« 『ためしてガッテン』炭酸特集&雨の直前に僅かなジョグ | トップページ | 風邪は9割回復♪&眠過ぎて2駅乗り過ごした金曜夜・・ »

n次元の球の体積(帰納法による証明)と、cosθのn乗の部分積分

4年ちょっと前に書いた記事、「4次元の球の体積」に、一般的な解説を望

むコメントを頂いたので、「n次元の球の体積」について簡単にまとめとこう。

     

ちなみに、普通の立体の球は「3次元の球」、円板は「2次元の球」だ。一般

に、 x₁²+x₂²+・・・+(x n)² ≦ r² が表す領域を、原点中心、半径 r の

n次元球とみなす。数学における理論的な決め事であって、「1次元の球」と

は、長さ(=体積) 2r の線分になる。

          

そもそも、この球の概念が大学レベルだから、結論(=体積の式)も大学レ

ベルのΓ(ガンマ)関数を使って表してる場合が少なくないけど、結論も証

明も、高校3年の数Ⅲレベル+α程度で十分対応できるもの。

         

ただし、重積累次積というものについて、最低限の知識は必要なの

で、知らない方は、前の記事「4次元の球の体積」で、サラッと確認しておく

ことをお勧めしよう。n次元の話をするのだから、4次元が最初の関門であ

り、準備体操でもあるのだ。。

         

     

           ☆          ☆          ☆

n次元の球の体積とは、球の内部領域において、単位1を「重積分」したもの

と定義されている(n次)。例えば3次元なら、 ∬∫dx dy dzで、積分領域は

x²+y²+z² ≦ r² だ。領域は本来、右端の∫の右下に書き添える。実際に計

算する時には、普通の積分3回を順に行う「次積分」を使うのが基本。も

ちろん、それに少し工夫を加えることもある。

    

では、時間も無いので、まず示すべき式を挙げた後、広義の自然数n(0

を含む)に関する帰納法で簡単に証明しよう。完全な解答はあまりに冗長

だし、個々の式も長過ぎるのだ。この程度の説明でも、ネットだと意外なほ

ど見当たらないと思う。

     

なお、0次元の球の体積は、積分できないので、便宜上、1と決めておく。

単に、値をキレイに統一するための決め事だ。不自然だと思ったら、別に

外しても影響ない。帰納法のスタート地点がn=1へと変わるだけの事だ。。

     

    

          ☆          ☆          ☆

まず、予備作業として、cosⁿθの積分を求めておく。有名な話だから、ご存

知の方は飛ばしても結構。ここでは一応、部分積分で示してみる。似たよう

な説明はあちこちにあるだろうが、nの範囲には繊細な注意が必要なので、

念のため。ちなみに、sinⁿθの積分についても、全く同じ値になる。

        

以下、次の定積分の値を証明しよう。

        

130705f

    

まず不定積分で I n =∫cosⁿθ dθ (n≧0) とおくと、 n≧2 の時

    

130705g

     

この最後の式を1回使うごとに、nの値を2つずつ小さくして行くことが出来る。

よって、 nが2以上の偶数の場合、nを繰返し小さくして行けば、

        

130705h

   

一方、nが3以上の奇数の場合、同様に変形すると、結果が少し違って、

      

130705i

     

以上で、最初に上げた定積分の値が正しいことが証明された。

                               (Q.E.D. 証明終了)

                      

        

           

          ☆          ☆          ☆

では次に、本題の球の体積に向かおう。0以上の自然数nについて、2n次

元と、2n+1次元の球(半径 r)の体積は、次の式になる。要するに、上側

が偶数の場合、下側が奇数の場合だ。やや高級なΓ(ガンマ)関数を用い

ない場合、2通りを分けることになる。

         

130705a

  

以下、上式2つのペアを、nに関する帰納法で証明する。 

      

まず、n=0の時、上式は  

     V₀(r)=1 , V₁(r)=2r

となるので、確かに正しい

    

次に、n=kの時、上式が成立すると仮定すると、

   

130705b_2

    

ちなみに上側の式は以下で使わないが、形を整えるために書き添えてある。

さて、この時、n=k+1の場合について、球の体積の定義(=重積分)にし

たがって考えると、   

     

130705c_2

     

    

130705d_2

     

   

よって、n=k+1の時にも、与えられた式の前半、つまり偶数次元の球の

体積は正しい。一方、奇数次元の球の体積についても、同様の式変形で

下のように示せる。途中は省略するが、階乗(!)の変形は注意が必要だ。

        

130705e

     

よって、n=k+1の時にも、与えられた2本の式は正しい

以上より、0以上のすべての自然数nについて、2n次元と2n+1次元の球

の体積は、最初の2本の式で表される。

   

                            (Q.E.D. 証明終了)

    

     ゛  

         ☆          ☆          ☆

なお、Γ(ガンマ)関数用いた場合は、偶数と奇数を分けずに、球の体積

を表せる。

    

   Vn(r)={πの(n/2)乗} rⁿ / Γ((n/2)+1)

      

ちなみに、ガンマ関数定義は、次の「広義積分」(無限大までの区間

における定積分)だ。x と t が絡み合ってることもあって、分かりにくいが、

実は大学入試問題の元ネタとして密かに使われてるものだ。いずれまた、

別記事を書くかも知れない。

    

  Γ(x)=∫(tのx-1乗)・(eの-t乗) dt  (0 < t < ∞) (x>0)

  

定義を拡張すれば、x<0の場合にも使えるが、それは更に高級な話に

なる。ひとまず、今日はこの辺で。。☆彡

   

      

              

cf. 4次元の球の体積

     ・・・・・・・・・・

   『Q.E.D.証明終了』のタイトルバック、n次元の球の体積

   『Q.E.D.証明終了』のタイトルバック2、球の体積の重積分     

      

            (本文1987字+挿入図1000字程度  計2987字)

| |

« 『ためしてガッテン』炭酸特集&雨の直前に僅かなジョグ | トップページ | 風邪は9割回復♪&眠過ぎて2駅乗り過ごした金曜夜・・ »

数学」カテゴリの記事

コメント

ご返答ありがとうございました
まさかここまで早く対応していただけるとは(^-^;

また数学、物理関係でわからないことがあったら
質問させていただきたいと思います

投稿: お味噌汁 | 2013年7月 7日 (日) 01時27分

> お味噌汁 さん
     
こんばんは。ご丁寧にどうもです♪
  
先日も書きましたが、たまたま久々に数学記事を
書こうかなと思ってた所だったから、
直ちにサラッと応答することになりました。
9割前後は単なる偶然の賜物だと思ってください♪
  
質問や要望のコメントというのは、たまに頂いてます。
1週間以内に記事を書くこともありますが、
最低限のコメント・レスで済ませたり、無期限の
引き延ばしになることも当然あります。
特に、話が難しくて、他の読者もほとんどいないと
思われるような場合ですね。
   
という訳で、期待するお気持ちは嬉しいのですが、
基本的には、質問サイトや大学の先生をお勧めしときます。
ウチの順位は、その次の次の次くらいってことで(笑)。
  
ちなみに僕自身は、自力で解決するか、信頼できそうな
サイトを利用するか、どちらかです。
後は、ごくたまに、詳しい友達に「確認する」ことも
ありますが、単なる確認に過ぎません。
     
ネットというのは、ある意味便利ですが、
遥かに便利なのは、自分自身の力でしょう。
それでは、大学生活がんばって下さい。。

投稿: テンメイ | 2013年7月 7日 (日) 22時52分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



« 『ためしてガッテン』炭酸特集&雨の直前に僅かなジョグ | トップページ | 風邪は9割回復♪&眠過ぎて2駅乗り過ごした金曜夜・・ »