続・９０度システム広告～図形の式の正確な求め方（逆像法＆順像法）

昨日、８月１６日になってようやく、お盆前の仕事が一通り片付いたから、

ここで１本、手短な数学記事を書いとこう。１年近く前に書いた、サッカー

競技場の不思議な広告の記事にアクセスが続いてるから、その続編だ。

前に書いた記事は、次の通り。

　　　９０°システム広告とは～サッカー場・ゴール脇の錯視図形の計算

ゴールの横の地面に布（？）みたいな広告を置いて、斜め上方からテレビカ

メラの望遠レンズで映すと、まるでゴール横に看板が直立してるように見え

る。実際には地面に広げてるだけだから、選手は安全に飛び越えることが

できるのだ。その布の形を計算で求める際、前回の記事では、布のポイント

となる２点の位置だけ求めて、後は直感的に処理してある。

それでも答は正しいのだが、今回は高校の空間図形の知識を使って、完全

な数式処理を示してみよう。レベル的には、カリキュラムにもよるが、高校２

年のやや上といった感じで、理系でなくても十分理解できる話だ。微分も積

分も、三角関数も対数も使わない代わりに、不等式の計算が少しある。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　まず、前回の記事

　の図を３枚、再掲

　しておく。簡単の

　ため、左のような

　数値設定にしてる

　が、実際のカメラ

　はもっと遠くにあ

るし、仮想（バーチャル）の看板ももっと大きい。

　２枚目は真横から、つま

　り上図の右側から見たも

　の。赤い部分が、地面に

　広げて置いてる四辺形の

　布だ。結局、テレビ画面

　で直立して見える仮想の

　看板は左右４ｍ、縦２ｍ

　という設定にしてある。　

　ということは、カメラの真

　下の地面を原点として、

右向きにｘ軸、図の上向きにｙ軸、地面の上向きにｚ軸をとると（単位 ｍ）、仮

想看板を表す式は次の通りになる。

　　　８≦ｘ≦１２，　ｙ＝８，　０≦ｚ≦２　・・・・・・　①

　一方、実際に地面に広げる

　布の形は左のような図形で、

　上下の２辺が平行な、不等

　辺四角形。これを表す式を

　正確に数式変形で求めたいわ

　けだが、答を先に書いとこう。

　　　　（２／３）ｘ≦ｙ≦ｘ，　８≦ｙ≦１０，　ｚ＝０　・・・・・・　②

したがって以下では、①から②を導出することになる。参考までに書き添え

ると、不等辺四角形の上辺が ｙ＝１０、下辺が ｙ＝８、右辺が ｙ＝（２／３）ｘ、

左辺が ｙ＝ｘ。もちろん、すべて地面だから、ｚ＝０。というわけで、②式の正

しさが分かるだろう。

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ではまず、いわゆる「逆像法」を用いてみる。この言葉は知らない人も多い

だろうが、やり方は高校の標準レベルにすぎない。

つまり、図形Ａ（ここでは仮想看板）を変換した図形Ｂ（ここでは布）を求め

る際、「Ｂの点に対応するＡの点（＝逆像）」がＡの条件（＝Ａの式）をみたす

ための、Ｂの点の条件（＝Ｂの式）を求めるわけだ。Ａ→Ｂの変換なのに、

Ｂ→Ａの順に考えていくことになる。この方が解きやすいことがよくあるのだ。

では、やってみよう。　

カメラの位置を表す点（０．０．１０）と、地面の布上の点（Ｘ，Ｙ，０）を結ぶ直

線の式は、媒介変数（パラメーター） ｔ を用いると、次の通り。

　　（ｘ，ｙ．ｚ） ＝ （０．０．１０）＋ｔ（Ｘ，Ｙ，－１０）

　　　　　　　　 ＝ （ ｔＸ，ｔＹ，－１０ｔ＋１０ ）

対応する仮想看板の点（ｘ，ｙ，ｚ）は、ｙ座標が８だから、

　　　ｔＹ＝８　　　∴　ｔ ＝ ８／Ｙ

直線の式に代入して、仮想看板の点の座標を求めると、

　　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ ８Ｘ／Ｙ，８，（－８０／Ｙ）＋１０）

これが、看板の条件である式①をみたすための条件は、

　　　８≦８Ｘ／Ｙ≦１２，　０≦（－８０／Ｙ）＋１０≦２

　　∴　（２／３）Ｘ≦Ｙ≦Ｘ，　８≦Ｙ≦１０

これが布の条件だから、ｚ座標が０だということも含めて、布の式は

　　　　　（２／３）ｘ≦ｙ≦ｘ，　８≦ｙ≦１０，　ｚ＝０

Ｘ，Ｙをｘ，ｙと書き直すことで、確かに②を求めることが出来た。

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一方、いわゆる「順像法」では、ごく普通に、仮想看板の側から考えて行く。

仮想看板上の点（Ｘ，８，Ｚ）とカメラを表す点（０．０．１０）を結ぶ直線の式は

　　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０．１０）＋ｔ（Ｘ，８，Ｚ－１０）

　　　　　　　　　＝（ ｔＸ，８ｔ，ｔ（Ｚ－１０）＋１０ ）

対応する布上の点（ｘ，ｙ．ｚ）は、ｚ座標が０だから、

　　　　ｔ（Ｚ－１０）＋１０＝０　　　∴　ｔ＝－１０／（Ｚ－１０）

直線の式に代入して、布上の点の座標を求めると、

　　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（－１０Ｘ／（Ｚ－１０），－８０／（Ｚ－１０），０）　・・・・・・③

ここで、看板の条件である式①の（ｘ，ｙ）を（Ｘ，Ｙ）と書き換えた式

　　　８≦Ｘ≦１２，　０≦Ｚ≦２　・・・・・・①´

を用いれば、

　　　（２／３）ｘ≦ｙ≦ｘ，　８≦ｙ≦１０，　ｚ＝０　・・・・・・②

を導くことができる。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ただ、③と①´から②を「論理的に」導くには、多少の力が必要で、だからこ

そ、この問題でも、順像法より逆像法の方が上手いのだ。③と①´から②を

導く正確な変形は、各自お試しあれ♪

私は今、世界陸上・男子マラソンの終盤を見ながら興奮してるもんで♪　な

お、ここ最近は、数学甲子園の記事へのアクセスが目立ってる。各地で予

選が始まったようだ。それでは、また明日。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２０３５文字）