変化点検出とスコア、具体的な計算例～『ハードナッツ』最終回

お盆休み前に色々バタバタしたせいで、放映３日後になってしまったが、最後

の記事をアップしよう。『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』最終回、

「恐怖のウイルスとくるみの秘密（後編）」。数学考証、根上生也。最終回と言っ

ても、明らかに続編を意識した終わり方なので、第１シリーズ最終回と言うべ

きかも。

ウイルス、数学ガール・難波くるみ（橋本愛）、伴田刑事（高良健吾）、どれも

一通りの秘密は明かされてたが、キレイに解決した形にはなってない。去年

はＢＳだったのが、今年は地上波の再放送へと格上げ。１年以内に第２シリー

ズがある方が自然だと思う。あるいは映画化とか。『ガリレオ』も含めて、事件

ものの連続ドラマでは、続編が珍しくないのだ。

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では、前回の記事の続きとして、「変化点検出」の計算の具体例を示すことに

しよう。ドラマの物語的には、くるみが伴田の致命的な変化点を検出した時、

数式計算は使ってない。恋する女の子の勘でおかしいと思って、計算を止め

て伴田の元に向かったわけだ。場所を突き止めたのも、直感か直観だろう♪

ただ、ここでは例の数式を真正面から取り上げてみる。実際、計算してみると

思ったより遥かに面倒で、ネット上に手作業の具体例が見当たらないのも当

然だなと納得した。コンピューターのプログラム計算ばかりで、それでさえ量・

質ともに限られてるのが現状だ。

なお、前回の記事でかなりの理屈は説明してあるので、ここでは基本的に、同

じ話は省略する。前回の記事を読んでない方には、先にあちら（下のリンク）を

軽く読むことをお勧めしとこう。ただ、この記事だけでも一応、理解できると思う。

　ｃｆ．　変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～『ハードナッツ』第７回

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最初に、くるみが書いてた黒板のグラフに似たものとして、次のグラフを提示

しとこう。私が説明用に作ったもので、実社会で使う時には普通、遥かにデー

タ量が多いようだ（セキュリティ、金融など）。

横軸は時間ｔの軸で、例えばある月の日付けと考えればいい（ドラマは１１月）。

縦軸は変数 ｘ t の値で、ドラマだと伴田からの電話の回数だった。６日（ｔ＝６）

の時点で一度、０から２へと変化してるが、その後はまた０続きになってるから、

ｘ 6の点やその値は「外れ値」と呼ばれる。それに対して、１１日以降は本物の

変化に見えるので、「変化点」というものを計算で決めたくなる。

「計算しなくても明らかだろう」という考えは、このグラフの場合だけだと、ごもっ

ともだ。でも、実際は遥かに複雑で微妙な変化だから、「明らか」で済ませる事

は出来ない。そこで、何とか精度の高い計算を工夫するわけだが、単純ではな

い現象の未来を予測するのだから、完全な計算などあり得ない。そうした限界

は大前提として、ドラマの数式通りに計算してみる。

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では、前回の記事にも挿入した数式３本を再確認してみよう。

大きな流れとしては、次のようになってる。以下、上の「ｑ」は大文字で「Ｑ」と

書き直し、「ｌｎ」は普通に「ｌｏｇ」（底ｅの自然対数）と書くので、念のため。

　　　変数 ｘ t　→　その値の確率Ｐ（ｘ t）　

　　　　　　　　　→　そのスコア、Ｓｃｏｒｅ（ｘ t）。つまり、－ｌｏｇ Ｐ（ｘ t）

　　　　　　　　　→　Ｓｃｏｒｅ（ｘ t）のＴ日分の平均、ｙ t。

　　　　　　　　　　　　つまり、（１／Ｔ）ΣＳｃｏｒｅ（ｘ i）

　　　　　　　　　→　ｙ tの値の確率Ｑ（ｙ t）

　　　　　　　　　→　そのスコア、つまり、－ｌｏｇ Ｑ（ｙ t）

　　　　　　　　　→　そのＴ日分の平均、（１／Ｔ）Σ－ｌｏｇ Ｑ（ｙ i）、

　　　　　　　　　　　　つまり、Ｓｃｏｒｅ（ｔ）

要するに、３段階×２セット＝６段階の計算をしてるわけで、特に確率分布Ｐ、

Ｑの計算が厄介だから、実用的にはコンピューターに任せてるらしい。以下の

私の計算では、大まかなイメージで暗算してあるので念のため。要するに、変

数からスコアに至る計算の流れを単純化して確認したいだけなのだ。。

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まず、最初の１段階の計算。つまり、ｘ t の確率、Ｐ（ｘ t）の計算まで。ｔ－１

日目までの情報をもとに、その都度決め直すから、Ｐ t-1（ｘ t）という分かり

にくい書き方になる。

目立つ値に対しては、確率が低くなるから、６日と１１日には一気に確率０．１

（１０％）まで下がってる。繰り返すが、上の確率の計算は私の目分量なので、

念のため。雰囲気的に、当たらずとも遠からずであるのが分かると思う。実際

にはプログラム計算で、前日（ｔ－１日）までの値から、ｔ日目の様々な値の確率

分布を求める（と言うより、決める）わけだ。

初日と２日目の確率Ｐを書いてないのは、情報不足で確率を決定できないか

ら。例えば、「この紙に書かれた数字は０。では、次の紙の数字は理論的にい

くらか？」と聞かれても困るだろう。一応、少なくとも２つ以上の情報が与えられ

た時点で確率を予測することにしたから、３日以降の確率Ｐしか書いてない。

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続いて、ｙ tまでの２段階の計算。Ｓｃｏｒｅ（ｘ t）は省略して Ｓ（ｘ t）と書いた。

Ｔ＝３、つまり３日分の平均値を取るので、ハッキリした動きがｘ t より２日遅

れくらいで生じる。８日目と１３日目がポイントになってるのだ。

ｌｏｇの値は、本当は複雑だが、上では端数省略で単純化してある。これ以降

の計算でも同様。ただ、前の確率分布の計算と違って、ここでの計算は単純

なものだ。ｙ t の値が５日目から始まってるのは、３日分の平均値だから、つ

まり５日目の値なら、ｙ 5＝（１／３）（Ｓ 3 ＋Ｓ 4 ＋Ｓ 5）と計算できるが、４日

目の計算は出来ないのだ（Ｓ 2 が無いから）。　

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そして最後に、Ｓｃｏｒｅ（ｔ）までの３段階の計算。

もちろん、ｙ t の確率分布Ｑ（ｙ t）は、私が目分量で決めてるだけ。気になる

方のためにＱの値も書き添えると、左から順に、　０．０２，　０．０２，　０．０２，

０．０３，　０．０４，　０．０１，　０．００５，　０．０２，　０．０４。ｙはｘと違って整数

ではないから、全体的に確率は低くしてある。特殊な値である ｙ 13 に対して

は、特に低い確率０．００５を割り当てた。

最終的なスコア計算が可能になるのは９日目以降で、数値変化のピークは

１４日目になる。要するに、技巧的な計算を重ねるに連れて、変化の検出は

遅くなるわけだが、外れ値に騙されることなく確実に検出できるということだ。

もちろん、建前的には。

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計算だけでなく、元のグラフとスコアのグラフの比較も行ってみよう。決定的変

化がほぼ確実になった所で、スコアのグラフは変化点らしきものを示してる。

ピークまで上がって下がる直前辺りが変化点だ。元のグラフと違って、上下ジ

グザグにはならず、単純に上がって下がるから、分かりやすいのは確かだ。

ちなみに、元の数値とスコアの数値が似てるのはたまたまで、一般的には

全く違う数値になるはずだ。スコアの場合、途中で２回、－ｌｏｇ（確率）の計算

をしてるから、この私の例でたまたま似た値になってるのは、無意識の内に

私が０～５の簡単な値を望んだからだろう。

スコアのグラフの変化が少ないのもたまたまで、ネット上のプログラム計算例

を見ると、スコアのグラフは非常に激しい動きになってる。まあ、私の例でも、

スコアの値にもう一工夫して変化を激しくするのは簡単なのだ。すぐ思い付く

工夫は、１０の｛Ｓｃｏｒｅ（ｔ）－３｝乗を計算すること。あるいはもっと簡単に、スコ

アから３を引いて縦軸を５倍に引き延ばしてもいい。

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なお、ウイルス散布のための、天井の高さ７．４５ｍの計算については、少し調

べた上で、３日以内に追記する予定。あまりに簡単で適当な計算だから、ほと

んど実用性はないと思う。『ガリレオ』なら微分方程式を書く所だろう（具体的な

数値・計算抜きで）。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　トランプのポーカーの確率計算

　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～』第１回解説

　　　検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌ』第２回解説

　　　無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺したという伝説の検証

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～『ハードナッツ』第３回

　　　ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど～第３回

　　　ラブレターの換字式暗号＆数字の順列パスワード～第４回

　　　計量文献学による解析、Ｋ特性値、筆者判定～第４回

　　　ハートマークと「ｉ　ＬＯＶＥ　ｕ」、愛の方程式～第５回

　　　「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物（原論文）～第５回

　　　特殊な違いの有無の判定（統計的推測、５％片側検定）～第６回

　　　変化点検出と外れ値、スコア（Ｓｃｏｒｅ）～第７回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３４７１字）