トランプのポーカーの確率計算～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第１回解説

マニアック！♪　面白くなかったら、すぐ見るのを止めようと思って見始めた、

ＮＨＫドラマ１０『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿』第１話、「天才数 

学科女子大生 ＶＳ 爆弾テロリスト（前編）」。これ、ホントに計算してるね♪

感激した☆　一部の計算間違いや不正確さは御愛嬌ってことで（笑）

『ガリレオ』は公式を書くだけで、計算はごくたまに黒板やレポートでチョコッ

とやってる程度だけど、『数学ガール』はホントに計算して答まで出してた♪

いやぁ、意表を突かれたわ。偉いぞ、脚本の蒔田光治！　ちょっと雑で、詰め

が甘いのはさておき（笑）。数学監修の名前が無かったから、チェックが緩かっ

たか、無かったんだろう。

（☆追記：　コメントで情報を頂いたから、ネットで確認。横浜国立大学・大学

　　　　　　　院の根上生也（せいや）教授が監修してるようで、大学の公式サ

　　　　　　　イトでニュースになってた。この方なんと、『ガリレオ』の一部でも

　　　　　　　数学監修を務めてたらしい。）

たまたまハードディスクがほぼ一杯だったから、飛び飛びでしか録画してない

んだけど、これは次回から本気で見なきゃいけないかも。難波くるみ（橋本愛）

と伴田竜彦（高良健吾）の妙なコンビも笑えたし、いいね☆　視聴率や一般ウケ

はともかく♪

ちょっと今、仕事が長引いたせいで時間がない。妥協案として、１シーンの計

算、答、台詞、グラフだけ解説しとこう。調べてみると、このドラマ。実は去年

の秋に、ＢＳで既に放送したものなのか。ちょっと拍子抜けかも。。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では、私が録画した範囲だと最初の計算について。５枚ポーカーをくるみ達

５人がやってて、彼女の手は、ダイヤＪ、ハートＪ、ダイヤ１０、スペード７、ク

ラブ３。ここでくるみは、１ペアのＪ（ジャック）を残すことにして、残り３枚をどう

するか考える。

まず、残り３枚すべて交換して、別のＪが手に入る確率を計算。仲間の女子

大生１人が持ってる５枚は、くるみにも分かってると考えるのか、残りのカー

ド枚数全体を４２枚として計算してた（追記：　仲間がくるみにコッソリ見せた

ようだ）。本来なら全５２枚から手持ちの５枚を差し引いて、４７枚とするはず。

４２枚から３枚を引く組合せ（Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）の全体は、

　　　４２ Ｃ ３ ＝ ４２×４１×４０ ／ （３×２×１）＝ １１４８０ （通り）。

ドラマの映像では、間違えて、分子を「４２×４１×４０×３９×３８」と書いてた。

理論的におかしいし、これでは右辺が１１４８０にならない。まあ、この種の些

細な書き間違いは、『ガリレオ』でも何度か指摘しておいた。分母の１は無意味

だから省略してたけど、この記事ではきちんと書くことにする。

話を戻すと、引いた３枚にＪが１枚だけある場合の数は、Ｊがスペードかクラブ

かで２通り。Ｊ以外の２枚の引き方は、「４２枚 ー Ｊ２枚」、つまり４０枚の中か

ら２枚引く組合せの数。

　　　∴　（Ｊが１枚だけある場合の数）＝２×４０ Ｃ ２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×４０×３９／（２×１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１５６０ （通り）

さらに、　（引いた３枚にＪが２枚ある場合の数）

　　　　　　　　　　　　　＝（残り４０枚から、あと１枚選ぶ方法の数）

　　　　　　　　　　　　　＝４０ （通り）

以上より、　（３枚交換して、新たにＪが手に入る確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（１５６０＋４０） ／ １１４８０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒１３．９４％

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この確率と、７と３の２枚だけ交換して、Ｊか１０が手に入る確率（ドラマの答は

２２．６４％）とを比較。２枚交換の方が確率が高いから、くるみは２枚だけ交換、

見事にＪを１枚ゲット。そのゲームでは勝利を収めてた。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

では、２枚交換の場合の確率を示そう。

　（４２枚から２枚選ぶ組合せ）＝４２ Ｃ ２ ＝ ４２×４１／（２×１） ＝８６１ （通り）

　　（Ｊが１枚だけ手に入って、１０は手に入らない場合の数）

　　　　　　　　　＝（Ｊの選び方）×（Ｊでも１０でもない残り１枚の選び方）

　　　　　　　　　＝２×３７

　　　　　　　　　＝７４ （通り）

　　（Ｊが２枚手に入る場合の数）＝１ （通り）

　　（１０が１枚だけ手に入って、Ｊは手に入らない場合の数）

　　　　　　　　　＝（１０の選び方）×（Ｊでも１０でもない残り１枚の選び方）

　　　　　　　　　＝３×３７

　　　　　　　　　＝１１１ （通り）

　　（１０が２枚手に入る場合の数）＝（残り３枚の１０から２枚選ぶ方法の数）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３ （通り）

　　（Ｊ１枚と１０が１枚、手に入る場合の数）＝（Ｊの選び方）×（１０の選び方）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝６（通り）

　　　∴　（２枚交換して、Ｊか１０が入る確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（７４＋１＋１１１＋３＋６） ／ ８６１

　　　　　　　　　　　　　　　　　≒ ２２．６５％　（四捨五入した場合）

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ドラマの映像ではなぜか、こちらの確率だけ、四捨五入ではなく切り捨てで計

算して、２２．６４％と書いてた。まあ、ほとんど同じで、１３．９４％より遥かに

大きい値だから、判断に影響はない。

あと、３枚交換する時の計算では、一気に３カードを手に入れる確率や、Ｊ以

外の１ペアを手に入れる確率も必要。さらに、２枚交換した時の手と比べて、

どちらが強いかも考える必要があるし、他人（ここでは友達）の手を知ってる

のなら考慮に入れる必要があるから、本当はもっと面倒な計算になる。

とはいえ、テレビ的にはあれでも十分だろう。あそこまできちんと計算して、物語

の進行と関連させるドラマは、今まで見たことない。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

続いて、くるみがＱ（クイーン）のフォーカードの時、相手（ｏｐｐｏｎｅｎｔ）が自分よ 

り上の手（Ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｈａｎｄｓ　ｔｏ　ｍｅ）の確率を０．０１７％と計算してた。これ

は間違いだが、非常に小さい数字だという点は正しいので、物語の進行には

影響ない。

今回は、くるみと友達がカードを交換した後だからなのか、残り全体を３７枚と

して計算。

　　（５枚の組合せ）＝３７ Ｃ ５

　　　　　　　　　　　　＝３７×３６×３５×３４×３３／（５×４×３×２×１）

　　　　　　　　　　　　＝４３５８９７（通り）

次に、「相手がロイヤル・ストレート・フラッシュの場合の数」を、絵柄の種類の

数で４通りとしてたが、これは単純なうっかりミス。自分がＱのフォーカードを持っ

てるのだから、相手がロイヤル・ストレート・フラッシュというのはあり得ない。Ｑ

を持てないからだ♪

一方、　（相手がＫ（キング）かＡ（エース）のフォーカードの場合の数）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×（残り１枚の選び方）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×（３７－４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝６６

これをドラマでは、２×３５＝７０と間違ってた。３３を３５と間違えたのか、あるい

は、３７を３９と間違えたのか、事情は不明。

とにかく、正しくはこうなる。

　　（相手が自分より上の確率）＝６６／４３５８９７≒０．０００１５＝０．０１５％

要するに負ける確率が非常に低いことになる。だから、くるみが「コール（Ｃａｌｌ）」、

つまり同額の３００万円を賭けたのは、数学的には正しい、あるいは間違って

ない。もちろん、リスク管理的、倫理的にはあまり正しくないが♪　

実際、いかさまポーカーだったせいで、ショー・ダウン（Ｓｈｏｗｄｏｗｎ ： 手持ち

カードの見せ合い）すると、相手はキングのフォーカード。借金を背負うことに

なってしまった。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、「ポアソン分布」（Ｐｏｉｓｓｏｎ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）について。飛び飛びで

（離散的に）起きる現象が、ある期間内にどのように発生するのかを示す分

布で、当サイトでは以前、地震の確率計算の記事をアップした。

今回は、トランプのポーカーでＱ（クイーン）が配られて来るという現象につい

て。くるみの場合、５回の配布の中で４回もＱが配られたわけで、かなり珍し

いことのように感じられる。これは、「ポアソン・クランピング（Ｃｌｕｍｐｉｎｇ）」と

呼ばれる現象で、頻度の低いはずの現象が短い時期に「かたまる＝凝集す

る」（ｃｌｕｍｐ）ことだ。確率論的には、時々起こることであって、それほど不思

議でも運命的でもない。

所与の期間（あるいは単位時間）に、平均でλ回発生すると期待される事象

　　が、実際はちょうどＸ回発生

　　するとしよう。Ｘ＝ｋである確

　　率は、左の通り。ちなみに

　　Ｐは、確率を表す英語、

Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙの頭文字、ｅはネイピア数２．７１８・・。ｋ！はｋの階乗、つまり

ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）・・・１ だ。

　　ドラマの映像では、ポア

　　ソン分布のグラフも映っ

　　てた。左はウィキメディ

　　ア、Ｓｋｂｋｅｋａｓ氏の作

　　品。ドラマでもλ＝１，

　　４，１０のグラフだった。

　　上のグラフだと、例えば

　　λ＝４の場合、その２倍

以上（８回、９回、・・・）起きる確率は合計で数％くらいあると分かるわけで、

時々ある偶然なのだ。カシオの計算サイト「ｋｅｉｓａｎ」によると５％ほどらしい。

なお、トランプを配る場合だと、１回何か（Ｑが来るとか）が起こった時、次に

また起こる確率がかなり変わってしまうので、普通に計算する方が遥かに正

確だ。ポアソン分布をドラマで映したのは、一般性のある高級な数理モデル

だからだろう。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　ポーカーの確率の最初は、くるみの仲間の手を計算したようだ。ダイ

　　　　　ヤ３、ハート３、スペード２、クラブ７、スペードＱ。そこで、ワンペアに

　　　　　なる確率を求めると、

　　　　（５枚の組合せ）＝ ５２ Ｃ ５

　　　　（ワンペア２枚の組合せ）＝（番号の選び方）×（絵柄の選び方）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１３×４ Ｃ ２

　　　　（他の３枚の組合せ）＝（ワンペア以外の番号の選び方）×（絵柄の選び方）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１２ Ｃ ３×４³

　　　　∴　（ワンペアの確率）＝１３×４ Ｃ ２×１２ Ｃ ３×４³／５２ Ｃ ５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１０９８２４０／２５９８９６０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝０．４２２５６９０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒４２．２６％

ｃｆ．　検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌ』第２回解説

　　　無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺した伝説の検証

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　 ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ラブレターの換字式暗号＆数字の順列パスワード～第４回

　　　計量文献学による解析、Ｋ特性値、筆者判定～第４回

　　　ハートマークと「ｉ　ＬＯＶＥ　ｕ」、愛の方程式～第５回

　　　「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物（原論文）～第５回

　　　特殊な違いの有無の判定（統計的推測、５％片側検定）～第６回

　　　変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～第７回

　　　変化点検出とスコア、具体的な計算例～最終回

　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　　ポアソン分布による地震の確率計算（ｂｙ政府・委員会）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４０９０字）