『ガリレオ２』第６話の数式、ホログラム記録＆再生における光波の複素数表示

（☆６月２３＆２５日追記：　最新の数式記事とレビューをアップ。

　　　男子の中で泣く女～『ガリレオＸＸ・内海薫』愚弄（もてあそ）ぶ

　　　『ガリレオ２』最終回の数式、浄水器と管内の水の乱流＆層流　）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

前回はキレイに数式を読み取れたし、意味もほぼ分かったけど、今回の第

６章「密室（とじ）る」はまた途方にくれて、すぐ諦めて寝そうになった (^^ゞ　

今日は睡眠３時間でたっぷり働いて来たから、疲れ切ってるもんで。。

まあしかし、何とかメインの２つの数式を解読できたから、サラッとまとめて

終わりにしよう。例によって色んなサイトを飛び回ったけど、結局は英語版

ウィキペディアの「Ｈｏｌｏｇｒａｐｈｙ」（ホログラフィー）の説明が突破口になった。

お馴染みの立体映像、ホログラムを可能にする技術がホログラフィーだ。　

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ではまず、エンドロールの壁に映されてた４本の式の内、最初の２本をキレ

イに再現しとこう。２本目は一部、見えてなかったけど、理論的にこれで合っ

てるはずだ。面倒だから、１本目の式の立体的デザインは無視させて頂く♪

美術スタッフさん、遊んでるね。

３本目の式はほとんど見えないから、オマケ程度。要するに、光の位相（ウネ

ウネした波長１単位の中での位置）の式だろう。複素数表示（後述）において、

ｘ 軸の正の部分から反時計回りに測った偏角だと思う。４本目は全く見えない。

上の３本なら、湯川＝福山雅治の脳内フラッシュにも出てたし、上の２本なら

なぐり書きシーンでも一応見えた気がする。

（☆追記：　３本目のφの右下は小さく「Ｍ」と書かれてる。また、４本目は２

　　　　　　　つの式を並べてるようで、左側は「？λ＝２αｓｉｎθ」のような式。

　　　　　　　右側の左辺は「δ＝」となってる気がする。いずれも脳内フラッ

　　　　　　　シュから何とか読み取った。）

（☆追記２：　３本目の式と意味について、読者の方からの情報が入った。

　　　　　　　　ご紹介頂いたｐｄｆファイル（コメント欄参照）によると、

　　　　　　　　「φ（右下に小さくＭ）＝ｓｉｎ ⁻¹ （λ／２ｐ）」のようだ。

　　　　　　　　ｓｉｎ ⁻¹ とは、ｓｉｎの逆関数を示す記号で、要するに普通の

　　　　　　　　式に直せば、「ｓｉｎφ＝λ／２ｐ」。つまり、「λ＝２ｐ・ｓｉｎφ」。

　　　　　　　　これが４本目の左側かも知れない（φの代わりにθかも）。

　　　　　　　　Ｍは「最大（Ｍａｘｉｍｕｍ）、φ（ファイ）は再生光の回折角、λ

　　　　　　　　は再生光の波長、ｐは表示デバイス（ドラマだとホログラム・

　　　　　　　　シート）の画素ピッチ（ｐｉｔｃｈ＝間隔）。

　　　　　　　　画素をきめ細かく（＝ｐを小さく）する → λ／２ｐが大きくなる

　　　　　　　　→ ｓｉｎφＭが大きくなる → φＭが大きくなる → ホログラム

　　　　　　　　を見れる限界角度（視域）が広がる（片側φ＋反対側φ＝２φ）、

　　　　　　　　という流れのようだ。そう言えばドラマでも角度の話があった。）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最初の２本の式を説明するには、まずホログラフィーという技術について、ほ

んの少しだけ理解しとく必要がある。ホログラムという３Ｄ画像を使うには、

記録と再生、大きく分けて２つの作業が必要だ。

　左は、記録に関

　する図式だ。ウィ

　キペディアで公

　開されてる、

　Ｃｏｏｋｉｅ４８

　６９氏の作品。

　　一つのレーザー

　　光をスプリッター

で２つに分けて、一方は物体に照射し、反射した「物体光」（Ｏｂｊｅｃｔ　ｂｅａｍ）

をホログラム用のフィルム（？）に当てるようだ。もう一方の「参照光」（Ｒｅｆｅ－

ｒｅｎｃｅ　ｂｅａｍ）は、左下の鏡で向きを変えただけで右下のフィルム（？）に

当てる。

この時、これら２つの光は重ね合わせによって、干渉する。この性質がコヒー

レンス（可干渉性）で、野木祐子（夏川結衣）の昔の研究素材になってたわけ

だ（干渉縞がホログラム）。それに気付いた湯川＝福山雅治は、たまたま高

級インテリア・ショップみたいな場所（Ｍｉｎｏｔｔｉ）のテレビで３Ｄ映像を見て、ダ

ダダダッと高級テーブルに数式を書きなぐり、岸谷美砂（吉高由里子）の表

情を凍りつかせてた。おそらく警視庁に、光学・・・じゃなくて高額の請求書が

送られるんだろう♪

　一方、ホログラム再生の時

　には、単に照明光を当てる

　だけでいい。ドラマだと、野

　木の懐中電灯だけで、窓の

　カギの像が浮かび上がっ

　て、カギがかかった密室の

　ように見えてたのだ。左図

　の出典も前と同じ。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ではいよいよ、数式の解説に入ろう。最初の式は、ホログラムを記録（つ

まり製造）する際の、２つの光の合成ビームの強度を表す式のようだ。

物体光と参照光は、振幅（波の山の高さ）と位相の２組で決まるから、複素

数の極形式 ｒ（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）で表せる。ここで、 ｉ は２乗して－１になる

虚数単位。ｒ は半径、θは偏角。極形式とは例えば、√３＋ ｉ という複素数

　を、２（ｃｏｓ３０°＋

　 ｉ ｓｉｎ３０°）と表す

　やり方だ。一般に、

　複素数 ｚ の半径と

　絶対値と共役複素

　数 ｚ＊の間に、次

　の関係がある。証

　明は簡単だから略。ちなみに、ａ＋ｂ ｉ の共役複素数とは、ａ－ｂ ｉ のこ

とだ（ａ、ｂは実数）。

　　　　　　　　　　　　ｒ＝｜ｚ｜＝√ｚｚ＊

話を光に戻すと、振幅を半径 ｒ とし、位相を偏角θとして、物体光と参照光

を複素数表示したものをそれぞれ、単に Ｏ（オー）、Ｒと表す。要するに波の

式だ。すると、合成ビームは Ｏ＋Ｒ と書ける。光の強度 Ｉ （＝Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ）は、

振幅の２乗に比例するから、比例定数は１としとこう。すると、

　Ｉ ＝ １×ｒ² ＝｜Ｏ＋Ｒ｜²＝（Ｏ＋Ｒ）（Ｏ＋Ｒ）＊

　　　　　　　　　　　　　　　　＝（Ｏ＋Ｒ）（Ｏ＊＋Ｒ＊）　　（共役複素数の性質）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝｜Ｏ｜²＋｜Ｒ｜²＋ＯＲ＊＋Ｏ＊Ｒ

青色が、壁の１本目の式。つまり、３Ｄメガネの絵を挟んで、二重の文字で

書いてたもので、湯川の脳内フラッシュでも確認できた。複素数とか極形式

というものに慣れてないと、難しく感じるだろうが、慣れてたら簡単な変形に

過ぎない。カリキュラムによっては高校の数学で習う、標準的計算だ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、この強度に、ホログラムの光の透過率（ｔｒａｎｓｍｉｔｔａｎｃｅ）が比例す

るようなので、また比例定数を簡単に１としとこう。要するに、上の Ｉ と同

じ式だ。再生光に透過率をかけると、ホログラムの透過光の式が出る。

再生光として、以前の参照光Ｒを使うことにすれば、

　　　（透過光）＝（透過率）×（再生光）　　

　　　　　　　　　＝　Ｉ Ｒ ＝ （｜Ｏ｜²＋｜Ｒ｜²＋ＯＲ＊＋Ｏ＊Ｒ ） Ｒ

　　　　　　　　　　　　　　＝（｜Ｏ｜²＋｜Ｒ｜²）Ｒ＋ＯＲ＊Ｒ＋Ｏ＊Ｒ²

　　　　　　　　　　　　　　＝（｜Ｏ｜²＋｜Ｒ｜²）Ｒ＋Ｏ｜Ｒ｜²＋Ｏ＊Ｒ²
　　　　　　　

青色が壁の２番目の式で、脳内フラッシュでもほぼ確認できた。なお、複素

数の極形式というものは、大学以上のレベルだと普通、さらにオイラー表示

という妙なものを使って表す。

　　　　　　ｒ（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）＝ｒ （ｅ の ｉ θ乗）　　　

ｅはネイピア数 ２．７１８・・・で、自然対数の底（てい）として有名な無理数

だ。なお、今回の黒板はまだ真面目にチェックしてないけど、上の話とは

関係ないことばかり書いてあった気がする。

（☆追記：　超伝導関連だけのような感じだ。）

美人の顔の黄金比率については、レビューの方に書く予定。

では、今週はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　宗教、科学、自然と人間～『ガリレオ２』第１話・幻惑す

　　　心の同期と「慣性の法則」～『ガリレオ２』第２話・指標す

　　　揺れ動く、見えないもの～『ガリレオ２』第３話・心聴る

　　　曲がった男のストレートな切れ味～『ガリレオ２』第４話

　　　接近することの効果と限界～『ガリレオ２』第５話

　　　閉じたものを開くこと～『ガリレオ２』第６話・密室る

　　　脇役と主役、よそおう人々～『ガリレオ２』第７話・偽装う

　　　虚像＝花火を演じる舞台としての生～『ガリレオ２』第８話・演技る

　　　エリートがみだす凡人の心の歯車～『ガリレオ２』第９話・撹乱す

　　　誰が何を救うのか～『ガリレオ２』第１０話・聖女の救済（前編）

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　『ガリレオ２』第１話の数式、誘電体のマイクロ波加熱における電力半減深度

　『ガリレオ２』第２話の数式、不覚筋動による水晶振り子の強制振動

　『ガリレオ２』第３話の数式、

　　　　　　　　　　パルス電磁波のフレイ効果による耳の奥の弾性波か

　『ガリレオ２』第４話の数式、流体中の回転ボールを曲げるマグナス効果などか

　『ガリレオ２』第５話の数式、

　　　　　　　近似のニュートン法による√２の数値解析（＆バルマー系列）

　『ガリレオ２』第７話の数式、

　　　　　　　　　　　　ロッキングチェアの慣性モーメント＆回転・直線運動か

　『ガリレオ２』第８話の数式、花火の光の入射角＆３つの像の位置関係か

　『ガリレオ２』第９話の数式、超音波による圧力・密度変化（＆ビルの高さ）

　『ガリレオ２』第１０話の数式、ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３４４７文字）