ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど～『ハードナッツ』第３回

依然としてパソコン入力が大変な状況が続いてるが、昨日のピタゴラス殺人

犯伝説の検証に続いて再び、『ハードナッツ』第３回の数学＆物理的解説を

手短にアップしよう。

メインで扱う「ピタゴラス音律」は私にとって、これまでで一番のハードナッツ

（ｈａｒｄ　ｎｕｔ ： 難問題）だった。まだナッツがパカッと割れた訳ではないが、ヒ

ビを入れることには成功したつもり♪　ついでに音階や白黒の鍵盤も理解で

きた。

その前にまず、「ソフトナッツ」、すぐ解ける問題を扱っとこう。教授が死ぬ間

際に流れてた音楽、「ダイイング・メロディー」を、くるみ（橋本愛）はどう解読

してたか。「ド・ミ・ファ・ド（高い）・ド・レ・シ・レ」 ♫

ポイントは、円周率π（３．１４１５９２・・・）の音楽の作り方。１をド、２をレ、３

をミ・・・という風に、単純に数字と音名を置き換える（換字式暗号）。すると、

　ド・ミ・ファ・ド（高い）・ド・レ・シ・レ　→　１３４８１２７２　＝　２３８の３乗 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　ふみや・さんじょう

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　三条文也

　　ちなみに３乗の計算は、

　　筆算してもいいが、あ

　　えてカシオのサイト

　　「ｋｅｉｓａｎ」の指数関数

　　を使って確認した。底

　　（てい）ａを２３８、変数

　　ｘを３と入力。　　　

　　という訳で、犯人は出

　　版社の三条だと、くる

みが伴田（高良健吾）に説明した途端、三条が死んだという電話がかかって

来た。要するに、くるみは、真犯人・堤彩葉（いろは ： 中越典子）が仕掛けた

罠にハメられたわけだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

ソフトナッツを簡単に割った後は、いよいよハードナッツ。殺された教授のピ

アノ調律に使われてたという、ピタゴラス音律。まず、くるみが彩葉を問い詰

めた台詞の引用から入ろう。

　　　「あなたは、あのメロディーが小板橋教授の部屋から聞こえてきたと

　　　　嘘をついた。

　　　　・・・・・・あなたは言いましたよね？　教授が最後に奏でたメロディー

　　　　におかしなところはなかったと。・・・そんなはずはないんです。教授

　　　　のピアノは、現代の音階じゃない。ピタゴラス音律を再現したものだっ

　　　　たんですから。

　　　　・・・・・・もちろん、あなたなら知っていますよね？　ピタゴラス音律は、

　　　　私たちが現在聞いているドレミの音とは違う。少し、ズレがあるんです」。　　　

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ピタゴラス音律は、英語だと「Ｐｙｔｈａｇｏｒｅａｎ　ｔｕｎｉｎｇ」だから、チューニング

（調律）の一種。ただ日本語だと、基本的な音の並び方、音階を指してるよう

だ。物理的には、それぞれの音の高低を決める周波数の組み合わせ方。

スタート地点は、１オクターブの周波数の差、つまり２倍。これを普通の音律

である平均律（十二平均律）だと、１２の差へと均等に分ける。ただし、１２で

割り算するのではなく、１２回掛け合わせて２になる数、２の１２乗根（₁₂√２≒ 

１．０６）ずつの周波数倍率に分けるのだ。ピアノの鍵盤なら、次のように割り

振る。

　　注意が必要なのは、

　　全音と半音の区別。

　　黒い鍵も含めて、

　　１２個の音の差を

　　半音と呼び、これ

　　が周波数１．０６倍

　　に相当。

　　すると、ドとレの差

　　は半音２つ分、つま

　　り全音だから、周波

　　数は（₁₂√２）²倍の

　　差となる。ミとファ、

シとドの間だけは半音。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、ピタゴラス音律の場合は、１オクターブ（＝２倍差）の分け方が全く違う。

基本的には、２の１２乗根のような無理数を使わず、簡単な有理数を利用。

上に３／２倍（＝１．５倍）、下に２／３倍（＝０．６７倍）していくのだけど、その

ままでは変化が大き過ぎるし、上下にいくら進んでも、オクターブの差を作れ

ない。つまり、２倍、４倍・・・や、１／２倍、１／４倍にならない。

そこで実際は、オクターブの差だけは別扱いで掛けるようだ。すると、３／２や

　　２／３を何度か掛け

　　合わせて、さらに２ 

　　や１／２も何度か

　　掛け合わせて、１

　　オクターブを分け

　　ることになる。くる

　　みが黒板に書い

　　てた数式も、そう

　　なってた。　　

　　日英のウィキペ

　　ディアに従うと、左

　　のように配分する

らしい。例えば、ドとシの差（２４３／１２８）倍なら、 （３／２）の５乗に、（１／２）

の２乗を掛ければいい。

結局、ズレはどの程度になるのか、計算してみよう。上段が平均律、下段が

ピタゴラス音律、ドレミファソラシドの間の倍率だ（ドが基準）。端数省略の近

似値で、計算は再びカシオのサイトを利用した。

　　　１．１２倍　　１．２６　　１．３３　　１．５０　　１．６８　　１．８９　　２．００

　　　１．１３倍　　１．２７　　１．３３　　１．５０　　１．６９　　１．９０　　２．００

意外なほど、僅かな差だ。ＹｏｕＴｕｂｅで聞き比べても、ほとんど分からない。

ただ、同時に鳴らすと、うなりが生じてるから、僅かに周波数が違うのだろう。

専門家の彩葉なら気付いたはず、という話の流れだった。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　この記事をアップした後すぐ、詳しくて丁寧な解説がｐｄｆファイルで

　　　　　公開されてるのを発見した。ただしピタゴラスの殺人伝説について

　　　　　は、日本語ウィキの不確かな記述をほぼそのまま引用してある。　

　　　　　　　　　　音律と音階　　ピタゴラスから平均律まで

Ｐ．Ｓ．２　くるみが最後に口にした、宇宙の秩序を調律する音楽、「ムジカ・

　　　　　　ムンダーナ」（ｍｕｓｉｃａ　ｍｕｎｄａｎａ）は、「宇宙の音楽」を指す中世

　　　　　　ラテン語。ピタゴラスの時代（古代ギリシャ）の言葉ではない。

Ｐ．Ｓ．３　小板橋教授の講義で、黒板にこう書いてあった。

　　　　　　　　ピタゴラスの数の概念

　　　　　　　　「万物の根源（アルケー）は水である」（アリストテレス『形而上学』）

　　古代ギリシャ語で書かれた

　　『形而上学』の原書を、英訳

と比較すると、上の個所が「根源を水と考える」という意味のようだ。ギリシャ

語のウィキソースより。

Ｐ．Ｓ．４　くるみが冒頭で黒板に書いてた積分の式が、音波をサイン曲線（正

　　　　　　弦波）の和へと分解して扱いやすくする、フーリエ解析。

ｃｆ．　トランプのポーカーの確率計算

　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第１回解説

　　　検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌ』第２回解説

　　　無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺したという伝説の検証

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ラブレターの換字式暗号＆数字の順列パスワード～第４回

　　　計量文献学による解析、Ｋ特性値、筆者判定～第４回

　　　ハートマークと「ｉ　ＬＯＶＥ　ｕ」、愛の方程式～第５回

　　　「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物（原論文）～第５回

　　　特殊な違いの有無の判定（統計的推測、５％片側検定）～第６回

　　　変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～第７回

　　　変化点検出とスコア、具体的な計算例～最終回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２６５３字）