富士山の噴火の確率計算～二項分布とポアソン分布

ポツリポツリと（離散的に）起きる事柄の確率については、２年半前に地震の 

確率計算の記事をアップ。地味にアクセスが続いてる。また、今年の夏に再

放送された数学ドラマ『ハードナッツ！』のレビューでも、ごく簡単に触れて

おいた。

２０１４年９月２７日の御嶽山（おんたけさん）の噴火によって、また活火山の

噴火への関心が高まってるので、計算の復習も兼ねて、富士山噴火の確率

を計算してみよう。

答の１例は、２０１１年（平成２３年）の第６０回・砂防学会の発表（吉田真也ほ

か）で示されたようだ。アブストラクト（要約）のｐｄｆファイルから、計算の前提

に関する論述を引用させて頂こう。数学の参考書の練習問題にも似たものが

あるので、おそらく防災の学問的に主流の考えだろうと思う。

　　　　現在は静穏期にあり数百年間噴火していない、また時間経過と

　　　　噴火回数との間に特別な関連性はみられない火山に対しては、

　　　　ランダムな発生確率を持つポアソン分布を用いることが適切で

　　　　あると考えられる。

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もちろん、実際の火山では噴火と関連する様々な自然現象が継続してるわけ

だから、「ランダム」（無作為、でたらめ）というのも変な話だが、歴史的に大き

な目で、長い時間間隔見るなら、ランダムと考えてもそれほど大きな間違いで

はないだろうという考えなのだ。他に、はっきり優る計算方法も見当たらない中

での、現実的妥協と考えてもいい。

ちなみに、「ランダムな発生確率」という言葉も気になる所で、ランダムなら確

率計算など出来ないだろうと思われるかも知れない。これは要するに、何年に

１回とかの平均発生頻度は保たれてるけど、どの年に発生するかは分からな

い状況のこと。つまり、細かく（微視的に）見るとランダムだけど、大きく（巨視

的に）見るとほぼ一定の間隔で規則的に発生してるのだ。

我々、人間の時間や人生は、地震や噴火と比べると短いタイム・スパンだし、

一度発生すると大きな影響を受けるから、比較的細かいランダムな部分の計

算が求められることになる。だから、やがて人類が滅亡、アンドロイドは地上

を離れて宇宙空間に移住、寿命は数万年・・・というＳＦ的展開になれば、以

下の計算は全く枝葉の話になるだろう。。　

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さて、砂防学会の発表のアブストラクトでは、ポアソン分布のみで、途中の計

算式も無いし、今後８０年間という非常に長い期間を想定（結果は６４．８％）。

前提となる富士山の噴火データも当サイトとは違ってる。逆算してみると、どう

もやや多めに、１０００年に１３回の噴火と考えるようだ。

私が示す以下の計算では、普通に手に入る気象庁ＨＰのデータ（有史以降の

火山活動）を使用して、１５００年に１０回の噴火があったと前提。地震と同様、

今後３０年間に１回以上の噴火が起きる確率を計算する。

また、以前の地震記事と同様、まずは簡単な高校１年レベルの計算（１年単位

で二項分布を仮定）。その後で、やや高級なポアソン分布の計算を示すことに

しよう。答はほぼ同じになるのだ。

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ではまず、１年間に噴火する確率が１０／１５００、つまり１／１５０（約０．６７％）

で、噴火しない確率が１４９／１５０として、普通に計算すると、

　　（３０年以内に１回以上噴火する確率）

　　　　　　　　　　　　　　＝１－（１回も噴火しない確率）

　　　　　　　　　　　　　　＝１－（噴火しない年が３０回続く確率）

　　　　　　　　　　　　　　＝１－｛（１４９／１５０）の３０乗｝

　　　　　　　　　　　　　　＝１－０．８１８・・・

　　　　　　　　　　　　　　≒０．１８　

　　　　　　　　　　　　　　≒１８％

ちなみに二項分布という確率分布モデルは、３０乗する時に使われてるわけ

だ。上では単に、（１４９／１５０）の３０乗とだけ書いてるが、

　　　　30 Ｃ 0 （１／１５０）⁰ ｛（１－１／１５０）の（３０－０）乗｝

と書き直せば、二項分布で３０回中０回起きる確率の形になる。無意味に複

雑だから、普通はこんな式は書かないのだ。

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一方、ポアソン分布だと、ネイピア数ｅ＝２．７１８・・・を用いて、

　　　（３０年以内に１回以上噴火する確率）

　　　　　　　　　　　　　＝１－（０回噴火する確率）

　　　　　　　　　　　　　＝１－〔ｅの｛（－１／１５０）×３０｝乗〕×

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〔｛（１／１５０）×３０｝の０乗〕／０！

　　　　　　　　　　　　　＝１－｛ｅの（－１／５）乗｝×１／１

　　　　　　　　　　　　　＝１－０．８１８・・・

　　　　　　　　　　　　　≒０．１８

　　　　　　　　　　　　　≒１８％

近似値としては、全く同じ１８％となった。ちなみに、もう１ケタ計算すると、二項

分布なら１８．２％、ポアソン分布だと１８．１％で、僅かな差が生じる。どうせ非

常に大まかな計算だから、０．１％の差は無意味だろう。

というより、要するに約２０％、２割の確率で、富士山は３０年以内に噴火する

のだ。１０年以内に噴火する確率は、同様の計算で約６．５％。もちろん、気象

庁がハッキリ認めてない噴火も考慮すると、確率は増す。世界遺産にも登録

された日本の象徴だし、御嶽山より遥かに影響が大きいだろうから、みんなで

じっくり考える必要がある。

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もちろん、リスクは何事にも付き物。メリットもほぼ何事にもある。「正しく恐れる」

ことは不可能だというような（政治的）極論もあるが、「なるべく正しく恐れる」心

がけで生活すればいいわけだ。単なる理想ではなく、現実的な前進、向上を見

据えて。

なお、御嶽山の捜索・救助作業は３０日、一時中止されたが、まだ終了され

たわけではない。奇跡の吉報に期待しよう。では、また明日。。☆彡

ｃｆ．　ポアソン分布（過程）による地震の確率計算（ｂｙ政府・委員会）

　　　「日本消滅」、超巨大噴火の確率計算～対数正規分布とＢＰＴ分布

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２２０８字）