検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌ』第２回解説

また地デジが不調で、飛び飛びの観賞になってしまったけど、最大のポイン

トらしき個所は何とか見れたようだ♪　『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する 

事件簿～』第２回、「天才数学科女子大生ＶＳ爆弾テロリスト（後編）」も解説

してみよう。脚本・蒔田光治、数学考証・根上生也（横浜国立大）。

まずは、軽い物理のお話から。高校１年の最初辺りで習う、力学の基礎だっ

た。暗闇で伴田刑事（高良健吾）に取り残された数学ガール・難波くるみ（橋

本愛）は、不安と恋心で、こっそり後をつけて行く。乗り越える門の柵の高さは

１．５ｍ。重力加速度９．８ｍ／ｓ²。では、柵の上から飛び降りた時のくるみの

速度、「着地スピード」はいくらか。

これは基本的に、自然落下の話だ。一般に、落下物（近似的な質点、つまり

質量だけあって大きさがゼロ、空気抵抗ゼロとみなせる物）の質量をｍ、落

下の垂直距離をｈ、重力加速度をｇ、落下後の速度をｖ（下向きを正）とし、位

置エネルギーの基準点（＝原点）を落下後の高さとすると、

　　　（飛び降りる直前の位置エネルギー）＝（落下後の運動エネルギー）

　　　∴　ｍｇｈ＝（１／２）ｍｖ²

　　　∴　ｖ＝√（２ｇｈ）　　（公式に近い関係式）

　　　∴　（着地時のくるみの速度） ｖ ＝ √（２×９．８×１．５）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ √２９．４　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ５．４２２１７６６８４６９０３８３６・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ５．４２２１７６６８４６９０３８４　（ｍ／ｓ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（四捨五入）

これは、男子がきちんと飛び降りた場合なら痛くないが、オタク系の女子が

グシャッと落ちた場合には「かなり痛い」速度かも知れない♪　

実際のくるみの場合、接地後に０．２秒間くらい（？）かけてグシャッとなるはず

だから、その間の重心の落下距離も考える必要がある。橋本愛の身長は１６５

ｃｍで、身体はかなり曲げた状態だったから、接地後、減速しながら、５０ｃｍ分

くらいの落下がプラスされたはず。もちろん、この短い時間は足腰や手で踏ん

張ってるので、自然落下ではない。強制減速落下だ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ウォーミングアップを終えた所で、次は今回のメインの数学、確率だろう。計算

は簡単なのに、大部分の人が苦手とする話で、ドラマでは数式を使わずに大

まかな説明を行ってた。正確ではないが、基本的には正しい。

伴田は健康診断か何かで、難病の疑いを指摘されて落ち込んでた。

　　　「胸部Ｘ線検査で両側肺門リンパ節膨張を認めます。 

　　　　ランゲルドーシスの疑いがあります。再検査を受け、 

　　　　治療等指導に従ってください。」

「ランゲルドーシス」という病名は、日本語で検索するとこのドラマの情報ばか

りが並ぶし、英語、ドイツ語関連で調べても何もヒットしない。ｌ（エル）とｒ（アー

ル）、「ａ」と「ｕ」など、アルファベットの綴りを変えてもダメだから、ドイツ語っぽ

い語感で作った造語のような気がする。「Ｌｕｎｇｅｌｄｏｓｉｓ」で、「肺の難病」とい

う意味だろう。

とにかく、１万人に１人がかかる難病で、検査の精度は９９．９％。この精度の

意味は、数学的なものであって、１万人が検査を受けると９９９０人が正しく診 

断されるという意味だ。その点は重要なので、くるみがしつこく確認してた。

伴田は、精度が９９．９％の検査だから、それをほぼ信じて諦めていた。「難病

という診断が」間違ってる確率は０．１％。そう思うのがフツーの感覚だろうが、

確率・統計学にはまさに致命的な間違いだ。本当は、大丈夫である確率の方

が遥かに高いのに、もう助からないと誤解してしまってる。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

先に、数学的な解答を示してから、ドラマに戻るとしよう。条件付き確率の一例

である「原因の確率」の公式、つまりベイズの定理を用いればすぐ解ける。式

と計算だけなら一瞬だが、少し解説を交えることにしよう。

忘れがちなポイントは、難病の場合、本当は病気でないのに病気だと診断（誤 

診）される確率が非常に高いことだ。実際、再検査で陰性と診断された伴田の

場合がそれに当たる（再検査の方が正しいと想定した場合）。

（一般的に、検査を受けた人が本当に病気で、かつ、病気と診断される確率）

　　　　　　　　　＝１／１００００×９９９／１０００

　　　　　　　　　＝９９９／１０００００００

（一般的に、検査を受けた人が本当は病気ではなく、かつ、病気と診断される確率）

　　　　　　　　＝９９９９／１００００×１／１０００

　　　　　　　　＝９９９９／１０００００００

∴　（病気と診断された人が、本当に病気である確率）

　　　　　　　　　　＝（９９９／１０００００００） 

　　　　　　　　　　　　　　　　　÷（９９９／１０００００００＋９９９９／１０００００００）

　　　　　　　　　　＝９９９／１０９９８

　　　　　　　　　　＝０．０９０８３・・・

　　　　　　　　　　＝９．０８３・・・（％）

　　　　　　　　　　≒９％

これは、「病気という診断結果が出た原因が本当に病気である確率」という意味

で、「原因の確率」と呼ばれてるものの一例だ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

くるみの説明を正確に引用すると、次の通り。図は省略するが、補助的な役

割しか果たしてなかったので、差し障りはないはず。　　　

　　　検査の精度は９９．９％。

　　　ということは、１万人が受けて来たとすると、９９９０人には正しい

　　　判定が下るけど、残り０．１％の１０人には、間違った判定が下る。

　　　ということは、本当に病気なのは１万人に１人のはずなのに、

　　　病気と判定される人が、１０人くらい出て来てしまうってことなんです。

　　　だから、伴田さんが病気の確率は、９９．９％ではなくて、

　　　１０人の内の１人、せいぜい１０％ってことなんです。

大まかに言うと正しい流れだが、正確には、病気と診断される人の数は１０人 

ではない。だから、１０人「くらい」とボカしてるのだ。上の計算の確率を使うと、

　　　　　（本当に病気で、かつ、病気と診断される人の数）

　　　　　　　　　　　　＝１００００（人）×９９９／１０００００００

　　　　　　　　　　　　＝０．９９９（人）

　　　　（本当は病気でなく、かつ、病気と診断される人の数）

　　　　　　　　　　　　＝１００００（人）×９９９９／１０００００００

　　　　　　　　　　　　＝９．９９９（人）

　　　∴　（病気と診断される人の数）＝０．９９９＋９．９９９

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１０．９９８（人）

つまり、１０人くらいと言うより、むしろ、ほぼ１１人なのだ。１０．９９８人として

計算すれば、答は前の計算と同じになる。

　　　（病気と診断された人が、本当に病気である確率）

　　　　　　　　　　＝（本当に病気で、かつ、病気と診断される人の数）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷（病気と診断される人の数）

　　　　　　　　　　＝０．９９９÷１０．９９８

　　　　　　　　　　＝９９９÷１０９９８

　　　　　　　　　　≒９（％）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後にオマケとして、素因数分解を利用した暗号について。地デジのエラーで

最後しか見えなかったが、やってる事は理解できた。

例えば、「３６４５０」という数字の暗号があったとしよう。素因数分解、つまり素

数（１とその数自身でしか割れない数）の掛け算で表すと、

　　　３６４５０＝２×３×３×３×３×３×３×５×５

　　　　　　　　＝（２の１乗）×（３の６乗）×（５の２乗）

ここで、素因数（素数である約数）の右肩の数字、「１，６，２」を５０音表（あ～ん）

の順番だと考えると、「あ、か、い」。つまり、「赤い」を意味してると解読できる。

２以上の自然数に対して、素因数分解はただ一通りだけ存在するので、解読

も一通りに限定される。

実際の黒板では、ものすごく大きな数の素因数分解を利用して、素数としては

２、３、５、７、１１、１３、１７くらいまで使ってたように見えた。人間が手で計算

するのはほとんど無理だが、ネット上に色々ある無料サイト、つまりコンピュー

ターを使うだけでも、かなりの素因数分解は可能。

くるみが素因数分解だと見破ったのは、本の空欄を透かし見た時の長い数の

末尾に０がズラッと並んでたから。これは、その数が１０（＝２×５）を何度も掛

け合わせてる証拠。さらに、０の前の数字を足すと３の倍数になったから、その

数自体も３の倍数（有名な話で、証明省略）。結局、元の長い数は、２と３と５、

つまり素数を何度も掛け合わせた数だから、素因数分解を使った暗号だと見破っ

た。もちろん、暗号と素数のつながりは、前提的な知識として持ってたはずだ。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、ランダムではなくカオスという話はとりあえず保留する。カオスだと、わり

と簡単な規則でも、初期値の僅かな違いによって予測できない複雑な変化が

生じるという話はよく聞くし、イメージも何とか出来るが、わかりやすい具体例

を示したサイトが見当たらない。初期値でなく、規則の方を変えた話ばかりが

ヒットする。

自分で「ロジスティック写像」を使って具体例を作ろうとしてみたが、計算が大

変。自動で計算できる英文サイトも調べてみたが、激重だったリ接続不能だっ

たり、あるいは動かなかったりで、どこも失敗。

ちなみに、ランダムもカオスもわりと曖昧な概念だからなのか、カオスのランダ

ム性といった形で、２つを結びつけた文書を２つ見つけた（北大、京大）。この

用語法だと、ドラマの話は、「ランダムじゃなくカオス」と言うより、「規則性を

持ち、初期値の変化に敏感なランダム、すなわちカオス」と言うべきなのかも

知れない。

とにかく、犯人の論文は規則性を見落としてたから、くるみが指摘したという

流れだろう。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　くるみが伴田の車に乗ってる時、面白い話に関する確率計算を行っ

　　　　　てた。候補となってたのは、フェルマーの最終定理、オイラーの公式、

　　　　　黄金比。ＣＰＴ（Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　Ｔａｂｌｅ ： 条件付き確率表）

　　　　　という文字が浮かんでたし、式の形から見ても、何か条件付き確率と

　　　　　か原因の確率を計算してたようだ。

　　　　　たとえば、黄金比の話をしてウケたという条件のもとで、伴田がくるみ

　　　　　に好意を抱いてる確率を計算するとか。

Ｐ．Ｓ．２　爆弾テロリスト・湯沢道明（嶋田久作）の１５年前の論文、「金融シス

　　　　　　テムがもたらす経済破綻の数学的証明」（１９９８年３月）に対する、

　　　　　　くるみの批判は次の通り。

　　　　　　「あなたは間違っています。あなたの微分方程式は同じ確率分布に

　　　　　　従うランダムな変数原子（？、聞き取り不能）を消去してしまうことに

　　　　　　よって導き出されています。でもその中に、消去してはいけない項が

　　　　　　あったんです。

　　　　　　一見ランダムに見えるけれど、実はごく簡単な方程式から導き出さ

　　　　　　れている項。初期値の僅かな変化が、結果に大きな違いをもたらす

　　　　　　ためにそれは、複雑で非周期的な数列を作り出してしまう。

　　　　　　あなたはそれを、ランダムな過程と見間違えた。それはランダムで

　　　　　　はありません。カオスです。消去してはいけなかったんです。」　　

　　　　　　下がその微分方程式（ｘ≧１、変数は時間 ｔ ）で、赤い波線部が、湯

　　　　　　沢が消去してしまった項。つまり、カオス性をもたらす項らしい。

Ｐ．Ｓ．３　誕生日の月と日にちを足した数が２８だと、どうして１１月１７日だと

　　　　　　分かるのか？　そんな感じの検索アクセスが入ってたから、お答え

　　　　　　しとこう。上のＰ．Ｓ．と同じ、車のシーンで、要するに有名な黄金比

　　　　　　を使ったコネタを持ち出してるのだ。

　　　　　　黄金比は、１：（１＋√５）／２。近似的には、１：１．６２。月と日を足し

　　　　　　て２８の時、月：日が黄金比に一番近いのはどの組合せか。

　　　　　　　　１０月１８日　　１：１．８０

　　　　　　　　１１月１７日　　１：１．５５

　　　　　　　　１２月１６日　　１：１．３３

　　　　　　という訳で、くるみが、黄金比に一番近い１１月１７日だろうと試しに言っ

　　　　　　たら、伴田に「さっき免許、見たろ」とか冷たく言われてしまったわけだ♪

ｃｆ．　トランプのポーカーの確率計算

　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第１回解説

　　　無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺した伝説の検証

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ラブレターの換字式暗号＆数字の順列パスワード～第４回

　　　計量文献学による解析、Ｋ特性値、筆者判定～第４回

　　　ハートマークと「ｉ　ＬＯＶＥ　ｕ」、愛の方程式～第５回

　　　「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物（原論文）～第５回

　　　特殊な違いの有無の判定（統計的推測、５％片側検定）～第６回

　　　変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～第７回

　　　変化点検出とスコア、具体的な計算例～最終回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４８３５字）