２０１４センター試験、数学Ⅱ・Ｂ～第３問（数列の漸化式）、問題込みの解答・感想

（☆２０１５年１月１９日追記：　最新の関連記事をアップ。

　　　　データ分析（四分位数、箱ひげ図、相関係数）

　　　　　　　　　　　　　　　　　～２０１５センター試験・数学ⅠＡ・第３問　）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

今年も厳しい寒さの中、センター試験が終了。去年はツイッター検索をかけ

ると、国語と数学（特にⅠ・Ａ）で悲鳴が並んでたが、今年はあまり盛り上がっ

てない♪　実際、どちらも去年より易しい標準問題だった。とはいえ、志願者

は５０万人超。昨日の国語（現代文の小説）の記事にも、かなりアクセスが入っ

てるので、一応、数学も１本記事にしとこう。

元々、数学Ⅰ・Ａより数学Ⅱ・Ｂの方が苦戦するようだが、今年もそんな感じな

ので、計算量が多いとされてる第３問（数列）と第４問（空間ベクトル）をチェッ

ク。受験生にとってどちらが難しいのかよく分からないが、単なる数学好きの

私の目線だと、第４問は誘導なしでもいい、ごく普通の問題だと思う。それに

対して第３問は、誘導なしだとやや難問だろうから、こちらを記事にしてみる。

問題文はネットのあちこちで公表されてるから、ここでは問題と解答と簡単な

説明を一緒にまとめて掲載する。問題をコピー＆ペーストするのは簡単だが、

著作権がどうなのか微妙なので。ちなみに去年と同様、予備校その他の解

説は一切読まずに自力で解いたものだから、悪しからずご了承を。赤字で示

した答の部分だけは、発表されてるものと照合、正しいことを確認してある。。

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数列｛Ａn｝の初項は６であり、｛Ａn｝の階差数列は初項が９、公差が４の等差

数列である。

（１）　階差数列｛Ｐn｝において、Ｐ₁＝９，　Ｐ₂＝９＋４＝１３。

　　　　∴　Ａ₂＝Ａ₁＋Ｐ₁＝６＋９＝１５　　・・・・・・アイ

　　　　　　 Ａ₃＝Ａ₂＋Ｐ₂＝１５＋１３＝２８　　・・・・・・ウエ

　　　階差数列の第ｎ項は、　Ｐn＝９＋４（ｎ－１）＝４ｎ＋５　　・・・・・・オカ

　　　∴　Ａn＝Ａ₁＋Σ（Ｐk）（k＝１からn－１まで）

　　　　　　　 ＝６＋Σ（４k＋５）

　　　　　　　 ＝６＋４（ｎ－１）ｎ／２＋５（ｎ－１）

　　　　　　　 ＝２ｎ²＋３ｎ＋１　　・・・・・・①　キクケコ

（２）　数列｛Ｂn｝は、初項が２／５で、漸化式は

　　　　Ｂn₊₁＝｛Ａn／（Ａn₊₁－１）｝Ｂn　・・・・・・②

　　　　∴　Ｂ₂＝｛Ａ₁／（Ａ₂－１）｝Ｂ₁＝｛６／（１５－１）｝×２／５

　　　　　　　　　 ＝６／３５　　・・・・・・サシス　

　　　　以下、数列｛Ｂn｝の一般項と、初項から第ｎ項までの和Ｓnを求める。

　　　　①②より、Ｂn₊₁＝〔（２ｎ²＋３ｎ＋１）／｛２（ｎ＋１）²＋３（ｎ＋１）｝］Ｂn

　　　　　　　　　　　　　　 ＝｛（２ｎ＋１）（ｎ＋１）／（２ｎ＋５）（ｎ＋１）｝Ｂn

　　　　　　　　　　　　　　 ＝｛（２ｎ＋１）／（２ｎ＋５）｝Ｂn　　・・・・・・③　セソセタ

　　　　ここで、　Ｃn＝（２ｎ＋１）Ｂn　・・・・・・④　とおくと、

　　　　　　　　　　Ｃn₊₁＝（２ｎ＋３）Ｂn₊₁

　　　　　　∴　（２ｎ＋５）Ｃn₊₁＝（２ｎ＋３）（２ｎ＋５）Ｂn₊₁　・・・・・・チ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）Ｂn

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（２ｎ＋３）Ｃn　　・・・・・・ツ

　　　さらに、　Ｄn＝（２ｎ＋３）Ｃn　・・・・・・⑤　とおくと　　・・・・・・テ

　　　　　　　　　Ｄn₊₁＝（２ｎ＋５）Ｃn₊₁＝（２ｎ＋３）Ｃn＝Ｄn

　　　つまり、Ｄnは変化しないので、定数。

　　　ここで、　Ｄ₁＝（２・１＋３）Ｃ₁＝５×（２・１＋１）Ｂ₁

　　　　　　　　　　　　＝１５×２／５＝６　　・・・・・・ト

　　　よって一般に、　Ｄn＝６

　　　⑤に代入して、　６＝（２ｎ＋３）Ｃn　　∴　Ｃn＝６／（２ｎ＋３）

　　　④に代入して、　６／（２ｎ＋３）＝（２ｎ＋１）Ｂn

　　　　　　　　　　∴　Ｂn＝６／（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）

　　　和を求めるために、この一般項の式を変形（部分分数展開）すると、

　　　　　　　　　　　　Ｂn＝｛３／（２ｎ＋１）｝－｛３／（２ｎ＋３）｝　　・・・・・・ナニ

　　　∴　Ｓn＝Ｂ₁＋Ｂ₂＋・・・・・・＋Ｂn

　　　　　　　 ＝（３／３－３／５）＋（３／５－３／７）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋・・・・・・＋〔｛３／（２ｎ＋１）｝－｛３／（２ｎ＋３）｝〕

　　　　　　　　＝３／３－３／（２ｎ＋３）

　　　　　　　　＝２ｎ／（２ｎ＋３）　　・・・・・・ヌネノ　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（完）

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上、非常に丁寧な誘導が付いてるので、誘導尋問に素直に応答していけば

正解にたどりつける。ただ、誘導に乗れなかった受験生にとっては、意味不明

な呪文の連鎖に見えたかも知れない。

要するに、　Ｂn₊₁＝｛（２ｎ＋１）／（２ｎ＋５）｝Ｂn　という漸化式を見た時、

　　　　　　　右辺の分母を払って、　（２ｎ＋５）Ｂn₊₁＝（２ｎ＋１）Ｂn

　　　　　　　ここで両辺に２ｎ＋３を掛けるというテクニックを使いたいわけだ。

　　　　　　　それほど珍しい変形でもない。

　　　　　　　（２ｎ＋３）（２ｎ＋５）Ｂn₊₁＝（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）Ｂn

　　　　　　　∴　３・５・Ｂ₁＝５・７・Ｂ₂＝・・・・・・＝（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）Ｂn

　　　　　　　∴　３・５・２／５＝（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）Ｂn

　　　　　　　∴　Ｂn＝６／｛（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）｝

この流れで解く方が遥かに簡単だと思うし、よくある技でもあるが、誘導に

従う必要があるわけで、問題の作り方としてちょっと疑問は感じる。とはいえ、

計算も考え方も標準的な問題と言っていいだろう。

それにしても、この問題に限らず、誘導なしで問題作成する方がいいと思う

のは少数派の感覚なんだろうか。その方が個人の思考力をチェックできると

思うのだが。。ともあれ、今日はこの辺で。今週は計１７８７３字にて終了。。☆彡

ｃｆ．　昭和初期の女性ランニング小説、岡本かの子『快走』

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～２０１４センター試験・国語

　　　２０１３センター試験、数学Ⅰ・Ａ～第２問（問題・解答）＆第３問（感想）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２１５０文字）