循環小数0.142857・・の循環節と分数、掛け算~朝日新聞「数と科学のストーリー」
今週は残り3日で1700字しか書けなくなった (^^ゞ そこで、少ない字数で
楽しめる算数・数学の話を書こう。12月15日の朝日・朝刊で、サイエンス
ナビゲーターの桜井進が書いてた話のアレンジだ。
まず電卓で、142857に1から6までの整数(自然数)をかけてみる。
142857×1 = 142857
×2 = 285714
×3 = 428571
×4 = 571428
×5 = 714285
×6 = 857142
不思議なことに、元の6ケタの数字142857の右側のいくつかを先頭に
持って行った数が並ぶ。例えば、142857
の右側の4つ、「2857」を先頭に持って行
くと、「2857」14。つまり、142857の2倍
の答になる。
ところが、7倍した時だけは全く違って、
142857×7 = 999999
☆ ☆ ☆
ここで、1÷7という割り算を行ってみると、「循環小数」0.142857・・・となる。
「循環節」は142857、「循環節の長
さ」は6だ。
この割り算、あるいは分数1/7を、
2~6倍していくと、やはり循環小数
になり、元の循環節を並び順だけ変
えた循環節が続いて行く。これは、
上の割り算の筆算で、赤い波線部
分に、1~6の自然数(7で整数を
割った時の余りの6種)が並んでる
からだ。
上の計算を百万倍、つまり「×1000000」して整数部分だけ注目したのが
冒頭の掛け算だ。999999倍してもいい。
☆ ☆ ☆
では、冒頭の掛け算遊びが成立するような数は、142857以外にあるのか、
突っ込んで探してみよう。1÷2、1÷4、1÷5、1÷8はすぐ割り切れてダメ。
1÷3 = 0.333・・
1÷6= 0.166・・
1÷9=0.111・・
どれも、1÷7の時のような現象は起きない。「割る数」が1ケタの場合、7でな
いとダメだ。2ケタならどうかは差し当たりパス♪ 考える際には、循環小数
を分数に直す一般的方法と、素因数分解が役立つ(必要ではない)。
無限等比級数の和の公式を使わず、算数的に解くなら、
a = 0.142857142857・・・ となる分数aに対して、
1000000 a =142857.142857142857・・・
下の式から上の式を引くと、
999999 a = 142857
∴ a = 142857 / 999999
= 1/7
この分母7は、999999の素因数分解3×3×3×7×11×13×37に出
る数だ。では、99、999、9999を素因数分解すると・・・と考えて行けばいい
(下図)。今日はこの辺で ☆彡
(計 1050文字)
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コメント
iina宅でも「不思議な数142857」をブログに扱いました。
この142857は、
さらに、
142 + 857=999
14+28+57=99
続編を予定しています。
7以上の数を掛けても、あるルールに基づいているということを証明するのではなく、さいころの目を使ったゾクゾクする話題です。
投稿: iina | 2014年5月11日 (日) 10時49分
> iina さん

こんばんは。そちらのブログの告知コメントですかね。
面白い数なので、続編記事も頑張ってください。。
投稿: テンメイ | 2014年5月12日 (月) 01時20分
5の逆数の循環節は4桁
9の逆数の循環節は6桁
10の逆数の循環節は4桁
公式もあるし
投稿: | 2018年11月 5日 (月) 21時49分
> 名無しさん

はじめまして。
1/5は12進法で0.24972497・・・
1/9は2進法で0.000111000111・・・
1/10は12進法で0.124972497・・・
といったn進法の循環小数の話でしょうか。
どれも10進法の0.142857のような
変化にはなりませんが。
当サイトはコメントに名前を求めてるので、
よろしくお願いします
投稿: テンメイ | 2018年11月 6日 (火) 19時36分