ガリレオ『真夏の方程式』の数式、水ロケットの飛距離・初速度・発射角

（☆２０２２年９月１９日追記：　９年ぶりの新作ドラマの記事をアップ。

　家庭崩壊の恨みを抱く古芝＝山上徹也、手作りの科学的武器で政治家の暗殺を計画～『ガリレオ　禁断の魔術』レビュー（数式解説付き）　）

（☆１４年６月２０日追記：　長編レビューを追加でアップ。

　　　真解＝深海の光を目指す水ロケット～『ガリレオ　真夏の方程式』　）

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昨日の日曜に開催されるはずだった青梅マラソンが大雪で中止になったの

で、準備や移動などの時間が急に空いた。引越しの荷物片付けをしようか

な・・とか思いつつも、しばらくガリレオや物理の記事を書いてなかったので、

『真夏の方程式』のＤＶＤを借りて来てしまった♪　２０１３年１２月２５日発売っ

てことで、お店には最新作として何十本もズラーッと並んでる状況。

映画の本格的レビューを書く余裕までは無いから、とりあえずの目的は、ガ

リレオ湯川学（福山雅治）が書いた数式の確認。もちろん、ドラマみたいな

数式書きなぐりシーンが無いのは知ってる。ただ、ペットボトル・ロケットに関

するレポートに三角関数を使った式があったという情報を、映画館で見た読

者の方から聞いてたのだ。

一応、最初からフツーに見て行くと、いつまで経っても出て来ないから、「Ｄ

ＶＤだとカットされたのかな？」と思ってたら、一番最後にようやく登場。たっ

た１本の簡単な式だけど、映画の中での位置付けとしては目立つ形だ。そ

れを見た少年・恭平（山﨑光）の父が、式をたどたどしく読み上げた後、「さっ

ぱり分からない」と呟いてた♪

ちなみに、テレビＣＭの一部で湯川が「実に面白い」と言ってたけど（ＤＶＤ

ラストのオマケ映像）、映画にはその台詞は無かったと思う。ただし、映画

上映直後の舞台挨拶で、福山が観客に感想をたずねると、「面白い」とか

声が上がってた。当然そこで福山は、「実に・・・でしょ♪」とか突っ込みを入

れて、笑いを取ってたようだ。

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　　さて、本題の数式は左の通り。

　　湯川が書いて、恭平の夏休み

　　の宿題（自由研究）用にプレゼ

　　ントしたレポートの３ペー

ジ目、「飛距離のグラフ」の右上に記されてた。ＤＶＤからのキャプチャーで

はなく、私がＷｏｒｄで入力したものなので、念のため。正確には、分子の中

央に、掛け算を示す黒点「・」があったかも知れないが、大した問題ではない。

（☆４ヶ月後の追記：　右辺の ｖ を ｒ と見間違えてたので修正。議論に影響

　　　　　　　　はない。）

今まで、ガリレオ・シリーズの大部分の数式を記事にして来た目線で見ると、

極端に簡単なもので、『容疑者Ｘの献身』と同じく、高校１年の物理の教科書・

例題レベルに過ぎない。

試しに、エンドロールで監修者をチェックすると、ドラマの難解な数式でお馴

染み、東大の大島まりの名前は見当たらなかった。ペットボトル監修の片岡

鉄雄か、ペットボトルロケット取材協力の東大・鈴木真二が書いた数式かな。

流体力学の大島なら当然、噴射する水の微分方程式とか、煙突内を上昇す

る一酸化炭素の流れの式とか、書く所だろう。

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簡単過ぎて、マニアック・ブロガーとしては記事にしにくい訳だが、一応書い

てみよう。５００円ほどの最新作レンタル料金の元を取る必要がある♪

左図は私が映画に合わせて手書きしたものだけど、似たものはどこにでも

　あるはず。斜めに

　発射した物体の運

　動で、斜方投射と

　呼ばれてる。

　最も簡単な仮定と

　して、空気抵抗ゼロ、

　途中の加速・減速は

重力加速度 ｇ（＝９．８ｍ／ｓ²）のみ、としとこう。初速度

（正確には速さ）を ｖ （図では ｒ と間違えてる）、投射角

θ、発射からの時間 ｔとすると、上下の鉛直方向については

等加速度直線運動、水平方向については等速直線運動であって、　

　（鉛直方向・上向きの変位） ＝ ｖ ｔ ｓｉｎθ-（１／２）ｇ ｔ²

　（水平方向・右向きの変位） ＝ ｖ ｔ ｃｏｓθ

　　　　（注．　変位とは位置変化。普通の言い回しなら距離）

落下地点では、鉛直方向の変位がゼロだから、

　　ｖ ｔ ｓｉｎθ-（１／２）ｇ ｔ² ＝ ０

ｔ≠０だから、ｔで両辺を割って、

　　ｖ ｓｉｎθ-（１／２）ｇ ｔ ＝ ０

　　∴　ｔ＝（２ ｖ ｓｉｎθ）／ｇ

よって、水平方向の変位は、

　　ｖ （２ ｖ ｓｉｎθ／ｇ）ｃｏｓθ

　＝ｖ²（２ｓｉｎθ・ｃｏｓθ）／ｇ

　＝（ｖ² ｓｉｎ２θ）／ｇ　　　（ｓｉｎの倍角公式より）

　　これをＬと書いたのが、映画の

　　方程式だ（左に再掲）。公式と

　　呼べるほど基本的な式ではな

　　いけど、高校１年の１学期の

中間テストで「この式を導け」とか聞かれても不思議ではない。

ちなみに、ＬとはＬｅｎｇｔｈ（長さ）の頭文字。ｒはｒａｄｉｕｓ（半径）の頭文字だろう。

同じ大きさで様々な向きを持ちうる速度ベクトルの、回転半径という意味だ。

（☆追記：　本当は ｒ ではなく ｖ だったから、速度ｖｅｌｏｃｉｔｙの頭文字。）

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ｒを決めるのは、水量（映画では１ｋｇ程度）、空気圧、噴射ノズルの直径など。

気圧は、数気圧程度、つまり数百ｋＰａ（キロパスカル）程度のようで、ポンプ

として自転車用の空気入れが実用的らしい。

ちなみにいわゆるロードバイク（レーサータイプの自転車）のタイヤは７気圧

程度。私が乗ってるクロスバイク（街乗り用スポーツ車）だと４～５気圧、ＭＴＢ

（マウンテンバイク）なら３気圧だ。

映画で湯川が使ってた圧力計（ＰＲＥＳＳＵＲＥ　ＧＡＵＧＥ）は０．４近い数字を

示してた。単位は書いてなかったが、おそらくＭＰａ（メガパスカル）だろう。０．４

ＭＰａ＝４０００００Ｐａ≒４気圧（ａｔｍ）。その程度の内圧であれほど飛ぶという

のも不思議な気がするが、だからこそ手軽な物理実験として大人気なんだろう。

映画の式を用いて、ペットボトル・ロケット飛距離Ｌを調整するには、水量や圧

力によって初速 ｖ を変えたり、角度θを変えたりすればいい。 一定の初速 ｖ

に対してＬを最大にするには、分子のｓｉｎ２θを最大にすればいいから、２θ

＝９０度、つまりθ＝４５度となる。

何とも常識的な結果だが、元の数式が極端に大まかなものに過ぎないから、

実際には何度も実験、試行錯誤する必要がある。そもそも実際の水ロケット

では、水の噴射による加速がコンマ数秒（０．２秒とか）続いて、その間にロケッ

ト全体の質量は減って行くし、加速するにつれて空気抵抗が増えるから、非

常に複雑なプロセスになる

あちこちのサイトに微分方程式が色々と載ってるけど、結局普通に解くことは

出来なくて、大幅な近似式や数値解析を使うらしい。それでも計算値と実測

値はなかなか合わないようだ。宇宙ロケットの打ち上げがいかに大変なこと

か、分かるような気がする。。

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最後に、高校物理の教科書・例題レベルの話を少しだけ追加しとこう。水の

噴射とロケットの加速の関係だ。話を簡単にするため、真上に向けて発射す

る場合を考えよう。

　今、僅かな時間で、質量ｍの水が速さ

　ｖ（地上が基準）で噴射されたとする。

　その水以外のロケットの質量をＭ、噴

　射直後の速度をＶとすると、最初はす

　べて速度０だから、運動量保存則の

　式は下の通り（上向きを正）。外力が

　働かない時、全体の運動量（＝質量

　×速度）は保たれるという話だ。重力

　　は後で考える。

　　（Ｍ＋ｍ）×０ ＝Ｍ×Ｖ＋ｍ×（－ｖ）

　　∴　ＭＶ ＝ ｍｖ

単位時間（１秒）で考えると、Ｖとは１秒後の速度、つまり加速度のこと。一方、

噴射ノズルの断面積をＳとすると、１秒間に噴射される水の体積はＳｖ。よって

水の密度をρ（ロー）とすると、水の質量ｍはρＳｖ。よって、ロケットの加速度

をαと書くと、上の式より

　　Ｍα＝ρＳｖ²　　　（右端の２乗に注意）

要するにこれが、ロケットの運動方程式（質量×加速度＝力）を表してる。実

際には更に、重力加速度ｇも下向きに働くから、ロケットの運動方程式は

　　Ｍα＝ρＳｖ²－Ｍｇ

これは一見、簡単な式のようで、同等のものはネットのあちこちで見かけた。

ただし、Ｍもｖも時間的に変化する値、つまり時間の関数Ｍ（ｔ）、ｖ（ｔ）だし、ｖを

決める空気の内圧も変化する。だから実際は、見た目より遥かに面倒な式だ。

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なお、水ロケットに関するサイトは多数あるが、素人にも分かりやすい形で実

測値をまとめてるのは、県立新潟南高等学校のｐｄｆファイル、「ＳＳＨの紹介

と物理分野での実践例」だ。流石はＳＳＨ（スーパーサイエンスハイスクール）、

ハイレベルな理科教育を行ってる。

その指導者の方が、少し前にアップしてるｐｄｆファイル、「水ロケットと気体ロ

ケット　── 断熱膨張の原理 ──」は、大学レベルでしっかりした内容に

なってた。私も興味が湧いたので、またいずれロケット関連の物理記事を書

きたいと思ってる。　　

とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　高さのある場所から発射する場合について、記事を追加した。加速

　　　　　終了後の水ロケットの考察にもなってる。

　　　　　　高い地点からの斜方投射の軌跡（弾道）、角度と水平到達距離

cf.　『ガリレオ２』第１話の数式、誘電体のマイクロ波加熱における電力半減深度

　『ガリレオ２』第２話の数式、不覚筋動による水晶振り子の強制振動

　『ガリレオ２』第３話の数式、

　　　パルス電磁波のフレイ効果による耳の奥の弾性波か

　『ガリレオ２』第４話の数式、流体中の回転ボールを曲げるマグナス効果などか

　『ガリレオ２』第５話の数式、

　　　近似のニュートン法による√２の数値解析（＆バルマー系列）

　『ガリレオ２』第６話の数式、

　　　　　ホログラム記録＆再生における光波の複素数表示

　『ガリレオ２』第７話の数式、

　　　　ロッキングチェアの慣性モーメント＆回転・直線運動か

　『ガリレオ２』第８話の数式、花火の光の入射角＆３つの像の位置関係か

　『ガリレオ２』第９話の数式、超音波による圧力・密度変化（＆ビルの高さ）

　『ガリレオ２』第１０話の数式、ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　『ガリレオΦ（エピソードゼロ）』の数式と図について

　『ガリレオΦ』の数式、ナビエ・ストークス方程式

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　 解けない問題、χ（カイ）＝愛　～『ガリレオ　容疑者Ｘの献身』　（数式込み）

　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　『ガリレオ』第１話、レーザー光線の計算式

　『ガリレオ』第２話、光の屈折の計算式

　『ガリレオ』第３話、共振現象の証明

　『ガリレオ』第４話、超音波による泡の衝撃波に苦戦中・・

　『ガリレオ』第５話、キューピッドの黄金と鉛の矢は流行るかな♪

　『ガリレオ』第５話の数式、波動方程式の導出と一般解

　『ガリレオ』第６話の数式「フーリエ変換」について

　『ガリレオ』第７話、ＥＲ流体とトリックについて

　『ガリレオ』第８話の数式、アレニウスの式と２次反応速度式

　『ガリレオ』第８話の数式、２次反応速度式の計算と答

　『ガリレオ』第９話、雷の放電エネルギーの数式か・・

　『ガリレオ』最終回、核爆弾処理シーンの数学的解説

　『ガリレオ』最終回の数式１～熱伝導方程式

　『ガリレオ』最終回の数式２～熱伝導方程式の計算と答

　　　　　　（計　４３１９文字）

　　（追記９８字 ； 合計４４１７字）