確率の面白い謎（パラドクス）、「２つの封筒問題」にハマりかけて♪

（１５日） ＢＩＫＥ ３５．２ｋｍ，１時間２２分，平均心拍１２３

ダメだ。。どうしても、美青年のニュー・アルバム『Ａ　ＮＵＤＥ』のロゴ問題が

解決しない。「Ａ」の横棒が、美脚女性のスカート（みたいな布）の裾には見

えないのだ。。

・・・っていう、視覚的かつ人文・社会的な話はさておき、数学のシンプルな

問題が非常に厄介なことを知ってしまった。以前、プレゼントが隠された３つ

のドアから１つを選ぶ「モンティホール問題」を扱った時にも感じたけど、やっ

ぱり確率の分野は怖いね。直感的に当たり前だと思ったことが、実はそうで

なかったりする。

まずは、元のネット記事（後述）から、引用させて頂こう。すごく簡単な設定

で面白いから、数学が苦手な方も含めて、皆さんお試しあれ♪

　　　２種類の小切手があり、１つの小切手には他方の４倍の金額が書き

　　　込まれている。中身が分からないようにそれぞれ封筒に入れられ、

　　　あなたはどちらか１つを選ぶことができる。

　　　封筒を開けると１０万円の小切手が入っていた。もし不満なら残りの

　　　封筒と交換できるルールだったら、あなたは交換する？しない？

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

私がたまたま最初にネットで見たのは、『マイナビ』の連載記事「もしも科学

シリーズ」の５６本目、「もしもパラドックスに悩まされたら」だった。簡潔にま

とめた理系のコネタ記事で、執筆は関口寿／ガリレオワークス。数学系で

はなく、物理系の方だと想像する。　　

記事の前半は例のモンティホール問題。３つのドアの代わりに、３枚のカー

ドから辺りを選ぶ設定にしてあった。記事の後半が、２種類の小切手入り、

２つの封筒問題（ｔｗｏ　ｅｎｖｅｌｏｐｅｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ）、または封筒パラドクスだ。

話のポイントは、無限と現実性だろう。ちなみに「パラドクス」（ｐａｒａｄｏｘ）とは、

「一見、論理的に奇妙（特に矛盾）だと思われる話や事態」を広く指す言葉。

「逆説」と訳されることも多いけど、むしろ「変な話」と訳す方が近いと思う。

一文字で訳すなら、「謎」。頭がウニになりそうな、超～変で不思議な理屈の

ことで、実は意外と身近な所に転がってたリするのだ。。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ちなみに小切手というのは普通の人にとって身近ではないけど、現金だと

封筒の膨らみから推測できてしまうから、ちょっとマズイ。

たとえば、もう一つの封筒が非常に薄くて、たかが５枚の紙幣しか入ってな

さそうだったら、日本だと多くても５万円にしかならない。４倍ルールを考える

と、１万円札２枚と５０００円札１枚で、合計２５０００円だと判断できてしまう。

ただし、巨大な小包とか部屋（笑）であれば、現金でもほぼＯＫだ♪

さて、これは個人の行動選択だから、色んな考えがあるだろう。例えば、１０

万円でもう満足だから余計な交換せずに勝ち逃げする、とか、４０万円に目

が眩むとか。それは当たり前として、数学的・論理的に考えると、封筒を交換

するのとしないのと、どちらが合理的か。

この話は、金額の設定が４倍だろうが２倍だろうが、同じこと。英語版ウィキ

ペディアの冒頭には、２倍と現金（ｍｏｎｅｙ）で書いてあった（日本のウィキに

は項目が無い）。まずフツーに思い付きそうな２つの考えを挙げてみる。特に

「解答例１」のような考えが一番普通だろう。

　　　（解答例１）　交換すると、４０万円になる確率と２５０００円になる確率が

　　　　　　　　　　　半々だから、

　　　　　　　　　　　（期待値）＝（４０００００×１／２）＋（２５０００×１／２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２１２５００　（円）

　　　　　　　　　　　手持ちの１０万円より遥か上だから、交換した方が得だ。

　　　（解答例２）　別の部屋（情報のやり取りが出来ない場所）にもう１人の

　　　　　　　　　　　参加者がいて、もう片方の封筒を手にしてると考えると、そ

　　　　　　　　　　　の中の小切手がいくらになってたとしても、同様の理屈で

　　　　　　　　　　　「交換した方が得」になってしまう。

　　　　　　　　　　　お互いに相手の方が得のように思ってるわけで、これは

　　　　　　　　　　　主観的な錯覚にすぎない（「隣の芝生は青く見える」）。

　　　　　　　　　　　よって、交換してもしなくても同じことだ。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

これに対する、元の記事の正答は、説明があまり上手くないし、結論もハッ

キリ書いてないという欠点がある。それでも、１つの数学的立場であって、

要するに結論は、「交換してもしなくても同じ」、ということなのだ。

ポイントは、もう一つの封筒の小切手が２５０００円である確率と４０万円であ

る確率が半々（＝１／２）とは限らない、ということだ。よって、上の解答例１

の期待値計算は使えない。この点に関しては、青山学院大・美添泰人教授

の専門的論文（ｐｄｆファイル）でも同様。なかなか考えにくいし、正しいかどう

かの判定も迷うけど、それなりの理屈は通ってる。

マイナビの説明は非常に簡潔。もう一つの封筒の小切手が２５０００円であ

る確率を ｘ ％、４０万円である確率を１００－ｘ ％として、そこから方程式を

立てて、ｘ＝８０（％）を導いてるのだ。以下、私の解釈で説明を分かりやす

く書き直してみよう。

最初に１０万円の封筒を選択する前に、小切手２枚が２５０００円と１０万円

（平均６２５００円）であった確率がｘ％（＝ｘ／１００）、１０万円と４０万円（平

均２５万円）であった確率が１００－ｘ％（＝１－ｘ／１００）ということだから、

　　　（最初の封筒選択による期待値）

　　　　　　＝６２５００×（ｘ／１００）＋２５００００×（１－ｘ／１００）　（円）

２枚の額の平均を使うのが嫌なら、確率を半々に分けて１枚ずつ計算して

も同じになる。実際の選択の結果は１０万円だったから、上の式の期待値

を１０００００として、方程式を立てて解くと、

　　　　１０００００＝６２５００×（ｘ／１００）＋２５００００×（１－ｘ／１００）

　　∴　１０００００＝６２５ｘ＋２５００００－２５００ｘ

　　∴　１８７５ｘ＝１５００００

　　∴　ｘ＝８０　（％）

よって、仮に１０万円の封筒を交換する場合、２５０００円になる確率は

８０／１００＝０．８。また、４０万円になる確率は１－０．８＝０．２だから、

　　　（交換後の期待値）＝２５０００×０．８＋４０００００×０．２

　　　　　　　　　　　　　　　＝１０００００　（円）

つまり、交換前の１０万円と同じになる。だから、交換してもしなくても同じ事、

という理屈だ。　　　　　

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

多少、数学になれてる人なら直ちに、ｘ＝８０（％）を求める方程式や、その

確率の使い方がちょっと引っ掛かる所だろう。

８０％というのは、最初の封筒に１０万円が入ってた事実から遡って推測した

元の確率であって、ベイズの確率論的に「事後確率」と呼ばれるものだが、

元のマイナビの筆者は「事前確率」と書いてしまってる。まあ、「事後から計

算して求めた、事前の状態の確率」という意味かも知れないけど、この辺り

の理解が不十分ではないか、あらためて疑問も感じるわけだ。

そもそも、この８０％というのは何を指す推測値なのか。現実的な実験や統

計データとの対応も厄介だ。２５０００円と１０万円の封筒で８００セット、１０

万円と４０万円の封筒で２００セット、合計１０００セットをランダムにかき混ぜ

て大量の回数の実験を行い、最初に選んだ封筒の額の平均を取ると、ほぼ

１０万円になる（限りなく近づく）。これが、確率と統計をつなぐ「大数の法則」

的な発想だろう。

でも、８００セットと２００セット以外の組合せや比率で実験しても、最初に選

んだ額が１０万円になることはいくらでもあるはず。無限の組合せ（例えば、

半々で５００セットずつ）があるから、実験も出来ない（または、しにくい）し、

最終的な結論（封筒を交換すべきかどうか）も非常に出しにくい。「ランダム

（でたらめ、無作為）」に様々な組合せで実験するとしても、ランダムさの設

定に迷うわけだ。ほとんど誰もが納得する設定は、不可能だろう。

英語版ウィキでは、問題自体が色んな点でバラついてる事を指摘してるし

（金額を見て交換するのか、見ずに交換するのか、等々）、今現在、正しい

と広く認められた解答は存在しない、と書いてる。多くの論者は、自分は解

決したとか、簡単だと書いてるが、実際には異なる様々な考えが共存（また

は乱立）してるわけだ。

私としては、とりあえず今ハマるのは回避しよう♪　確率や期待値の定義、

あるいは現実との対応も含めて、ずいぶん難しい話だということが分かった

だけでも十分だ。もちろん、この問題の人気を知った後でも、現実にこんな

選択を迫られる確率はほとんどゼロだろうと予想するしね。

万が一、選択を迫られたら、私は交換する。もちろん、損の可能性もある

けど、得か同じか、どちらかだとする予測理論が有力なんだから。これは、

必ずしも数学的ではないけど、一応論理的な（筋道立った）行動だろう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

時間が無くなったので、自転車については一言だけ。昨日は、台風１８号

の雨が降り始める直前、まだ暗いうちに走って来た。今度こそランニング

にしようと思ってたのに、気温２８度と湿度９０％の悪条件でくじけたわけ♪

前日が、平均心拍わずか１１０のお気楽モードだから、最初から少し気を引

き締めて走ったら、スピードも１割弱上がったし、途中でポタポタ、汗も落ちた。

と言っても、たかが心拍１２３だし、ランナーの皆さんには申し訳なかったけど

(^^ゞ　いやぁ、意外なほど大勢走ってたのだ。みんな真面目に、台風の前に

走ったわけね。超蒸し暑い中で。。

今日の夜には雨が上がるらしいから、出来ればランニングしたいけど、何か

予定があったっけ？（笑）　私の夏＝サマーはもう乗鞍で終わったしね♪

では、また明日。。☆彡

ｃｆ．　全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪　（モンティ・ホール問題）

　　　ベルトランの箱のパラドクス～フランス語原文と日本語訳、確率の計算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３８９６文字）