『ガリレオ２』第５話の数式、近似のニュートン法による√２の数値解析（＆バルマー系列）

（☆６月２３＆２５日追記：　最新の数式記事とレビューをアップ。

　　　男子の中で泣く女～『ガリレオＸＸ・内海薫』愚弄（もてあそ）ぶ

　　　『ガリレオ２』最終回の数式、浄水器と管内の水の乱流＆層流　）

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今までで一番キレイに数式を読み取れたと喜んでたら、湯川＝福山雅治に

水をぶっかけられたね (^^ゞ　「何の意味もない。高校で習ったバルマー系列

の式を書いただけ」。おまけに、最後のエンドロールの壁で、もう一ヒネリ入っ

てた。バルマー系列の式と（ほとんど）関係ない、近似のニュートン法の代表

的例を書いてたのだ。しかも、また式が間違ってる。。困ったもんだね。。

それでも私は、第５章『念波（おく）る』の放送終了後、１時間半くらいは、バ

ルマー系列とニュートン法の関係を考えてみた。しかし、「内容的には」関係

が見当たらない。とすると、私に今、思い付くのはこのくらいの仮説のみだ。

　「バルマー系列の波長の式　λ ＝ ｆ （ ｎ² ／ （ｎ²－４） ）に少し似た関数

　　ｆ（ｘ）＝ｘ²－２を使ったニュートン近似法で、√２という簡単な無理数の

　　値に少しずつ確実に接近するプロセスを表した。

　　なぜなら、ドラマの事件解決のポイントが、少しずつ確実に実行犯に

　　接近することだったし、双子（桐谷美玲の１人２役）も限りなく似た別人

　　だったからだ」。

　　　　　　　　　　　　　（λ：波長、　ｆ＝３６４．５６ｎｍ、　ｎ＝３，４，５，・・・）

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ではまず、ハッキリ映されたエンドロールの壁の式を見てみよう。無意味と

豪語してたバルマー系列は、後回しにする。「何の意味もない」んだから♪

　確実に第５話の

　式だと考えられ

　るのは、左で全

　てだ。赤い波

　線は毎度お馴染

　みの書き間違い

　で、ｘ ｎの右下

  に小さく添える

　べき「＋１」が、

　右側に大きく独

　立して書かれて

　る。ほぼ１００

％、間違いと言っとこう。要するに、数列｛ｘ ｎ｝の第ｎ項から第ｎ＋１項を求

める「漸化式」（ぜんかしき）なのだ。

他に、ガリレオの脳内フラッシュをよく見ると、下に添えた別図の式も書か

れてる気がする。これは、上図の式の改良形として、ウィキペディアにほん

の一言書かれてるものだ（長島隆廣「ニュートン近似の改良」，数学セミ

ナー　１９８０年５月号）。ｎの代わりにｋを使ってある。

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では一応、近似のニュートン法（Ｎｅｗｔｏｎ’ｓ　Ｍｅｔｈｏｄ）、あるいは、ニュー

トン・ラフソン法（Ｎｅｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ）と呼ばれるものについて

解説してみよう。

壁の一番上には、 ｆ（ｘ）＝０ と書いてある。これは、右辺がゼロの方程式

の左辺を ｆ（ｘ） とおいたわけだ。方程式というのは、高校まではキレイに

解けるものが多いが、一般には解そのものは求められないのがフツー。

だから、「解に十分近い数値」を求める、数値解析の出番となる。解くので

はなく、単純計算で近づくのだ。たとえば円周率なら、３．１４１５９２６５３５９

・・・と無限に続く無理数だが、３．１４１５９２６５４という１０桁で計算すれば、

ほとんどの場合は十分だろう。

そこで、ｆ（ｘ）＝０の解の近似値を求める簡単な方法として有名なのが、ニュー

トン法なのだ。私が最初に習ったのは多分、高校の数学Ⅱの教科書だった

と思う。つまり、方法としてはハイレベルではない、基本レベルのものなのだ。

ただし、証明となるとやや面倒。手元の杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東京大学出

版会）だと、「ニュートンの逐次近似法」として、中間値の定理、平均値の定

理（数Ⅲ）、数学的帰納法を使って証明してある（図を含めて１ページ強）。

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話を戻して、簡単な２次方程式 ｘ² －２ ＝ ０ の正の解の近似値を求めてみ

よう。要するに、√２の近似値だ。方程式 ｆ（ｘ）＝０ で、ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ とした

場合だから、壁の３行目もそう書かれてた。導関数（＝微分）、ｆ´（ｘ） ＝ ２ｘ

も簡単だけど、壁の４行目にわざわざ書いてくれてる。これほど初歩的な書

き方は第２話以来だ。

　　さて、左図を見てみ

　　よう。これはウィキ

　　メディアでパブリッ

　　ク・ドメイン（公的

　　所有）として公開さ

　　れてる図だ。

　　縦は Ｙ 軸、横は

　　Ｘ 軸とする。大文

字にしたのは、数列の ｘ と区別するためだ。青い曲線に赤い接線が引か

れて、Ｘ軸との交点を求めてる。

青い曲線が、Ｙ＝ｆ（Ｘ）、つまり Ｙ ＝Ｘ²－２ とすると、この曲線とＸ軸（つま

り直線 Ｙ＝０ ）の交点のＸ座標が、Ｘ²－２＝０の解を表す。よって、上図で

ｘ とだけ書かれた値が√２だ。

この近似値を求める時、√２（＝１．４１４・・・）より少し大きい簡単な値を

出発点（ｘ₁、あるいは ｘ₀ ）としてみる。例えば３として、曲線上に点（３，７）

を取る。そこでの微分係数、つまり接線の傾きは、ｆ´（３）＝２×３＝６だか

ら、接線の式は　　

　　　　　　Ｙ＝６（Ｘ－３）＋７　　　∴　Ｙ＝６Ｘ－１１

この接線とＸ軸との交点のＸ座標（つまりＸ切片）は、０＝６Ｘ－１１より、

Ｘ＝１１／６。これは１．８３・・・だから、スタートの３よりは、√２に近づい

てるわけだ。この手続きを、適当な回数だけ続ければいい。

スタートを ｘ₁として、ｎ番目として求めた近似値を ｘ n としよう。曲線上

の点（ｘ n，ｘ n²－２ ）における微分係数は ２ｘ n。よって接線の式は

　　　　　Ｙ＝２ｘ n（Ｘ－ｘ n）＋ｘ n²－２

Ｘ切片を求めるために、０＝２ｘ n（Ｘ－ｘ n）＋ｘ n²－２ とすると、

　　　　Ｘ－ｘ n ＝－（ｘ n²－２） ／ ２ｘ n。

　　∴　Ｘ＝ｘ n－（ｘ n²－２）／２ｘ n

これが次の ｘ n₊₁だから、壁の５番目の漸化式が出るわけだ。

　　　　ｘ n₊₁＝ ｘ n－（ｘ n²－２） ／ ２ｘ n　　　

カシオの高精度計算サイトで試してみると、３からスタートして僅か５回行った

だけで、何と、１．４１４２１３５６（ひとよひとよにひとみごろ）まで出て来た♪　

実に素晴らしい！

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なお、病院でなぐり書きした、物理学のパルマー系列関連（元になるリュード

ベリの公式も含む）のなぐり書きについては、意味がないと言ってることだし、

みんなハッキリ読み取れるだろうから、省略しよう。

・・・・・・と最初は書いてたけど、やっぱり折角の見せ場の数式だから、一応

書いとこう。大き過ぎるし、内容も少しだけ違うから、左右に分けておく。

　まずは左半分。

　これはバルマー

　系列の４つの波

　長の比を少しず

　つ変形して、公

　式にあてはめて

　るのだ。

バルマー系列とは、水素原子から放出される様々な光の分布（スペクトル）

のこと。極端に分かりやすく言うなら、下図のような線の集まりだ♪　ウィキ

メディア、Ｍｅｒｉｋａｎｔｏ氏の作品。理論的には感心しない話だけど、ブログ

で見やすいように、左右を縮めて、左端の色を明るめに補正してある。右

端は本来、もっと鮮やかな赤色だ。

一方、なぐり書きの右半分は、バルマーの元になるリュードベリの公式や、

ボーアの原子モデルについて短くまとめたもの。説明は大変だし、「何の意

味もない」のだから、他のサイトや参考書などにお任せしよう。

黒板も差し当たりは省略する。後で、気が向いたら追記するとしよう。ニュー

トン近似については、また明日のレビューで文系的に考察する。理系と文

系、両方が大切だというのは、前シリーズの湯川も言ってた真実だ♪

では、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　宗教、科学、自然と人間～『ガリレオ２』第１話・幻惑す

　　　心の同期と「慣性の法則」～『ガリレオ２』第２話・指標す

　　　揺れ動く、見えないもの～『ガリレオ２』第３話・心聴る

　　　曲がった男のストレートな切れ味～『ガリレオ２』第４話

　　　接近することの効果と限界～『ガリレオ２』第５話・念波る

　　　閉じたものを開くこと～『ガリレオ２』第６話・密室る

　　　脇役と主役、よそおう人々～『ガリレオ２』第７話・偽装う

　　　虚像＝花火を演じる舞台としての生～『ガリレオ２』第８話・演技る

　　　エリートがみだす凡人の心の歯車～『ガリレオ２』第９話・撹乱す

　　　誰が何を救うのか～『ガリレオ２』第１０話・聖女の救済（前編）

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　『ガリレオ２』第１話の数式、誘電体のマイクロ波加熱における電力半減深度

　『ガリレオ２』第２話の数式、不覚筋動による水晶振り子の強制振動

　『ガリレオ２』第３話の数式、

　　　　　　　　　　パルス電磁波のフレイ効果による耳の奥の弾性波か

　『ガリレオ２』第４話の数式、流体中の回転ボールを曲げるマグナス効果などか

　『ガリレオ２』第６話の数式、

　　　　　　　　　　　　　ホログラム記録＆再生における光波の複素数表示

　『ガリレオ２』第７話の数式、

　　　　　　　　　　　　ロッキングチェアの慣性モーメント＆回転・直線運動か

　『ガリレオ２』第８話の数式、花火の光の入射角＆３つの像の位置関係か

　『ガリレオ２』第９話の数式、超音波による圧力・密度変化（＆ビルの高さ）

　『ガリレオ２』第１０話の数式、ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３５２８文字）