『ガリレオ２』最終回の数式、浄水器と管内の水の乱流＆層流

（☆１４年２月１７日追記：　映画の数式記事をアップ。

　　ガリレオ『真夏の方程式』の数式、水ロケットの飛距離、初速度、発射角　）

（☆６月２６日追記：　新シリーズ最終回のレビューをアップ。

　　スイングバイによる軌道修正～『ガリレオ２』最終回・聖女の救済（後編）　）

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流石は新シリーズの最終回☆　エンドロールではなくドラマの中で、湯川学

（福山雅治）が書いた数式をすべてハッキリ映したのは、これが最初で最

後。６本ではなく、７本（！）の数式を完全に読み取れたけど、私は今、体

調が最悪だし、いくら何でもテレビやブログに時間をかけ過ぎてる。妥協し

て、７本中の５本の説明だけで終わりにしよう。

それらは全て、毎度お馴染みの物理学（流体力学）の数式だけど、今回

はむしろ、黒板に書かれてたヒ素の化学反応式が気になった。後で余裕

が出来たら、追記するかも知れない。ま、ガリレオのファンには、物理系

の人が目立つから、化学の話だと検索アクセスは少なそうだけど♪

（☆６月２９日追記：　私の録画した箇所だと、黒板の左側が見えなかった

　　　　　　　　　　　　　けど、最初の化学反応式は以下の通りか？　等号

　　　　　　　　　　　　　「＝」ではなく矢印「→」が正しいと思うけど。検索して

　　　　　　　　　　　　　も、意外なほど情報が見当たらないのは、悪用を警

　　　　　　　　　　　　　戒してるからなのかね。。

　　　　　　　　　２Ｈ₃ＡｓＯ₄＋５Ｈ₂Ｓ ＝ Ａｓ₂Ｓ₃↓＋８Ｈ₂Ｏ＋２Ｓ↓　）

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７本まとめると、図が大き過ぎるし、説明もしにくいから、３本と４本に分け

てみる。まず、最初の３本について。

上の２つは、前回のエンドロールで唐突に示されたもの。２本目は、前回

の壁の映像だけだと読み取れなかったけど、今回書かれた上の式で間

違いないと思う。ただし、意味は今現在、分からない。左辺が「質量×

加速度（ｄｖ／ｄｔ）」、右辺は力の和、つまりニュートンの運動方程式だと

想像するけど、文字の定義も図もないから、ちょっと分からない。

３番目の式は「さっぱり分からない」し、右側の文字が奇妙なのだ。カッコ

を閉じる直前の、ｕの右肩にある文字は、Ｔ と 「 の中間くらいの記号で、

読むことさえ出来ないし、カッコの右側は「ｍ」かと思ったら「ｉ ｎ」（イン）。

書き間違いでなければ、これまた意味不明だ。

ただし、１本目は既に先週、解決してある。当初は、前回の実験を考えて、

「ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か」と思ってたんだけど、実は

「乱流」、乱れた流れの式だった。前回の記事の追記とかなりカブる内容

だが、一応こちらにも書いとこう。

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あれは、乱流（普通にある複雑な流れ）におけるレイノルズ応力（≒乱流

粘性応力）の一部の計算式。まず、ポットのお湯、浄水器の水などを、非

常に微小な立方体へと分割、ただし、面が座標軸と平行になるようにす

る。ｘ軸の正の向きの面において、ｙ軸方向（横とか上とか）に働く、ずら

す力（＝せん断応力）を求めてるのだ。ちなみに、ずらすのではなく、真っ

直ぐ押したり引っ張ったりする力は、垂直応力と呼ばれる。

ここで、あらためて１本目の式だけ再掲しとこう。

ρ（ロー）は水の密度（一定だと仮定）。ｕ´は、ｘ方向の変動速度（＝速度

－平均速度）。ｖ´はｙ方向の変動速度。ｌ（エル）は「混合距離」。「混合」

（ｍｉｘｉｎｇ）と呼ぶ理由は、音楽の世界のミキシングみたいに、色んな要素

を上手く調整して、混ぜ合わせてるからだと思う。要するに、微小な部分

が同じ物理的性質を保ちつつ移動できる微小な距離のこと。ｌ だけ動い

た後で初めて性質が変わるとすれば、話を単純化できる。

プラントルという学者の近似的な仮説で、わりと上手く現実に当てはま

るらしい（実証例は未確認）。気体分子運動論における平均自由行程

（まったく邪魔されずに動ける距離）みたいなもののようだ。

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ｄｕのｕはｘ方向の速度。２つ並んでるｄｕ／ｄｙの左側だけ絶対値記号がつ

いてる理由は、プラス・マイナスの符号の調整らしいけど、まだ納得できて

ない。あちこちに簡単な説明はあるけど、それぞれ別の説明になってるし、

式の出し方も違うのだ。

右端の辺は、ブシネスク（またはブシネ）という学者の応力理論で、μｔ

（ミュー・ティー）は渦粘度とか乱流粘性係数とか呼ばれるもの。添え字

の「ｔ」は、乱流（ｔｕｒｂｕｌｅｎｔ　ｆｌｏｗ）の頭文字か。結局、右側の等号（＝）

で、プラントルとブシネスクの理論をつないでるわけだ。　　　　

この「せん断応力」は、流体力学の基本概念でもあるし、前回の実験の

ポットの中で、ゼラチン絵の具をはがして拡散する力にもなると思う。ポッ

トの内側に貼り付けたゼラチンは、押しても動かないし、引っ張る力は小

さくて無視できるだろうから、結局は、ずらす力、つまり、せん断応力が問

題となるだろう。

今回のヒ素の仕掛けとの直接的関連は、よく分からない。映像がハッキ

リ見えなかったし、あそこは録画もしてなかったからだ。少なくとも、ゼラ

チンの貼り付けとはかなり違うやり方だったと思う。。

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一方、今回の式の後半、４本目～７本目は次の通り。２段目が、左右で

２つの式に分かれてる。湯川＝福山の書きなぐりだと、式の切れ目が少

ししか無かったから、最初は「変な式変形だな」と感じてしまった。　　　　

４本目、つまり上の１段目の式は、乱流ではなく、整った「層流」（ｌａｍｉｎａｒ

　ｆｌｏｗ）の「流量」Ｑを求める式。水道管やホースみたいな円管をゆっくり水

が流れる場合の話で、πは円周率、Ｒは半径、ｕは速度、ｐは圧力、ｘは管

の中央に取った軸。Δｐは微小な圧力変化、ｌ（エル）は（短い？）管の長さ

だろう。

５本目、つまり２段目の左側は、４本目を断面積πＲ²で割った式で、断面の

単位面積当たりの平均流速Ｖを求めてる。右端のＵ₀は、管の中心の最大

流速のことで、その半分が平均流速Ｖになるようだ。管の中央のスピードが

そんなに速いとは、ちょっと意外な気がする。ちなみにレイノルズは、色素

を流す実験で観察して、理論化したらしい。

６本目、つまり２段目の右側は、これまで何度も黒板に書かれてた気がす

る「レイノルズ数」Ｒｅの式。レイノルズは１９世紀後半に活躍した有名な学

者だ（アイルランド出身、英国籍）。

ρ（ロー）は密度、ｖ（ブイ）は平均速度、ｄは流れる距離、μ（ミュー）は粘性

係数、ν（ニュー）は動粘性係数（＝μ／ρ）。どこにでも載ってる、基本的

な式だ。このレイノルズ数Ｒｅが小さい（つまり粘り気が強くて速度が遅い）流

れは、整った層流。Ｒｅが大きい流れは、乱流になる。円管の場合、その境

目となるＲｅは２３００～４０００らしい（ウィキペディア）。

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７本目は、時間ｔで速度ｕを微分してるのだから、加速度の式だろうが、とり

あえず意味不明。ただ、直前の３本がわりと簡単だから、これも簡単な式

なんだろうと想像している。

あっ、分かった！　前に記事も書いてる、有名なナヴィエ・ストークス方程式

だ。非－圧縮性で、粘性率が一定の場合の形ね。それなら右辺の第１項の

「ｕ・∇」は、丸カッコでくくる方が普通だけど、省略しても結果的に同じになる

わけか。ｖ（ブイ）と書いてしまったのは私の（？）間違いで、実は動粘性係数

ν（ニュー）だね。Ｓｐは力。どうしてＳｐなんて記号を使うのかは不明。

ちなみに、物理でよく見る記号「∇」（ナブラ）は、３回まとめて偏微分するた

めの演算記号で、（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ，∂／∂ｚ）のこと。∇²だと、∇同士

の内積∇・∇、つまり、（∂²／∂ｘ²）＋（∂²／∂ｙ²）＋（∂²／∂ｚ²）となる。こ

れはラプラス演算子（ｏｒ作用素）とも呼ばれ、上に尖った記号「△」で表す

こともある。

風邪がひどいので、今夜はもう限界。レビューは明日か明後日にアップの

予定。ではまた。。☆彡

ｃｆ．　宗教、科学、自然と人間～『ガリレオ２』第１話・幻惑す

　　　心の同期と「慣性の法則」～『ガリレオ２』第２話・指標す

　　　揺れ動く、見えないもの～『ガリレオ２』第３話・心聴る

　　　曲がった男のストレートな切れ味～『ガリレオ２』第４話

　　　接近することの効果と限界～『ガリレオ２』第５話

　　　閉じたものを開くこと～『ガリレオ２』第６話

　　　脇役と主役、よそおう人々～『ガリレオ２』第７話

　　　虚像＝花火を演じる舞台としての生～『ガリレオ２』第８話・演技る

　　　エリートがみだす凡人の心の歯車～『ガリレオ２』第９話・撹乱す

　　　誰が何を救うのか～『ガリレオ２』第１０話・聖女の救済（前編）

　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　　

　　　男子の中で泣く女～『ガリレオＸＸ・内海薫』愚弄（もてあそ）ぶ

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　『ガリレオ２』第１話の数式、誘電体のマイクロ波加熱における電力半減深度

　『ガリレオ２』第２話の数式、不覚筋動による水晶振り子の強制振動

　『ガリレオ２』第３話の数式、

　　　　　　　　　　パルス電磁波のフレイ効果による耳の奥の弾性波か

　『ガリレオ２』第４話の数式、流体中の回転ボールを曲げるマグナス効果などか

　『ガリレオ２』第５話の数式、

　　　　　　　近似のニュートン法による√２の数値解析（＆バルマー系列）

　『ガリレオ２』第６話の数式、

　　　　　　　　　　　　　ホログラム記録＆再生における光波の複素数表示

　『ガリレオ２』第７話の数式、

　　　　　　　　　　　　ロッキングチェアの慣性モーメント＆回転・直線運動か

　『ガリレオ２』第８話の数式、花火の光の入射角＆３つの像の位置関係か

　『ガリレオ２』第９話の数式、超音波による圧力・密度変化（＆ビルの高さ）

　『ガリレオ２』第１０話の数式、ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か

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