置換・互換による行列式の定義～初心者向け

今日は時間も余裕も無いけど、記事ローテーション的に数学で書きたいの

で、行列の記事・第３弾としよう。行列式（ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ）の定義だ。

行列は、高校の新課程（新学習指導要領）で外されたので、この春から３年

になる生徒は高校では習わなくなる。ただ、今までは、少なくとも理系の生徒

は高校で習ってたわけで、２次正方行列の行列式の公式ａｄ－ｂｃは、教科書

で強調されてる基本事項だった。私の記憶だと、その式は、逆行列を計算で

求めた時の係数の分母として登場したと思う。下は英語版ウィキペディア、

「ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｍａｔｒｉｘ」（可逆行列、つまり正則行列）の項目より。

他に、一部の人は、３次正方行列の行列式も高校で習ってるはず。ただし、

高校数学と大学レベルの数学とでは、行列式の定義が（外見的に）違うの

だ。もちろん、２次と３次についての結果は同じだけど、新たな定義式はｎ次

正方行列を一般に扱えるものになってる。

その定義式の説明は、私の手元にある齋藤正彦『線型代数入門』（東京大

学）だとあまり親切ではないので、２次と３次の場合について、具体的に書き

くだしてみよう。ただし、定義に「置換」と呼ばれる変換を使うので、まずはそ

こから始めることになる。置換の内、特に「互換」と呼ばれるものが重要だ。

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置換とは、１対１変換のこと。異なるｎ文字の置換なら、ｎ文字の並べ替えの

操作だ。高校の用語を使うなら、ｎ文字の順列を作るのと同じで、英語だと

置換も順列もｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ。その総数は、ｎ！＝ｎ（ｎ－１）・・・２・１だ。

置換の書き方は色々あるようだけど、前掲書のように上下２行で書くのが

　　分かりやすいだろう。例えば、

　　{ １，２，３ }を順に { ２，３，１ }と並

　　べ替える置換なら、左のように書く。

　　上から下へ、数字を変換するわけだ。

置換２つを積（掛け算）の形に並べると、新たな置換が合成される。この点は、

高校の合成関数とか合成写像の話と同様だ。

置換の内、２文字だけを入れ替える単純なものを「互換」と呼ぶ。すべての置

換は、幾つかの互換の積として表される。上の置換なら、例えば下のように２

つの互換の積となる。右辺は右側の互換から順に作用するので、例えば３な

ら、まず２へと変換され、次に２が１へとの変換される。結局、３から１への変

換になる。右辺が３→２、２→１の合成だから、左辺の３→１と同じになるわけ

だ。ちなみに赤い矢印は、互換で入れ替えた２文字を指し示したもの。

　　　　

一方、この置換は、次のように４つの互換の積としても表せる。

再び、３の変換で右辺をチェックすると、右の互換から順に、３→１、１→２、

２→３、３→１の合成だから、左辺の３→１と同じなのだ。

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さて、上で同じ置換を互換の積として表した時、２つの積と４つの積になって

る。実は一般に、置換を互換の積として表す時、互換の個数が偶数になるか

奇数になるかは一通りに決定している。上の置換の場合なら、必ず偶数にな

るのだ。証明はやや面倒なので省略するが、３次までなら、素朴な証明でも

難しくない。

置換σ（シグマ）が偶数個の互換の積になる時、符号「ｓｇｎ σ」を＋１とし、

奇数個なら、符号ｓｇｎ σを－１と決める。上の置換なら、偶数個の互換の

積だから、符号は＋１だ。ちなみにｓｇｎとは、ｓｉｇｎａｔｕｒｅ（標識）の略。

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ここまで準備して、ようやく置換による行列式の定義を理解できる。前掲書、

日本版ウィキペディア、英語版ウィキ、いずれも次の定義が重視されてる。

ｎ次正方行列Ａの第 ｉ 行、第 ｊ 列の成分をａ ｉｊ と表す時、行列式｜Ａ｜は、

ここで、σはｎ文字の置換、Ｓｎはその全体集合。要するに、「ｎ文字の置換σ

のすべて（ｎ！通り）について、Σの右辺を足し算した総和」。これがＡの行列

式なのだ。英語版ウィキによると、先駆者の名前を取って、ライプニッツ公式

とか、ラプラス公式と呼ばれるらしい。

最初は何のことか、ピンと来ない式だから、具体的に書き下してみよう。各

項ごとに２つ並んで付いてる添字の右側、σ（１）、σ（２）などを、単なる自

然数に直した方が分かりやすい。そのために、全ての置換σを具体的に書

き並べる。

まず、２次正方行列Ａの場合。σは２！＝２通りで、各要素は次の表の通りだ。

互換の積が「０コ」というのがしっくり来ないなら、ある適当な互換を２コ並べ

てもよい（２回入れ替えれば元に戻る）。上の表の下段の和を取って、行列

式は次のようになる。

確かに、いわゆる「ａｄ－ｂｃ」、「左上×右下－右上×左下」の形になってる。

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続いて、３次正方行列Ａの場合。σは３！＝３・２・１＝６通りで、各要素は次

の表の通りだ。

赤い波線部、互換の積が２コとなってる箇所は、自分で互換を作ってみれば

すぐに分かるはず。もちろん、４コや６コにも出来る。要するに偶数個なのだ。

上の表の下段の和を取る時、普通の書き方にしたがって、プラスの項を前

に、マイナスの項を後ろに集めると、行列Ａの行列式は次のようになる。

＋、－の符号と共に、式を覚える時には、特に３次の場合、下のような「たす

き掛けの規則」を使うと便利。ただし、４次以上では使えない。

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４次以上については省略する。４次なら、４！＝２４通りの置換についての和

Σを計算。もちろん、実際に具体的な行列式を計算する場合は、こんな複雑

な定義式や置換を使わず、定理に即した計算テクニックを利用するのが普通

だ。要するに、以前、１次方程式を解いた時に使ったような変形を用いる。そ

れについては、また次回に書くことにしよう。

では、今夜はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　行列の基本変形、逆行列の求め方、１次方程式の解法

　　　行列の基本変形と１次方程式（２）～逆行列が存在しない場合など

　　　置換・互換と１４－１５パスルの不可能性～３パズル、８パズルからの証明

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２３８８文字）