循環小数０．１４２８５７・・の循環節と分数、掛け算～朝日新聞「数と科学のストーリー」

今週は残り３日で１７００字しか書けなくなった (^^ゞ　そこで、少ない字数で

楽しめる算数・数学の話を書こう。１２月１５日の朝日・朝刊で、サイエンス

ナビゲーターの桜井進が書いてた話のアレンジだ。

まず電卓で、１４２８５７に１から６までの整数（自然数）をかけてみる。

　　　１４２８５７×１ ＝ １４２８５７

　　　　　　　　　×２ ＝ ２８５７１４

　　　　　　　　　×３ ＝ ４２８５７１

　　　　　　　　　×４ ＝ ５７１４２８

　　　　　　　　　×５ ＝ ７１４２８５

　　　　　　　　　×６ ＝ ８５７１４２

不思議なことに、元の６ケタの数字１４２８５７の右側のいくつかを先頭に

　　　持って行った数が並ぶ。例えば、１４２８５７

　　　の右側の４つ、「２８５７」を先頭に持って行

　　　くと、「２８５７」１４。つまり、１４２８５７の２倍

　　　の答になる。

ところが、７倍した時だけは全く違って、

　　　１４２８５７×７ ＝ ９９９９９９

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ここで、１÷７という割り算を行ってみると、「循環小数」０．１４２８５７・・・となる。

　　「循環節」は１４２８５７、「循環節の長

　　さ」は６だ。　

　　この割り算、あるいは分数１／７を、

　　２～６倍していくと、やはり循環小数

　　になり、元の循環節を並び順だけ変

　　えた循環節が続いて行く。これは、

　　上の割り算の筆算で、赤い波線部

　　分に、１～６の自然数（７で整数を

　　割った時の余りの６種）が並んでる

　　からだ。

上の計算を百万倍、つまり「×１００００００」して整数部分だけ注目したのが

冒頭の掛け算だ。９９９９９９倍してもいい。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では、冒頭の掛け算遊びが成立するような数は、１４２８５７以外にあるのか、

突っ込んで探してみよう。１÷２、１÷４、１÷５、１÷８はすぐ割り切れてダメ。

　　　１÷３ ＝ ０．３３３・・　　

　　　１÷６＝ ０．１６６・・

　　　１÷９＝０．１１１・・

どれも、１÷７の時のような現象は起きない。「割る数」が１ケタの場合、７でな

いとダメだ。２ケタならどうかは差し当たりパス♪　考える際には、循環小数

を分数に直す一般的方法と、素因数分解が役立つ（必要ではない）。

無限等比級数の和の公式を使わず、算数的に解くなら、　　

　　　　　　　 ａ ＝ 　　　　　０．１４２８５７１４２８５７・・・　となる分数ａに対して、

１００００００ ａ ＝１４２８５７．１４２８５７１４２８５７・・・

下の式から上の式を引くと、

　９９９９９９ ａ ＝ １４２８５７

　　　　　∴　ａ ＝ １４２８５７ ／ ９９９９９９

　　　　　　　　 ＝ １／７

この分母７は、９９９９９９の素因数分解３×３×３×７×１１×１３×３７に出

る数だ。では、９９、９９９、９９９９を素因数分解すると・・・と考えて行けばいい

（下図）。今日はこの辺で ☆彡　　　　　

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