数学甲子園２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

（☆１５年９月１９日の追記：　関連する最新記事をアップ。

　　　　　　　数学甲子園２０１５、全２０問の問題、解き方、感想　）

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公式ＨＰでの公開から既に１８日も経ってしまってるが、数学甲子園２０１３

（第６回・全国数学選手権大会）の予選問題を見たので、軽い記事を１本書

いとこう。去年の数学甲子園２０１２と同じく、２０問中に１問だけ、オヤッと

思わせる問いが入ってた。ジャンルも同じ、整数問題。

他の１９問は、出場者なら楽勝がフツーだろうから、この１問が勝敗の分か

れ目と言うか、ハッキリ実力差が出る問題だと思う。出典は、日本数学検定

協会が９月１０日に公式サイトで公開したｐｄｆファイル。ただし、下の式は一

応、自分でＷｏｒｄで打ち直した。

　　問題１５　次の等式を満たす整数ｘ、ｙ、ｚの組（ｘ，ｙ，ｚ）をすべて求めなさい。　

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左辺のｘ、ｙ、ｚの右肩にある指数６がもし３であれば、反射的に「左辺－右辺

＝０」と変形して、因数分解の公式を使ってみる所だろう。それは自然な発想

だし、その流れでこの問題を解くことも一応可能。

ただ、因数分解はさほど効果的ではないから、むしろ

　　　（相加平均）≧（相乗平均）

の関係を用いた方がスマートに解ける。元の左辺が和（足し算）、右辺が積

（掛け算）の形だから、これも自然な発想だ。

いずれにせよ整数問題だから、簡単な解なら見つけやすいし（例えば

（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０，０），（１，１，１））、ある程度、範囲を絞り込めば、後は

１つ１つ数え上げながら調べることが可能になる。

予選は１問平均３分で答のみを書く形式だから、おそらくかなりの高校生

は、実際に０とか１といった簡単な数を代入して調べたんだろう。さほど自

分の答に自信は持てなくても、それで（たまたま）正解に到達できた人が

少なくないと思われる。

なお、以下の解答例は、何も参照してない私個人のものなので、もっと上

手い解答があるかも知れない。その辺りは、ネットその他にお任せしよう。。

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（解答）　まず、ｘ＝０の場合、与式は、「（ｙの６乗）＋（ｚの６乗）＝０」となる。

　　　　　よって、ｙ＝ｚ＝０。　∴　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０．０）

　　　　　ｙ＝０の場合や、ｚ＝０の場合を考えても同じ答のみが出るから、

　　　　　以下では、ｘ、ｙ，ｚ、いずれも０でない場合を考える。

　　　　　０より大きい３つの正の整数、ｘの６乗、ｙの６乗、ｚの６乗に対して、

　　　　　「相加平均≧相乗平均」の関係より

　　　　　｛（ｘの６乗）＋（ｙの６乗）＋（ｚの６乗）｝÷３

                                 　 　　　≧ ∛￣（ｘの６乗）（ｙの６乗）（ｚの６乗）

　　　　　∴（ｘの６乗）＋（ｙの６乗）＋（ｚの６乗） ≧ ３ｘ²ｙ²ｚ²

　　　　　よって、与えられた方程式が成立する時、　３ｘｙｚ ≧ ３ｘ²ｙ²ｚ²

　　　　　　　∴　ｘｙｚ（ｘｙｚ－１） ≦ ０

　　　　　　　∴　０ ≦ ｘｙｚ ≦ １

　　　　　ｘ、ｙ、ｚは０でない整数だから、　ｘｙｚ ＝ １

　　∴　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（１，－１，－１），（－１，１，－１），（－１，－１，１）

　　　　　逆に（ｘ、ｙ、ｚ）がこれらの時、与式は確かに成立する（左辺＝右辺＝３）。

　　　　　以上より、答は次の５組ですべて。

　　　　　　　　（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ （０．０．０），（１，１，１），（１，－１，－１），

　　　　　　　　　　　　　　　　 （－１，１，－１），（－１，－１，１）

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なお、最後から４行目の「逆に・・・」という十分性のチェックは、論理的に必

須のものだが、もし「記述試験」なら、非常に忘れがちな減点ポイントだろう

（この予選は最後の答のみでいいから無関係）。

「与式が成り立つならば、（ｘ、ｙ、ｚ）は・・・・・・である」と議論を進めたのだか

ら、必要条件を求めたわけで、「逆に（ｘ，ｙ，ｚ）が・・・・・・ならば、与式は成り

立つ」という十分性のチェックをして、ようやく正解（＝方程式成立の必要十

分条件の簡単な表現）に到達するのだ。

実際には、ほとんどの人は式変形で答が出た時点で終わりにするし、その

辺りの細かい話は教師でさえ省略しがちなこと。それは「教育的配慮」とし

ては、さほど間違ってない。多くの生徒にとっては、厳密な話より大まかな

話の方が有用だし、短時間で済んで、ウケもいいのだから。

ただ、あの十分性のチェックさえ行えば、相加・相乗平均の等号成立条件

も気にせずに済むわけだ。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　四角形の外接円の半径の求め方～数学甲子園２０１４予選問題１３解説

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