い時しか使えない。別の言い方

をするなら、ｘ が ａ から離れると、誤差が大きくなる（可能性が高まる）わけ

だ。ここでも、１÷１．０２で試してみると、

　　　１÷１．０２ ＝ ｆ（１．０２）

　　　　　　　　　　＝ ｆ（１）＋ｆ´（１）×０．０２＋｛ ｆ´´（１）／２ ｝×（０．０２）²

　　　　　　　　　　＝ １－０．０２＋０．０００４

　　　　　　　　　　＝ ０，９８０４

１次近似の０．９８と比べると、実際の値０．９８０３９・・・に近づいてること

が確認できるのだ。

なお、『解析入門Ⅰ』ではその後、あらためてｅのｘ乗や三角関数をテイラー

展開（より正確にはマクローリン展開）で定義し直して、そこからｅの１乗

（つまりｅ、ネイピア数）の値を求めたり、πを「定義」し直したりすることに

なる。この場合、こうして再定義したπがいわゆる「円周率」、円周÷直径

であることは、また別に証明する必要がある。

とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

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