変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～『ハードナッツ』第７回

いよいよ大詰めが近付いて来た、ＮＨＫ『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する

事件簿～』。今までは脳内イメージも含めて、数学ガール・難波くるみ（橋本

愛）が具体的な計算をやってみせてた訳だが、第７話「恐怖のウイルスとくる

みの秘密（前編）」では、ほとんど計算なし。くるみと刑事・伴田（高良健吾）の

秘密の方に重点を置いたのだろう。

試しに第８話（後編）について、文庫本を流し読みしてみると、やはり具体的

な計算は無さそうな気がする。前編の延長であって、新たな数学的要素が

見当たらないのだ。まあ、橋本愛の表情と声だけでも可愛いのは事実だが、

数学好きとしてはちょっと残念な終わり方だ。

当サイトでは、『ガリレオ』の場合、人文系レビューと理数系の数式記事の２

本を毎回書いて来たが、『ハードナッツ』ではここまで数式記事しか書いてな

い。今更、最後の２話だけ人文系レビューを書く気にもなれないから、仕方な

く、やや強引に数学記事を書いてみよう。

ちなみに前回の記事は、アップした４日後くらいに１０００字ほど追記。非常に

専門的な数式をそれなりに解説してある。もう少し情報が手に入れば、完全

に読み解ける所まで近づいてるのだ。まだ読んでない方は、ご覧あれ♪　　　　　　　　　　　　

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では、数式。冒頭でくるみがノートに書いてた式は、残念ながら私の環境では

読み取れなかったが、傾きｍ₁、ｍ₂の２直線がなす角θ（シータ）について、三

角関数のｔａｎ（タンジェント）を使って何か計算してたような感じだ。

高校数学（１～２年）の標準レベルでよく使う式も入ってたように見えたから、

一応、証明付きで掲載しとこう。傾きｍ₁、ｍ₂の直線がｘ軸の０以上の部分と

なす角をそれぞれα、β（ただし、０≦β＜α＜１８０°）とすると、

　　ｔａｎθ＝ｔａｎ（α－β）

　　　　　　＝｛ｓｉｎ（α－β）｝ ／ ｛ｃｏｓ（α－β）｝

　　　　　　＝（ｓｉｎα ｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ） ／ （ｃｏｓα ｃｏｓβ＋ｓｉｎα ｓｉｎβ）

　　　　　　＝（ｔａｎα－ｔａｎβ） ／ （１＋ｔａｎα ｔａｎβ）

　　　　　　＝（ｍ₁－ｍ₂） ／ （１＋ｍ₁ ｍ₂）　　

２行目と３行目はあえてｓｉｎ、ｃｏｓを使ってみたが、飛ばしていきなり４行目に

進んでもいい。要するに、教科書に太字や枠組み付きで載ってる、三角関数

の加法定理。

この式（左辺＝右下）に、ｍ₁－ｍ₂を示すルート付きの式と、もう一つ何かの式

を代入して、ｔａｎの値（さらにθの値）を計算してたようだが、おそらくドラマと何 

の関係もない。単なる（簡単な）数学の勉強だろう。

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ウォーミングアップを終えた所で、本題の「変化点検出」。英語の「ｃｈａｎｇｅ－

ｐｏｉｎｔ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ」の直訳らしい。

ドラマの物語的に結びつけられてたのは、鈴虫の鳴き声が急に増えた（天敵

の鳥がウイルスで減った）事と、伴田からの携帯連絡がずっとゼロのままであ

る事だ。何か変化が起きるのではないか。既に起きてるのではないか。

くるみが黒板に書いたグラフは、どちらも横軸が１１月１０日からの日付け。つ

まり、時間。縦軸は、鈴虫の個体数（？）と、伴田からの携帯連絡（電話のみか）。

鈴虫のグラフは右上に急上昇してるから、関連する何かの急激な変化を表し

てるような気がする。伴田のグラフは横軸に張り付いたままだけど、だからこ

そ逆に、期待感も込めて、一気に上に向かうように見えなくもない。

こうした事を数学的、確率・統計学的に処理するのが変化点検出であって、く

るみが手に取ったブルバキによる同名の著作は単なるフィクション、偽物だ。

ブルバキというのは、２０世紀半ばくらいに注目を浴びたフランスの若手数学

者集団のペンネームだが、『変化点検出』という本は見当たらない。

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では、くるみの脳内イメージらしき映像にあった数式３本はどこから来たのか。

ネットで色々と調べてみたが、英語圏も含めてとにかく情報が少ないし、素人

にも分かる説明がほとんど見当たらない。参考書だと、山西健司『データマイ 

ニングによる異常検知』（共立出版）があちこちで話題になってるが、私の周

囲には無い。処理システムとしては、ＮＥＣのＣｈａｎｇｅ　ｆｉｎｄｅｒ（変化発見装置）

がメジャーなようだが、これまた素人にも分かる具体的説明が見当たらない。

そんな状況の中、もっとも丁寧な説明は、東京大学大学院・工学系研究科・社

会基盤学専攻の中西航氏のｐｄｆファイル、「Ａ　Ｕｎｉｆｙｉｎｇ　Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ　ｆｏｒ　

Ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ　Ｏｕｔｌｉｅｒｓ　ａｎｄ　Ｃｈａｎｇｅ　Ｐｏｉｎｔｓ　ｆｒｏｍ　Ｔｉｍｅ　Ｓｅｒｉｅｓ」だろう。

直訳は、「時系列から外れ値と変化点を検出するための統一的な枠組」となる。

　　時間に沿った

　　データ系列（鈴

　　虫の数の変化な

　　ど）の中で、特

　　殊な値が生じた

　　時、たまたま生

じた異常値に過ぎないなら「外れ値」（ｏｕｔｌｉｅｒ）、その後の系列全体を大きく変

える転換点なら「変化点」（ｃｈａｎｇｅ　ｐｏｉｎｔ）と呼ぶらしい。当然、外れ値は無

視して、変化点だけを発見したいわけだ。

実用的には、セキュリティと金融が代表的なものだろう。ネットのアクセスの

急増から悪意ある攻撃を検出したり、株価の急上昇や急降下をいち早く見

出したりできれば、大きなメリット、利益となる。ただし、要するに未来の予測

だから、完全に出来るはずはない。精度、単純性、計算スピード。納得しやす

さ、データ量などに注目して、システムを選択することになる。

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中西氏のファイルから、ドラマの映像に対応する箇所をコピペさせて頂こう。

下の２、３、５番目の式を書き換えた形になってるのが、ドラマの３本の式だ。

下では条件付き確率を表す記号（｜ｘ・・・」など）が使われてるが、ドラマでは

省かれてた。私も、省いていいと思うし、むしろ省いた方がスッキリする。

上の２番目の式、最初のスコアリング（点数評価）を、ドラマは「Ｓｃｏｒｅ（ｘ t）＝」

とおいてた事になる。その場合、上の３番目の式で、Σの前後の－ｌｏｇ ｐi・・は、

Ｓｃｏｒｅ（ｘ i＋1）になり、ドラマの２本目の式と同等になる。上の５番目のｌｏｇの

式を使って、上の３番目のｌｏｇの式を置き換えたものが、ドラマの３本目の式だ。

ただし、なぜかこちらだけ、底（てい）がネイピア数ｅ（≒２．７）の自然対数である

事を強調して、「ｌｎ」と書いてあった。

他にも紛らわしい箇所がある。上ではΣの変数 ｉ の範囲が、ドラマより１少な

い数になってるのだ。

　　　　ドラマ　　：　ｉ＝ｔ－Ｔ＋１　→　ｔ　　（Σの項は Ｓｃｏｒｅ ｘ i ）

　　　　中西氏　：　ｉ＝ｔ－Ｔ　→　ｔ－１　　（Σの項は Ｓcore ｘ i＋1）

これはΣでたまに生じる現象で、見かけ上の違いに過ぎない。実際にΣで足し

算する各項を書き並べれば、同じだと分かる。どちらも、次の和のことだ。

　　　　（Ｓｃｏｒｅ ｘ t-T＋1）＋（Ｓｃｏｒｅ ｘ t-T＋2）＋・・・・・・＋（Ｓｃｏｒｅ ｘ t）

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では、大きな流れで言うと、何をやってるのか。ｘ t は元の時系列データであっ

て、鈴虫が（１１月）１０日に２匹なら、 ｘ₁₀ ＝２ といった書き方になる。

ところで、過去のｘ （ｘ₁ ～ ｘ t-1）から、ｘ t の取り得る値の確率を表す式（確 

率分布）ｐ t-1を求めることが出来る。ｔ＝１０（つまり１１月１０日）なら、ｔ－１

（つまり１１月９日）までのデータを使って、ｘ₁₀ の確率分布を理論的に求め、

現実のｘ₁₀の値の確率を見るわけだ。現実の値は２だけど、理論的には２に

なる確率は５％しかないから珍しい、といった感じの使い方となる。前回の

統計的推測（片側検定）の話と似た発想だ。

当然、確率の値ｐは０から１の間であって、ｌｏｇ（対数）を取るとマイナスになる。

だから、ｌｏｇの前にマイナス記号を付けて、－ｌｏｇ ｐ とし、分かりやすいプラス

の数値に変えてある。これがＳｃｏｒｅ（ｘ t）だが、「対数損失」と呼ぶのは、「予

測された確率分布からその値がずれてる度合いを、対数で表したもの」という

ことだろう。要するに、異常性を表すのだ。

何かの正の変数にｌｏｇを付けると、元が１より大きい場合には、小さい値になる。

しかしこの場合、－ｌｏｇであって、しかも右側は確率（１未満）だから、小さい値

になるとは限らず、特に－ｌｏｇの右側が０に近いような値の時は、非常に大き

な値になる。

この－ｌｏｇの値、つまり ｘ t の「スコア」が非常に大きい時、元をたどると確率

が非常に低い時、そのｘ tは外れ値の可能性が高いと判断される。つまり、た

またま異常な値になっただけで（差し当たりは）相手にしなくていいだろう、と

いう意味だ。ただし、後で判断が変更される可能性は残ってる。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それでは、本物の変化点はどうやって検出するのか。簡単に言うと、単発の

外れ値ではなく、ある程度以上の複数の点が新しい流れを作り出してる箇所

を見つけるのだ。

そのために、－ｌｏｇの値、すなわちＳｃｏｒｅ（ｘ t）の値の平均みたいなものを計

算する。例えば、平均をとる時間の幅Ｔを１０日間とするなら、過去１０日分の

Ｓｃｏｒｅ（ｘ t）の平均を、 （１／Ｔ）ΣＳｃｏｒｅ で計算する。それが ｙ t であって、

１０日移動平均などと呼ばれるらしい。「移動」というのは、平均値が毎日動く

（＝変化する）からだろう。

外れ値の場合、単発だから、平均した ｙ t は小さな値のままになる。ところが

本物の変化点だと、持続的だから、平均 ｙ t はまず大きな値になる。ただし、

変化点を過ぎた後で一定の状態が続けば、また小さな値に戻る。要するに、

確率分布が新しくなって、確率が上がり（＝普通の現象になり）、Ｓｃｏｒｅが小

さくなるからだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

結局、ｘ t の変化を見出すために、 ｙ t の変化（急増＆減少）を見ることにな

る。だから、このｙ t に対しても、ｘ tと同様の処理が考えられる。つまり、確率

分布を求めて、－ｌｏｇ（つまり ｙ t のスコア）を計算して、（１／Ｔ）Σで移動平

均を出す。それをドラマの映像では、３本目の式でＳｃｏｒｅ（ｔ）と書いてたのだ。

理屈より具体例を見たい、と思った方は、私と同じ感性だが、ネットだとコン

ピュータ計算の結果がいくつかあるだけで、簡単な例を手作業で計算した例

がどこにも見当たらない。

そこで次回、私が簡単な具体例を作って、実際に計算してみせようと思う。今

日はもう時間切れだし、小説を流し読みした限りでは、次回のドラマも変化点

検出の続きになりそうな感じなのだ。

もし次回、新たな数学の話が登場した場合は、その話と変化点検出の具体例

と、両方について解説する予定。

　　（☆追記：　既に、続編記事をアップした。

　　　　　　変化点検出とスコア、具体的な計算例～『ハードナッツ』最終回　）

では、今回はそろそろこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　中盤で、中川、内村、川島の３人の行動範囲を円で表して、共通部分

　　　　　を求めてた。円の半径ｄ（の最大値）を求める式は、それぞれ次の通り。

　　　　　先に２ｄを計算するのは、それが往復の移動距離だからだ。

　　　　　中川　：　速さ ｖ＝２５（ｋｍ／ｈ）　　時間 ｔ＝２（ｈ）

　　　　　　　　　　　２ｄ＝ｖｔ＝５０　　ｄ＝２５（ｋｍ）

　　　　　内村　：　ｖ＝３０（ｋｍ／ｈ）　　ｔ＝１（ｈ）　　

　　　　　　　　　　　２ｄ＝ｖｔ＝３０　　ｄ＝１５（ｋｍ）

　　　　　川島　：　ｖ＝２５（ｋｍ／ｈ）　　ｔ＝１．５（ｈ）

　　　　　　　　　　　２ｄ＝ｖｔ＝３７．５　　ｄ＝１８．７５（ｋｍ）

ｃｆ．　トランプのポーカーの確率計算

　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第１回解説

　　　検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌ』第２回解説

　　　無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺したという伝説の検証

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど～第３回

　　　ラブレターの換字式暗号＆数字の順列パスワード～第４回

　　　計量文献学による解析、Ｋ特性値、筆者判定～第４回

　　　ハートマークと「ｉ　ＬＯＶＥ　ｕ」、愛の方程式～第５回

　　　「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物（原論文）～第５回

　　　特殊な違いの有無の判定（統計的推測、５％片側検定）～第６回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４８３３字）