高い地点からの斜方投射２～射程の微分と最大値を与える角度θの計算

この記事は３日前の第１弾記事の続編なので、まだ読んでない方は、まず

あちらに目を通すことをお勧めする。と言っても、この記事だけでも一応、分

かるように書いてある。

水平面からではなく、高さのある地点からの斜方投射を一般的にきっちり扱っ

てるネット記事というのは極端に少ない。もちろん実際はあるのだろうが、私

が軽く検索をかけた範囲では見当たらない。式が複雑だからだろう。

そこで前の記事では、コンピューターとソフトの助けを借りて、射程（＝水平到

達距離）を最大にする投射角θ（水平面から上向きの角度）を求めてみた。

大まかに言うと、３０度～４５度くらいの値だと分かるのだ。これはブランコの

「靴飛ばし」遊びの実体験にも合ってる。

　ｃｆ．　高い地点からの斜方投射の軌跡（弾道）～角度と水平到達距離

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

しかし、もっと普通に、人間の手と頭の計算で答を求められないものか。θを

増加させた時の射程は、徐々に増えて最大値に達し、そこから減るのみ。上

に凸１つの単純な変化だから、普通に計算できても不思議ではない。

そこで、ちょっと工夫して計算してみると、ほぼ高校の数Ⅲレベルで解けた気

がする。「ほぼ」というのは、最後に三角関数の逆関数を使う必要があるから

だ。そこだけは高校レベルをほんの少し超えてるし、人力計算のやり方も知

らない。まあでも、前の記事の時点よりは自分でスッキリした。

以下、とりあえず続編として急ぎでアップするが、ひょっとすると計算ミスがあ

るかも知れない。後でまたチェックしてみるし、万が一の場合は修正するので、

これは仮記事、暫定的まとめとして、悪しからずご了承を。。

（☆翌日の追記：　計算は合ってたが、さらに簡単な式になるのを見落としてた。

　　　　　　　　　　　既にこの記事の下の方で補足してある。）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

前回の計算を使うと、高さ ｈの地点から角度θ（０≦θ＜π／２）で斜方投射

した時、水平到達距離は

　　　ｘ ＝ （ｖ²／ｇ）｛ｓｉｎθｃｏｓθ＋（ｃｏｓθ）√（ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ／ｖ²）｝　・・・　①

先頭の係数を除いた関数、つまりｇ ｘ／ｖ² を、Ｘ（θ）と置き直して、

ｓｉｎの倍角公式を使うと

　　　Ｘ（θ） ＝ （１／２）ｓｉｎ２θ＋（ｃｏｓθ）√（ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ／ｖ²）　

　　∴　Ｘ´（θ） ＝ ｃｏｓ２θ－ｓｉｎθ√（ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ／ｖ²）

　　　　　　　　　　　　　＋（ｓｉｎθｃｏｓ²θ） ／ √（ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ／ｖ²）　

この微分はθの連続関数で、

　　　Ｘ´（０）＝１＞０　

　　　また、θ→（π／２）－０の時、Ｘ´（θ）→ －１＜０

よって、０≦θ＜π／２の範囲で少なくとも１つ、Ｘ´（θ）＝０をみたすθが

存在する。

したがって、元のｘについて ｄｘ／ｄθ＝０をみたすθについても、同様に

０≦θ＜π／２の範囲で少なくとも１つ存在する。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ここで、少し違う方向からアプローチし直してみる。前の記事の最後に付記

しておいた、軌跡の方程式（ｘ，ｙの式から時間 ｔ を消した式）は

　　　　　ｙ＝－ｇｘ²／（２ｖ²ｃｏｓ²θ）＋ｘ ｔａｎθ＋ｈ

水平面ではｙ＝０だから、

　　　　０＝－ｇｘ²／（２ｖ²ｃｏｓ²θ）＋ｘ ｔａｎθ＋ｈ＝０

　　　∴　ｇｘ²－ｖ²ｘｓｉｎ２θ－２ｖ²ｈｃｏｓ²θ＝０　・・・②

これをｘについての陰関数と見て、両辺をθで微分すると、

　　　２ｇｘｘ´－ｖ²ｘ´ｓｉｎ２θ－２ｖ²ｘｃｏｓ２θ＋４ｖ²ｈｃｏｓθｓｉｎθ＝０

　∴　（２ｇｘ－ｖ²ｓｉｎ２θ）ｘ´＋２ｖ²（ｈｓｉｎ２θ－ｘｃｏｓ２θ）＝０

ここで、ｘ´＝ｄｘ／ｄθ＝０とすると、　ｘｃｏｓ２θ＝ｈｓｉｎ２θ

　　　　∴　ｘ＝ｈ ｔａｎ２θ　・・・③　（ただしθ≠π／４）

③を②に代入して ｘ を消し、整理すると、

　　　（ｖ²＋ｇｈ）ｃｏｓ²２θ＋ｖ²ｃｏｓ２θ－ｇｈ＝０　・・・④

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

③において ｘ＞０だから、　ｔａｎ２θ＞０。一方、　０≦２θ＜π。

よって ｔａｎ のグラフを考えると、　０＜２θ＜π／２　。

ゆえに、ｃｏｓ２θの２次方程式④の解は正で、

　　　　　ｃｏｓ２θ＝〔－ｖ²＋√｛ｖ⁴＋４（ｖ²＋ｇｈ）ｇｈ｝〕／２（ｖ²＋ｇｈ）

０＜右辺＜１も示せるから（証明は簡単なので省略）、

これを満たす２θは、０＜２θ＜π／２の範囲で１つだけ存在して、　　　　

　　　　２θ＝ｃｏｓ⁻¹ 〔－ｖ²＋√｛ｖ⁴＋４（ｖ²＋ｇｈ）ｇｈ｝〕／２（ｖ²＋ｇｈ）

　　∴　θ＝（１／２）ｃｏｓ⁻¹ 〔－ｖ²＋√｛ｖ⁴＋４（ｖ²＋ｇｈ）ｇｈ｝〕／２（ｖ²＋ｇｈ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（０＜θ＜π／４）

このθの前後のみでｘ´の符号が＋から－に変化し、ｘ が増加から減少に転

じるので、これが ｘ の最大値を与える唯一の解である。

（☆翌日の追記：　計算は合ってたが、√の中が（ｖ²＋２ｇｈ）²になって、√がキ

　　　　　　　　　　　　レイに外れるのを見落としていた。見方を変えると、２次方

　　　　　　　　　　　　程式④は因数分解できたということだ。

　　　　　　　　　　　　θ＝（１／２）ｃｏｓ⁻¹〔－ｖ²＋（ｖ²＋２ｇｈ）〕／２（ｖ²＋ｇｈ）

　　　　　　　　　　　　　　＝（１／２）ｃｏｓ⁻¹ｇｈ／（ｖ²＋ｇｈ）

　　　　　　　　　　　ここから、射程距離の最大値を求めると、計算は面倒だが、

　　　　　　　　　　　わりとキレイな答が出る。

　　　　　　　　　　　（ｘの最大値） ＝ ｛ｖ√（ｖ²＋２ｇｈ）｝／ｇ　　　　　　　　）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

上でｖやｈの値を決めれば、θの値も逆関数で求められる（そこはコンピュー

ター使用）。今現在、計算ミスがないという確信はないが、「正しそうだ」という

事は、前の記事の具体的な初期条件（ｈ＝１，ｖ²＝２ｇ）で確認済。もちろん

ｈ→０の時、つまり水平投射に近づける時には θ→π／４になる。

出来れば、単純な陽関数①式から直接的に議論したい所だが、陰関数の微

分を使わないと厄介な問題は少なくないから、とりあえず妥協しておこう。

なお今週は計１９９９９字となった。では、また来週。。☆彡　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２０１２字）

　　　　　　　　　　　　　（　翌日以降（翌週）の追記　２５６字　；　合計　２２６８字）