特殊な違いの有無の判定（統計的推測、５％片側検定）～『ハードナッツ』第６回

どうも、記事執筆の戦略がプチ失敗だったようだ♪　難し過ぎるというか、面

倒過ぎることにこだわって時間を浪費。こんな事ならドラマ終了直後、サラッ

と簡単に書いた方が良かったな・・・というのは単なる結果論かも。。

『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第６回、「対決！！未来を読む 

男」（脚本・徳尾浩司、演出・橋本光二郎）。今回は珍しく、数学考証・根上生也

以外に、確率論考証・今野紀雄という名前まであった。調べてみると、かなり

活躍してる横国大・大学院の教授とのこと。

マニアックなブロガーが色んなツッコミを入れて来るから、ＮＨＫとしても対策

を練ったんだろう・・・という仮説は間違いだろう♪　当サイトのレビューは今年

だが、ドラマ制作は既に去年完了。よって、信頼度９９％超の正確な判定で、

その仮説は棄却されるのだ。。

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さて今回、数学ガール・難波くるみ（橋本愛）が具体的に計算してみせたのは、

簡単な確率を用いた初歩的な統計的推測。「片側検定」と呼ばれるものだ。

高校数学の場合、少し前までの旧課程だと数学Ｃの分野。今現在の新課程

だと数学Ｂに格上げされてるようだが、片側検定・両側検定といった区別まで

教えてるかどうかは確認してない。私は高校の授業でどちらも習ったが、旧

課程の数学Ｃの教科書には、片側・両側とか「検定」という言葉抜きで、単に

確率分布の両側を考慮した「推定」のやり方が説明されてる。

簡単に違いを示すと、検定とは、ある具体的なデータが特殊かどうかのチェッ

ク。特に、「特殊ではない」（＝自然に起きる現象だ）という仮説が正しいかど

うかのチェックを指す。推測とは単に、データがどうなるかの予測だ。

いずれにせよ、くるみの計算は高校数学の標準レベルに過ぎない。それに対

して、記者会見や黒板に書かれてた数式の多くは専門的で、ネットどころか中

規模の書店で探しても僅かな情報しか出ないほど。統計学辞典でさえ、ほん

の少ししか書いてなかった。私は今回、こちらにハマって時間を浪費したのだ。

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では、くるみの５％検定の話に向かおう。まず、貴島道夫（吉沢悠）が開発し

て試験導入されたＣＰＳ（Ｃｒｉｍｅ　Ｐｒｅｄｉｃｔ　Ｓｙｓｔｅｍ ： 犯罪予測システム）に

ついて、伴田刑事（高良）が「当たり過ぎてる気がする」と不信感を抱く。犯罪

が起こりそうなホットスポットを１２回（のべ１２ヶ所）予測して、１１回も的中。

そこで、くるみは直ちに９２％だと単純計算。１１÷１２＝０．９１６・・・。よって

９２％。ただし、これだけでは「当たり過ぎ」という判定は出来ない。そもそも、

シミュレーションで７０％の精度を誇るシステムだから、単なるコイン投げ（確

率半々）の実験とは違ってる。

ただ、伴田や視聴者に分かりやすく説明するために、くるみは最初、コインの

例を持ち出した。微妙な語り口にしてあったが、論理的に再構成しとこう。

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コインを１０回投げて８回表が出たら、不自然なイカサマかどうか。この時、統

計学的推測では、「イカサマ（隠れた特殊な条件）が無いという仮説のもとで、

表が８回以上出る確率は５％未満かどうか」を計算する。表が出る確率も裏

が出る確率も、１／２と仮定するわけだ。

（表が８回出る確率）＝｛（１／２）の１０乗｝×

　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０回の中から表が出る８回を選ぶ組合せの数）

　　　　　　　　　　　　　＝（１／１０２４）× 10 Ｃ 8

　　　　　　　　　　　　　＝（１／１０２４）×４５

（表が９回出る確率）＝｛（１／２）の１０乗｝×

　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０回の中から表が出る９回を選ぶ組合せの数）

　　　　　　　　　　　　　＝（１／１０２４）×10 Ｃ 9

　　　　　　　　　　　　　＝（１／１０２４）×１０

（表が１０回出る確率）＝（１／２）の１０乗

　　　　　　　　　　　　　　＝（１／１０２４）×１

∴　（表が８回以上出る確率）＝（１／１０２４）（４５＋１０＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５６／１０２４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝０．０５４６８７５・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒５．４７％　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　（注．　ドラマではなぜか切り捨てで５．４６％としてた）

５．４７％ ＞ ５％だから、珍しいけど一応あり得ることであって、イカサマが無い

という仮説を捨てるほど特殊な現象ではない、と考える。つまり、イカサマとま

では言いきれない。判定の基準値は棄却域とか危険率と呼ばれ、よく使われ

るのは５％。次に使われるのが、かなり厳しい１％だろう。

ちなみに棄却域とは、そこに入ったら仮説を棄却する確率の値域の境界（＝

上界）という意味。危険率とは、その値を基準にした判断が間違ってる危険の

確率ということだ。５％を下回ったから仮説を捨てた場合、その捨てた判断が

実は間違ってるという危険を考えた言葉らしい。まあ、要するに、判断の分か

れ目となる基準値だ。

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一方、１０回中、表が９回出たらイカサマかどうか。これも同様に、「イカサマ

が無いという仮説のもとで、表が９回以上出る確率は５％未満かどうか」を計

算する。

８回の時の計算を使えば、

（表が９回以上出る確率）＝（表９回の確率）＋（表１０回の確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝（１／１０２４）×（１０＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝１１／１０２４

　　　　　　　　　　　　　　　　＝０．０１０７４２１・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　≒１．０７％　　　

１．０７％ ＜ ５％だから、不自然に低い確率となってる。よって、「イカサマが 

無い」という前提仮説は捨てられ、実はイカサマがあったと判断される。

ちなみに、棄却域とか危険率として、５％の代わりにより厳しい１％という値が

使われることもある。その場合は、１．０７％だと、イカサマとまでは言いきれな 

いことになる。ともあれ、５％にせよ、１％にせよ、統計学的に基準値自体には、 

数学的な根拠はない。要するに、分かりやすい値だし、経験上もかなり上手く

いってるという事だ。１０％だと大まか過ぎるのだろう（後述する両側検定は別）。

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さらに、例のシステム「ＣＰＳ」による予測がイカサマ（不自然）かどうか。くる

みが黒板でやってみせたのは、１４回の予測の内、１３回で事件が起きた場 

合の検定だった。コインと違って、精度７０％（ハズレる確率３０％）というもの

を考慮し、「イカサマが無いという仮説のもとで、１３回以上起きる確率は５％ 

未満かどうか」を計算する。

（１３回起きる確率）＝｛（７０／１００）の１３乗｝×３０／１００

　　　　　　　　　　　　　　×（１４回の中から事件が起きる１３回を選ぶ組合せの数）

　　　　　　　　　　　　＝｛（７０／１００）の１３乗｝×（３０／１００）×14 Ｃ 13

　　　　　　　　　　　　＝｛（７０／１００）の１３乗｝×（３０／１００）×１４

　　　　　　　　　　　　≒０．０４０６９３４

（１４回起きる確率）＝（７０／１００）の１４乗

　　　　　　　　　　　　≒０．００６７８２２３

∴　（１３回以上起きる確率）≒０．０４０６９３４＋０．０６７８２２３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒０．０４７４７５６　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒４．７％

ドラマでは端数を考えたのか、最後から２番目の数字が０．０４７４７５「７」とさ

れてたが、そんな細かい数字は関係ない。要するに、４．７％ ＜ ５％だから、

「イカサマが無い」という仮説は捨てられる。つまり、際どい所だが、おそらく

イカサマがあったと判断されるのだ。

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最後に、片側（ｏｎｅ－ｓｉｄｅｄ）と両側（ｔｗｏ－ｓｉｄｅｄ）という区別について。ドラ

マの場合、要するに、イカサマによって当たり過ぎてるのではないか？、とい

う問いがスタートとなってる。

だから、色んな当たり方が考えられる中、「よく当たってる側」の５％に入って 

るかどうかを見たわけだ。コインの場合も、「イカサマによって表が出過ぎて

るのではないか」と考えて、「よく表が出る側」の５％に入ってるかどうかを見

た。こうした発想の検定を、片側検定と呼ぶ。

それに対して、単に不自然かどうかを考えるなら、「よく当たってる側」だけで

なく、「よくハズレてる側」も考慮する必要がある。コインなら、「よく裏が出る側」

も考慮。こうした両側を考えて、どちらかに入ってるかどうかで不自然さを判定

するのが、両側検定だ。

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当たり過ぎかどうかを見るのが片側検定。不自然（当たり過ぎ＆ハズレ過ぎ）

　　かどうかを見るの

　　が両側検定。もし、

　　同じ棄却域（５％

　　とか）を用いるな

　　ら、両側の方があ

　　る意味、厳しい判

　　定となる。左図の

　　ように、両側の方

　　が、左右それぞれ

　　のエリア１つを見

　　ると狭いからだ

　　（２．５％ずつ）。

　　図は福山平成大・

　　福井正康氏のｐｄｆ

　　ファイルからお借

りした。棄却域をαで表して、両側検定だとα／２になることを図示してある。

同じ ｔ という確率が、両側だと棄却域に入らず、片側だと入ってる。つまり、両 

側の方が入りにくいわけで、不自然だと判定する基準が厳しいのだ。そのため、

基本的には両側検定を使うことになってる印象だ。

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なお、ドラマのＣＰＳの場合、１４回中１３回以上当たる確率は約４．７％であって、

４．７％ ＞ ２．５％。よって両側検定だと、イカサマとは判定されないことになる。

正確に言うなら、イカサマが無いという仮説を捨てるほど珍しい現象とまでは言

いきれない、ということだ。

黒板に書かれてた「セントログラフィー」（多数のものの中心＝センターを求め

ること）や「最近隣分析」（一番近くの点までの距離の分析、判定）、あるいは冒

頭の難しい数式（エリア内犯罪発生率）については、また後で書き足すかも知

れない（下のＰ．Ｓ．２参照）。

平面を多くのブロック（Ｍ×Ｎ区画）に分けて、当日（日付け ｔ）と前日と前々日

の間の漸化式のようなものを立ててた訳だが、少なくとも、冒頭の１ヶ所は間

違ってたと思う（中段で、ｔ－１，ｔ－２と書くべき所を、ｔ－１，ｔ－１と書いてたの

ではないか・・）。

途中で映ったポアソン分布の式については、既に初回に説明してあるので省

略。とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　黒板にくるみが（？）書いてた最近隣分析の式２本の内、下の式は

　　　　　おそらく間違ってる（分子と分母が逆）。２日以内に追記する予定。

Ｐ．Ｓ．２　では、黒板の右下にあった「最近隣分析」（ｎｅａｒｅｓｔ　ｎｅｉｇｈｂｏｒ

　　　　　　　ａｎａｌｙｓｉｓ）について。大まかに言うと、平面上の複数の点がどの

　　　　　　　程度、密集・集中してるか、あるいは分散してる（＝バラけてる）か

　　　　　　　を判定する分析だ。ドラマの物語上は、犯罪発生地点の特徴を

　　　　　　　見出す作業ということになる。

　　　　　　　まず、ある１点から最も近い点までの距離（＝最近隣距離）を求

　　　　　　　める。それを全ての点について求めて平均したものが、「平均最 

　　　　　　　近隣距離」で、黒板では「ｒ a」と書かれてた。

　　　　　　　一方、統計学的に「ランダム」（無作為）とみなされる点の分布

　　　　　　　（一様ポアソン分布）について求めた平均最近隣距離は、「ｒ e」

　　　　　　　と呼ばれる。計算方法はまだ分からないが、面積Ａ、点の個数 

　　　　　　　ｎの場合、１／｛２√（ｎ／Ａ）｝になるらしい。この分母のルートを、

　　　　　　　分数の右側（つまり分子の側）に書いてしまってたのが、ドラマの

　　　　　　　黒板の間違いなのだ。

　　　　　　　結局、ｒ a ／ ｒ e という分数の値Ｒを考えて、これが１よりかなり

　　　　　　　大きければ分散、１よりかなり小さければ密集と判断する。

　　　　　　　もし密集してるのなら、点の位置のセンター（中心＝平均）を求め

　　　　　　　てみるのが自然な発想だろう。それには黒板の右上にあったセン

　　　　　　　トログラフィーの簡単な式を使えばいい。あれは単に、Σ（シグマ）

　　　　　　　でｘ座標Ｘｎやｙ座標Ｙｎの和をとって、個数ｃで割ってただけ。単純

　　　　　　　平均を難しげな式で書いてただけなのだ。ところが、ｃで割るべき所

　　　　　　　をΣの変数ｎで割ってしまってたから、これまた不注意によるミスだ

　　　　　　　ろう。

Ｐ．Ｓ．３　　冒頭の発表会でスクリーンに映し出された「エリア内犯罪発生率」

　　　　　　　の式３本も見ておこう。まず１本目。第ｉｊ番目のエリア（区域）におけ

　　　　　　　る犯罪発生率だろう。右辺のｐの右肩の「ｋｈ」は、何乗かを表す指

　　　　　　　数ではなく、添え字だと思われる。第ｋｈ番目のエリアの犯罪が、第

　　　　　　　ｉｊ番目のエリアの犯罪につながる確率かも知れないが、詳細不明。

　　　　　　　続いて、２本目の式は、１本目の右辺の項Ｓを説明するものだ。

　　　　　　　時刻ｔ－１（前日とか）と時刻ｔ－２（前々日とか）の値を左辺に書く

　　　　　　　時、ｔ－２をｔ－１と書き間違えたのだと思う。

　　　　　　　最後の３本目の式は、一本目の右辺で確率（？）を表す項ｐの説明。

　　　　　　　私の環境だと細かい部分が読み取れなかったが、ＢＳ（？）やブルー

　　　　　　　レイのフルＨＤ映像なら分かるのかも。いずれにせよ、この式から、

　　　　　　　ｉｊとｋｈがどちらもエリア番号を示す添字だろうと推測できる。分数の

　　　　　　　分母のｄは２つのエリア間の距離だろう。

ｃｆ．　トランプのポーカーの確率計算

　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第１回解説

　　　検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌ』第２回解説

　　　無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺したという伝説の検証

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど～第３回

　　　ラブレターの換字式暗号＆数字の順列パスワード～第４回

　　　計量文献学による解析、Ｋ特性値、筆者判定～第４回

　　　ハートマークと「ｉ　ＬＯＶＥ　ｕ」、愛の方程式～第５回

　　　「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物（原論文）～第５回

　　　変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～第７回

　　　変化点検出とスコア、具体的な計算例～最終回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　５２６２字）