高い地点からの斜方投射の軌跡（弾道）、角度と水平到達距離

なるほど。。やはり現代では、コンピューターやソフト、プログラミングを使い

こなすことが非常に重要だということか。まだ、いま一つスッキリしてないけ

ど、高校時代からの疑問が一通り解決した。昨日の思い出記事で触れた、

ブランコの「靴飛ばし」最大化問題も解決したのだ。

高校物理の最初で、重力による質点の自由落下や、垂直（＝鉛直）方向へ

の投げ上げを学ぶ。続いて登場するのが、１つの関門となる「斜方投射」。

斜めに物を投げた時、空気抵抗を無視すると、垂直方向には等加速度直線

運動、水平方向には等速度運動を行う。両方合わせると、軌跡は放物線と

なる。

ちなみに、「斜方投射」に相当する英語表現がなかなか分からなかったけど、

英語版ウィキペディアを飛び回ってみると、事情が見えて来た。どうも、問題

のとらえ方が、日本と微妙にズレてるようで、「投射物の弾道」（ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ

　ｏｆ　ａ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅ）とか、「投射物の射程」（ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ａ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅ）といっ

た形で問題にされてる。

要するに、兵器や戦争を意識してるわけで、物理学の歴史を考えると、現実

に即した考えだろう。実戦の弾道計算なら、斜め上に向けて撃つのは当たり

前だから、わざわざ「斜方」（ｏｂｌｉｑｕｅなど）と付ける必要もない。日本の教育

で「斜方投射」とか「軌跡」という言葉を使ってる理由の一つは、戦争のイメー

ジを消すためなのかも。。

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さて、高校で問題とされるのは、地表面から地表面への斜方投射が基本。例

えば、着地点を最も遠くするには、水平面となす投射角度を４５度にすればい

い。この話は、ネット上でもあちこちに書かれてるので、ここでは省略する。

　　というか、ここでは

　　より一般的な場合

　　で考える。地表面

　　からの投射とは、

　　高さ０（ゼロ）の地

　　点からの投射。つ

　　まり、高さｈの地点

　　からの投射でｈ＝０

　　とした場合だから、

高さｈのままで考えれば一般的考察となるわけだ。

ちなみに上図は、ウィキメディアでパブリックドメイン（公的所有）の画像。記事

では水平距離ｄが「射程」（ｒａｎｇｅ）、放物線は「軌跡」（ｐａｔｈ）と呼ばれていた。

一般的考察が、ネットで意外なほど見当たらないのは、要するに、式と計算が

複雑だからだろう。複雑すぎる話は、高校のテストや大学入試には出せない

から、読者の需要も激減する。需要があるのは、特定の高さや角度を与えた

場合とか、特定の通過地点・通過時間を与えた場合なのだ。答が楽に求めら

れる時と言ってもいい。

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さて、高さ ｈの地点から、速さ ｖ、角度θで質点を斜方投射した時、発射後

の時間を ｔ、重力加速度を ｇ とすると、

　　（水平方向・右向きの変位）　：　ｘ ＝ｖ ｔ ｃｏｓθ　・・・・・・（１）

　　（垂直方向・上向きの変位）　：　ｙ＝ｈ＋ｖ ｔ ｓｉｎθ－（１／２）ｇ ｔ²　・・・・・・（２）

地表面に落ちた時は ｙ＝０ だから、

　　　　０＝ｈ＋ｖ ｔ ｓｉｎθ－（１／２）ｇ ｔ²

　　∴　ｇ ｔ²－２ｖ ｔ ｓｉｎθ－２ｈ＝０

　　ｔ＞０ より、　ｔ＝｛ ｖ ｓｉｎθ＋√（ｖ²ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ）｝／ｇ

　∴　ｘ　＝　｛ｖ²ｓｉｎθｃｏｓθ＋（ｖｃｏｓθ）√（ｖ²ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ）｝／ｇ　

　　　　　＝　（ｖ²／ｇ）｛ｓｉｎθｃｏｓθ＋（ｃｏｓθ）√（ｓｉｎ²θ＋２ｇｈ／ｖ²）｝　・・・・・・（３）

検算のためにｈ＝０（ゼロ）としてみると、

　　　　ｘ＝｛ｖ²ｓｉｎθｃｏｓθ＋ｖ²ｓｉｎθｃｏｓθ｝／ｇ

　　　　　＝（ｖ²ｓｉｎ２θ）／ｇ

この値は、日本版ウィキの斜方投射の項目とも合ってるし、当サイトで以前

扱った、映画『ガリレオ　真夏の方程式』の式とも実質的に同じだ（映画では

ｖ の代わりに ｒ）。

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上の（３）式でθを変化させると、水平到達距離 ｘ がどう変化するか。その

ままの式でも、変形しても、微分しても分かりにくい。

（☆３日後の追記：　陰関数の微分を用いて解決。続編記事をアップした。

　　　高い地点からの斜方投射２～射程の微分と最大値を与える角度θの計算　）

普段の私ならこの辺で止めてしまう所だが、今回は体験的に答が分かってる

のだ。つまり、ブランコの座りこぎで「靴飛ばし」をする時、４５度より少し小さ

　　い角度で靴を飛ばすと、

　　着地点が遠くなるし、着

　　地後の転がりも稼げる。

　　また英語版ウィキでも、

　　特定の初期条件で３２

　　度という値を示してる

　　（左図、パブリックドメイ

　　ン）。やはり大まかに

　　言って、３０度～４０度

　　の角度がベストだろう。

これを確認するために、やや不本意ながら、コンピューターの力を借りること

にした。実際には、先に原始的な数値解析の真似事を行ったのだが、この記

事ではまずグラフを見てみよう。式（３）の先頭の係数は無視して、角度θの

代わりに ｘ を使った関数へと変形。更に実際の靴飛ばしは子どもだと ｈ＝１

ｍ、ｖ＝４～５ｍ／ｓくらいだから、２ｇｈ／ｖ²＝１と簡略化。

　　大阪教育大学・友田

　　勝久氏による関数グ

　　ラフソフト「ＧＲＡＰＥＳ

　　７．００」に入力すると、

　　現れたグラフは予想

　　通りになった。ラジア

　　ン表示で、π／６と

　　π／４の間の左寄り

　　の角度だから、３５度

　　～４０度くらいになる。

　　ちなみに、当たり前だ

　　が、角度π／２（＝９０

　　度）なら、真上に発射す

るということだから、関数の値（＝水平到達距離）はゼロになる。その点だけ

は、ｈやｖの値とは無関係だ。

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　　最後に、水平到達

　　距離を最大にする

　　角度ｘ（またはθ）

　　の値を、カシオの

　　高精度計算サイト

　　「ｋｅｉｓａｎ」のフリー

　　計算で探してみる

　　と、弧度法で０．６２

　　ラジアンくらいだっ

　　た。つまり度数法

　　なら、（１８０／π）

　　倍して約３６度だ。

　　関数値やグラフの連続性

　　を考えると、発射地点の

　　高さ ｈ や初速 ｖ を変えて

　　も似たような話になると思

　　うし、空気抵抗がある場合

　　は角度を少し小さくした方

　　がいい気がする。しかし、

　　もちろん調べてみないと

　　ハッキリした事は言えない。

　　左は、先ほど１とした

　　２ｇｈ／ｖ²をパラメーターａ

　　と置いて、０～３の間で変

　　化させた様子（下から上に

曲線が移動）。ａ＝０とはｈ＝０、つまり地表面からの発射の場合だから、角度

π／４、つまり４５度で最大となる。

今回はこの辺で終わりとしよう。なお、コンピューターによるグラフ作成や数値

計算が、どの程度の論証力を持ってるのかという問題は、また別に考える必要

がある。飛び飛びの値で多数の計算を行う際の緻密さと誤差など、忘れる訳

にはいかない。ではまた。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　角度を変えた時、射程と言うより、軌跡のグラフがどう変わるか。こ

　　　　　れもＧＲＡＰＥＳでパラメーターを変化させて描いてみた。

　　　　　上の式（１）と式（２）から時間 ｔ を消して求めた軌跡の方程式は、

　　　　　２次の係数が負の２次関数で、

　　　　　　　ｙ＝－ｇ ｘ² ／ （２ｖ² ｃｏｓ²θ）＋ｘ ｔａｎθ＋ｈ

　　　　　これは一般に、上に凸の放物線だが、ｇ＝９．８ｍ／ｓ²、ｖ＝５ｍ／ｓ、

　　　　　ｈ＝１ｍという靴飛ばしに合った仮定で書き直すと、

　　　　　　　ｙ＝－０．１９６ ｘ² ／ ｃｏｓ²θ＋ｘ ｔａｎθ＋１

　この式で、角度

　を表すパラメー

　ターθを０ラジ

　アン～１ラジア

　ンの範囲で増加

　させてみると、

　下図のようにな

　る。確かに、

　０．６～０．７ラ

ジアンくらいで射程が最大になった。　　　　

ｃｆ．　ガリレオ『真夏の方程式』の数式、水ロケットの飛距離・初速度・発射角

　　　ブランコと靴飛ばしで遊んだ日々♪～テンメイ回想録１０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２９３３字）