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「九去法」による検算~整数の計算ミスの簡単な発見方法

心身共にあまり調子が良くない中、サラッと記事を書けるコネタを探したが、

珍しく適当なネタが見つからない。仕方無いから、また数学で書くことにしよ

う。動機が不純だから、本格的な内容ではないし、斬新さも無いけど、書き

方は私なりに工夫してるので、それなりに意味はあると思う。

    

キッカケは、たまたまネットで見つけたビジネスマン向けの記事だ。「『その

計算、間違ってますよ』と5秒で指摘するテクニック」。ダイヤモンド・オンラ

インによる配信で、著者は小杉拓也。「399×499=199201」という計

算と、「1726×125=218750」という計算が、どちらも間違ってることを

発見する簡単な手続き、「九去法」を示してる。要するに、9の倍数を次々に

消し去って、余りだけを見る方法だ。

      

あらかじめ軽いツッコミを入れると、「正しいですよ」ではなく「間違ってます

よ」という指摘しか出来ないから、実社会で役立つ可能性は非常に低いだ

ろう。指摘してもあまり感謝されないだろうし、自分の側が間違ってしまって

大恥をかく恐れもある。そもそも、検算が必要なくらいの計算なら、相手は

計算機の類(ソフト、HPも含む)を使ってるだろうから、式さえ正しければ間

違ってないはずだ。

    

要するに、間違いを指摘しようとしてコッソリ検算しても、ほとんどの場合、

「骨折り損のくたびれ儲け」(死語?♪)にしかならない。結局この話は、実

用的な話というより、数学の面白話なのだ。自分の計算チェックとしても、

今時だとまず役に立たない。計算機が無い状況で用いる、古き良き検算方

法だろう。。

    

    

         ☆          ☆          ☆

上のダイヤモンドの記事は、単に読者の興味を引いて、後は同社・同著者

の本を御覧あれという宣伝の形になってるが、ここでは理屈を説明する。

先に、3つの準備をしとこう。

      

まず、整数を9で割った余りは、整数の各ケタの足し算を9で割った余り

等しい。これは小学校くらいで聞いてる人が多いと思う。例えば、257とい

う数を考えてみよう。

    

    257=2×100+5×10+7

       =2×(99+1)+5×(9+1)+7

       =(2×99+5×9)+2+5+7

       =9×(2×11+5×1)+2+5+7

    

右辺の9×(2×11+5×1)は9で割り切れるから、結局、

   

    (257を9で割った余り)=(2+5+7を9で割った余り)

   

別の整数でも他のケタ数でも、同じ理屈が通じる。証明は簡単なので省略。

ちなみに、9で割った余りを考える時、9の倍数(=割り切れる数)は差し引

いてもいいから、

  

    (2+5+7を9で割った余り)=(5を9で割った余り)=5

    

つまり、左辺の「2+・・・+7」の部分は消し去ればいい。色んな形で9の倍

数を消し去るのが、九去法なのだ。

        

  

         ☆          ☆          ☆    

次に、掛け算を9で割った余りを、簡単に求める方法を考える。例えば、

   

   13×25=(9×1+4)×(9×2+7)

         =9×{1×(9×2+7)+4×2}+4×7

   

   ∴ (13×25を9で割った余り)

          =(4×7を9で割った余り)

          ={(13を9で割った余り)×(25を9で割った余り)

             を9で割った余り}

    

同様に考えて、

     

    (2つの数の掛け算を9で割った余り)

          =(それぞれの数を9で割った余り同士を掛け算して、

            さらに9で割った余り)

  

要するに、9で割った余りだけで掛け算すればいい、という事だ。

      

     

         ☆          ☆          ☆   

三番目に、当たり前の命題を書く所からスタートしてみよう。

    

   X=Y ならば、(Xを9で割った余り)=(Yを9で割った余り)

    

これと真偽が一致する「対偶」命題は、「ならば」の前後を逆転して、両方を

否定すればいい。

    

   (Xを9で割った余り)≠(Yを9で割った余り) ならば、X≠Y

   

ということは、2つの数(または式)それぞれを9で割った余りが違ってれば、

それら2つの数(または式)は違ってるのだ。注意が必要なのは、「余りが

同じなら、2つの数も同じ」とは言えないこと。例えば、12と21は、どちらも

9で割ると余り3だが、同じ数ではないわけだ。

         

ちなみに、「(Xを9で割った余り)=(Yを9で割った余り)」という関係を、

      X≡Y (mod 9)

と書く。これは、9を「法」とする計算において、XとYは「合同」、という意味

を示す「合同式」だが、こんな小難しい話は差し当たり必要ないだろう。。

          

    

          ☆          ☆          ☆

それでは、例の記事の2番目の計算例について、説明してみよう。

  

    1726×125=218750

    

この間違いを指摘するには、

 (1726×125を9で割った余り)≠(218750を9で割った余り) ・・・ ①

を示せばよい。

   

  (1726×125を9で割った余り)

      ={(1726を9で割った余り)×(125を9で割った余り)

          をさらに9で割った余り}

      ={(1+7+2+6を9で割った余り)×(1+2+5を9で割った余り)

          をさらに9で割った余り}

      ={(1+6を9で割った余り)×8をさらに9で割った余り}

      =(56を9で割った余り)

      =(5+6、つまり11を9で割った余り)

      =(1+1、つまり2を9で割った余り)

      =

   

一方、  (218750を9で割った余り)

          =(2+1+8+7+5+0を9で割った余り)

          =(5+0を9で割った余り)

          =

   

2≠5は明らかだから、①式が示されたことになる。よって、

    1726×125=218750

という掛け算は間違いである。。

    

    

         ☆          ☆          ☆

こんな感じで、真面目に証明しようとすると面倒だが、単なる検算なら、慣

れれば確かに5秒くらいで出来るだろう。流れだけサラッと書くなら、

     

    左辺 → (1+6)×(1+2+5) → 56 → 11 → 2

    右辺 → 5+0 → 5

    ∴ 左辺 ≠ 右辺 

        

この検算方法が、掛け算だけでなく、足し算、引き算でも使えるのはすぐ

分かるだろう。割り算の場合も、掛け算と足し算の形に直せば分かりやす

いいい。例えば

    104÷7=14余り5

という計算式のチェックなら、

    104=7×14+5

と変形した上で、両辺を9で割った余りを調べれば、間違いだと分かる。

    

    (左辺) → 1+0+4 → 5

    (右辺)→7×(1+4)+5 → 40 → 4

    ∴ (左辺)≠(右辺)

    

      

繰り返すが、実際に計算ミスを指摘しようとするのは全くお勧めできないの

で、念のため。ほとんどの場合は、ミスが見つからなくて疲れるだけ。下手

すると、自分が大恥かくか、職場にいられなくなるだろう♪ ではまた。。☆彡

    

                                   (計 2546文字)

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