行列の基本変形、逆行列の求め方、１次方程式の解法

ここ２ヶ月の引越しパニックで、理数系の記事がほとんど書けてないから、今日

はローテーション的に数学記事にしてみよう。ただ、数学関連の本がどこに行っ

たのか、ロクに分からない状況だから、たまたま目に付いた「線形代数」の教

科書で軽く書いてみる。

斎藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）。親切丁寧とは言いにくい大学

の本格的な教科書を参照するが、この記事のレベルは高校～大学１年程度

にすぎない。あくまで具体的な例や問題に即して簡単に説明するだけだ。ち

なみに「新課程」の高校数学では、今まで数学Ｃに入ってた行列の内容が消

えてるようだから、その場合は大学１年程度ということになる。

それにしても、数学に限らずカリキュラムがかなり不安定なのは、生徒と教師

双方にとって、どうかと思う。高校のみならず、大学においても。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、以下では、高校数学の行列の基本知識は前提とする。つまり、行列と

は何か、行と列の区別、単位行列、逆行列、加法・減法・乗法などは説明し

ない。また、線形 or 線型という概念についても今回は扱わないので、あらか

じめご了承を。

話の目標は単純。次のような「３元一次方程式」を機械的かつ効率的に解く

　　方法の理解と習得

　　だ。もちろん、高

　　校の「加減法」だ

　　けでも簡単に解決

できるが、それだと無駄もあるし、理論的発展にもつながらない。

それに対して、以下のように、行列の「基本変形」によって逆行列を求め

る方法だと、行列の「標準形」とか、行列・線形変換の「階数」（ｒａｎｋ）など

の理論につながって行く（今回は指摘のみ）。　　

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ではまず、上の方程式の係数で作った３×３（３行３列）の正方行列を考える。

　　高校では２×２の正方行列

　　が中心だが、加法・減法・

　　乗法に関しては、３×３で

　　も同様。ただし逆行列の話

は、一見かなり違うように感じるだろう。もちろん後で、本質的には同様だと

分かることになる。　　　　

係数行列の逆行列が分かれば、元の１次方程式の解がすぐ求められるとい

う点は、２×２でも３×３でも同じこと。ただ、２×２だと、逆行列の簡単な公式

を使えるが、３×３の場合、やや面倒な計算になる。以下では、前述のテキス

トで最初に書いてある方法について、より丁寧かつ詳細に説明してみよう。

逆行列とは、元の行列の左から掛けても右から掛けても単位行列Ｅになるよ

うな行列であって、ここでは「左から掛けると単位行列になるような行列」と考

える。つまり、 ＸＡ＝Ｅ となるような行列Ｘだ。

左から行列を掛けるという操作は、「左基本変形」を何度か行うこと。つまり、

①ある行と他の行を入れ替える、②ある行を数倍する（０倍以外）、③ある行

に、他の行の数倍を加える（０倍でも構わないが、変化しないので無意味）。

これら、行列の「行」（横の並び）に対する簡単な操作を何回か行うことだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

そこで、左基本変形だけを行って、行列Ａを単位行列へと変形すればいい

ことになる。この時、Ａの右横に単位行列を付け加えて、３×６行列を作って

おけば、その右半分に自動的に、実行した左基本変形すべてを表す行列が

現れることになる。

　Ａはたまたま最

　初から、左上に

　１が来てるが、

　そうでない場合

　は、その数の逆

　数を掛けて１に

　すればいい。た

　だし、最初の左

　上が０の場合に

　は、第１列が０

以外の数となってる行と入れ替えた後、その数の逆数を新たな第１行に掛け

ればいい。

とにかく、左上（第１行・第１列の成分）が１となってる状態で、第２行と第３行

の第１列（左端）を０に持って行く。上では、第１行の２倍を第２行に加え、－２

倍を第３行に加えてある。この時、たまたま中央（第２行・第２列の成分）が１

となってるが、そうでない場合は、先ほどと同様の操作で１にする。

ちなみに、どうしても１にならない時は、逆行列が存在しない（＝正則でない）

場合で、元の方程式の解が不定か、存在しない場合ということだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　　話を戻すと、上図の２

　　回目の変形では、第２

　　行の－２倍を第１行に

　　加え、２倍を第３行に

　　加えてある。さらに左

　　図に進むと、まず第３

　　行の第３列を１にする

　　ために、第３行を１／２倍

　　してある。

そして最後、第３行の１倍を第１行に加え、－２倍を第２行に加えて、左半分

（元は係数行列Ａ）が単位行列Ｅになった。この時、一連の左基本変形のトー

　　タルが右半分に出て

　　来る。これこそ、

　　Ａに左から掛けて

　　単位行列となる行

列、すなわち、Ａの逆行列だ。　　

結局、元の３元１次方程式は、下のようにキレイに解けることになる。行列

と列ベクトルで表した後、両辺の左側から逆行列を掛ければいい訳だ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、３×３の正方行列に慣れてない人は、まず２×２で練習すれば分かりや

すいだろう。ちなみに、２×２の場合の逆行列を上のやり方で一般的に求める

なら、次のようになる。

　左は、行列式

　ａｄ－ｂｃが０で

　ない場合で、し

　かもａ≠０の場

　合だ。もしａ＝０

　なら、第２行と入

　れ替えればいい。

　第２行の第１列

　ｃも０なら、

　ａｄ－ｂｃ＝０と

　なってしまい、前

提を満たしてない。

　　３回目の変形（第２行

　　を「ａ／ａｄ－ｂｃ」倍）と、

　　最後の変形（第２行の

　　「－ｂ／ａ」倍を第１行

　　に加える）が少しだけ

　　面倒だが、キレイに

　　逆行列を導き出せた。

　　もちろん、４×４行列

　　でも上手く行くし、一

般にｎ×ｎで成功する。

なお、逆行列が存在しない場合や、元の行列が正方行列でない場合につ

いては、いずれ続編記事を追加する予定（☆既にアップ、下のｃｆ．にリンク

を付けた）。最後に、テキストには書かれてないが、「列」（縦の並び）を操作

する「右」基本変形で逆行列を求める方法についても、図示だけしておこう。

ＡＸ＝Ｅ となるＸを求めるわけだ。

今週は少し回復して、合計１４７７７文字となった。それでは、今日はこの辺

で。。☆彡　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ｃｆ．　行列の基本変形と１次方程式（２）～逆行列が存在しない場合など

　　　置換・互換による行列式の定義～初心者向け

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４０９文字）